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Transkript Parametrisierung von Flächen – Theorie Teil 2

Das ist der zweite Teil vom Theorievideo zu "Parametrisierung von Flächen". Im ersten Teil habe ich "Parametrisierung von Flächen" allgemein eingeführt. Und da habe ich mit der Parametrisierungstechnik angefangen. Ich habe besprochen, wie man Graphen von Funktionen als Flächen parametrisiert. Nun kommt der zweite Teil zu der Auflistung Parametrisierungstechnik und wir wollen die Standardkoordinaten benutzen. Kugelkoordinaten. Die gute Nachricht ist die, dass 40,60,70% der Hausaufgaben oder Klausuraufgaben, die mit Flächen zu tun haben, behandeln Standardflächen; entweder sind das Zylinder, Mäntel oder Kugeln oder Kegelflächen. Und um diese Flächen zu parametrisieren, muss man nicht viel tun. Es gibt Standardmuster, die man einfach nur übernehmen soll. Die ergeben sich aus der Transformation auf Zylinderkoordinaten oder auf Kugelkoordinaten. Ich hab im mittleren Bereich der Tafel Transformationen auf die Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten aufgeschrieben. Ich bezeichne sie mit gZ für Zylinderkoordinaten und gK für Kugelkoordinaten. Wir haben im Einführungsvideo zu Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten haben wir folgendes Spielchen getrieben: Wir haben in dieser Zuordnungsvorschrift für Zylinderkoordinaten zum Beispiel, eine Variable festgehalten, meinetwegen Radius r, und die anderen zwei laufen lassen. Der Bildpunkt bei diesem Vorgang bewegt sich auf einer Fläche. Eine solche Fläche haben wir als Koordinatenfläche bezeichnet. Als Koordinatenfläche bei Zylinderkoordinaten kommt u. a. Zylindermantelfläche vor. Und so werden wir das benutzen. Jetzt will ich erläutern, wie man aus den gegebenen Formeln für die Koordinatentransformationen die Parametrisierungen für die Standardflächen bekommt, indem man eine Variable festhält. Die Parametrisierung einer Fläche ist immer von zwei Veränderlichen abhängig. Die hier angeschriebenen Formeln hängen von drei Variablen ab und deshalb können das keine Parametrisierungen von Flächen sein. Aber wenn wir hier eine Variable festhalten, erhalten wir die Parametrisierungen von Flächen. Lasst uns jetzt darüber sprechen, wie man konkret die Flächen parametrisiert, die wir auf den Bildern sehen. 1. Zylindermantel: Ich nehme die Transformation auf die Zylinderkoordinaten und halte die Variable r bei einem festen Wert. Das ist dann schon die Parametrisierung der Zylindermantelfläche mit dem Radius r 0. Wieso das der Fall ist, habe ich im Video "Zylinderkoordinaten allgemein" erläutert. Das übernehmen wir einfach nur. Also der Zylindermantel hat die Variablen Phi mit dem Index z. Das ist ja mein Lieblingsbuchstabe für die Parametrisierung von Flächen; z steht für Zylinder. Und dann freilaufend die Variablen r- und z-klein. Ich schreibe nicht r-klein-0, sondern R-groß. Φz(r,z)=(Rcosφ, Rsinφ, z), wobei R=const. Das ist der Standard für die Parametrisierung der Zylindermantelfläche, wenn r von 0 bis 2 und z von minus unendlich bis unendlich. Ich habe einen Fehler gemacht; ich habe klein-r statt klein-φ in die Klammer geschrieben. In den Übungsaufgaben braucht man in der Regel nicht einen unendlich ausgedehnten Zylindermantel, sondern bestimmte Teile, indem man die Variablen z oder φ einschränkt. Wenn man die Abschnitte in den Höhen 0 und 2 brauchen, dann sagen wir, dass der Definitionsbereich dieser Parametrisierung z ist, zwischen  null und zwei: 0<z<2. Dann bekommen wir keine unendlich ausgedehnten Zylinder, sondern nur einen Abschnitt zwischen den Höhen 0 und 2. Wenn man den vollen Umlauf braucht, also den gesamten Zylindermantel, dann sagt man, Phi liegt zwischen null und zwei. 0<φ<2θπ. Es kommt oft vor, dass man nur bestimmte Teile des Zylinders braucht. Jetzt eine sponatene Übungsaufgabe für euch. Wir interessieren uns nur für den Teil des Zylinders, der y kleiner null ist, also im negativen Teil der y-Achse projiziert. Also alles was rechts von der x-Achse liegt interessiert uns nicht. Wir wollen den Teil parametrisieren, der hinter der x-Achse liegt. Also für y<0. Da muss man π entsprechend einschränken. Nun drückt auf die Pausetaste und überlegt euch, in welchem Winkel muss sich φ befinden, damit man den Teil des Zylinders erwischt, der hinter der x-Achse liegt. Dabei ist es nützlich eine genaue anschauliche Vorstellung von Winkel φ zu haben - das habe ich bei dem Thema Zylinderkoordinaten erläutert. Wenn man das macht und φ zwischen π und 2π variieren lässt, dann erfasst man den hinteren Teil der x-Achse. Also überlegt es euch noch einmal. Hier ist die x-Achse und hier die y-Achse. Die Winkel fangen bei π an und hören bei 2π auf - das nur kurz und schnell angedeutet. Man kann mit den Variablen bastelt. Wenn man die Variablen z und φ einschränkt, bekommt man verschiedene Teile vom Zylinder. Damit hat man ein großes Arsenal von Parametrisierungen und Standardflächen. Als Nächstes besprechen wir die Sphäre, deren Parametrisierung sich aus den Kugelkoordinaten ergibt, die wir im bestimmten Radius festhalten. Ich halte den Radius in r0 fest. Wenn ich in diese Formel hier r-klein durch R-groß ersetze, R ist eine Konstante, so dass ich nur zwei Variablen habe, dann bekomme ich die Parametrisierung der Kugeloberfläche. Ich schreibe es trotzdem ab; Sphäre mit der Parametrisierung, Phi, S und die Variablen sind Tetha und Phi-klein. Die Winkel sind variabel, der Radius ist R. Dann habe ich den üblichen Kram. Rsinθcosφ, Rsinθsinφ, Rsinθcosφ, Rcosθ, und R ist konstant. Wenn theta und Phi im Standarddefinitionsbereich laufen, liegt theta zwischen 0 und π; 0<θ<π und 0<φ<2π. also theta läuft tatsächlich nur bis Pi. Macht euch das noch einmal klar. Im Video zu Kugelkoordinaten habe ich das erläutert. Wenn der Radiusvektor ganz unten ist, hat man den Winkel Pi. Wenn der Radius so dazwischen läuft, variiert Theta von 0 bis Pi. Mit dem Winkel Phi kann man vollen Umlauf machen. Mit diesem Parameterbereich ist die gesamte Sphärenoberfläche erfasst. Nun analog; wenn man nur bestimmte Teile der Sphäre braucht, kann man basteln. Man kann die behandelte Fläche variieren. Eine Übungsaufgabe für euch, um festzustellen, ob ihr die notwendige anschauliche Vorstellung von dem Winkel habt. In welchem Bereich sollen die Winkel liegen, damit man den Teil der Sphäre erfasst, der sich im positiven Oktanten befindet. Also wir interessieren uns für x>0, y>0, z>0. Der Teil soll durch bestimmte Ungleichungen für theta und Phi beschrieben werden. Welche Winkel hat man für positive x,y,z? Ich schreibe die Lösung an die Tafel: Tetha muss von 0 bis π/2 gehen und Phi ebenfalls von 0  bis π/2. Man kann bastelt, die Konstante R größer oder kleiner machen und die Kugel schrumpfen oder expandieren usw. Nun ein wichtiges Beispiel: Die Kegelmantelfläche. Dafür halten wir den Winkel theta fest, daher θ0. Der Radiusvektor kann nicht nach oben oder unten gehen, sondern kann größer oder kleiner werden, das ist R, und sich um die z-Achse drehen. Um die z-Achse sich um die z-Achse drehen, wäre die Veränderung des Winkels phi.π/2 In der Formel halten wir theta also fest und was übrig bleibt, ist die Parametrisierung der Kegelmantelfläche. Ihr müsst nicht das Rad neu erfinden. Die Standardparametrisierungen sind ja bereits vorhanden. Manchmal ist es etwas schwieriger, z. B. wenn die Spitze des Kegelmantels oben ist etc., aber davon wird noch die Rede sein. Nun die Standardparametrisierung Kegelmantel: Der Radius ist diesmal variabel und Phi auch, der Winkel theta ist festgehalten, also θ0 ist konstant. ΦK(r,φ)=(rsinθ0cosφ, rsinθ0sinφ, rcosθ0), dabei θ0=const. Ein wichtiger Spezialfall ist, wenn tetha0 bei 45° fixiert ist. Wenn wir dann auf der y-z-Ebene die Winkelhalbierende lassen. Den Spezialfall möchte ich kurz besprechen. θ0=π/4, dann ist Sinus von Theta gleich dem Cosinus von Theta und das ist (\sqrt2)/2. Wenn wir diese speziellen Winkel sinθ und cosθ hier einsetzen-also stattdessen immer (\sqrt2)/2 einsetzen, kann man sie vom Vektor ausklammern und gegeneinander kürzen. Denn wenn die Konstanten (\sqrt2)/2. vor die Klammer gezogen, hätte keinen wesentlichen Einfluss auf den Verlauf der Fläche. rcosφ, rsinφ bleiben. Das ist die Standardparametrisierung für den Kegel.   Der nächste Punkt ist die Parametrisierungstechnik. Leider ist nicht alles ganz so einfach, wie ich es eben präsentiert habe. 60% der Übungsaufgaben sind etwa so, aber die restlichen 40 % bestehen z.aus kniffligen Fällen. Der Höhepunkt dessen, was Ingenieure an Analysis II  bei der Parametrisierung von Flächen lernen ist die Parametrisierung von Rotationsflächen. Rotationsflächen: Man rotiert eine Kurve über eine Achse, die Kurve hinterlässt eine Spur, die als Fläche aufgefasst wird. Diese Technik muss man beherrschen. Dazu gibt es viele Aufgaben. Es gibt eine Kurve, wir betrachten ausnahmsweise ein zweidimensionales Bild. Eine Kurve, Graph einer Funktion am Besten, über einem Definitionsbereich a, b. Ich nenne die Veränderliche klein-g. z=g(x). Ich rotiere die Kurve um die z-Achse. Daraus entsteht eine Rotationsfläche S. Die Symmetrieachse ist natürlich z.  Wie kann man die Rotationsfläche parametrisieren. Ordnungshalber schreibe ich die Situation, die ich mündlich beschrieben habe an der Tafel fest. In der x-y-Ebene betrachte den Graphen der Funktion z=g(x). x ist aus dem Definitionsbereich a, b. Sinnvollerweise ist a größer, gleich 0, also linker Rand des Definitionsbereichs, damit wir keine Durchschneidungen bekommen und die Fläche anständig aussieht. Die Fläche S entsteht aus der Drehung von diesem Graphen um die z-Achse. Nun wollen wir diese Rotationsfläche parametrisieren. Was fällt auf bei der Fläche S? Wir wollen die Rotationssymmetrie um die z-Achse ausnutzen. Vielleicht erst ein Experiment dazu; schneiden wir zuerst die Fläche S mit einer Ebene, mit einer Ebene, die parallel zur x-y-Ebene verläuft. Das ist übrigens eine typische Vorgehensweise. Wenn wir etwas mit Flächen machen, schneiden wir sie mit bequemen Ebenen. Und die Ebenen, die parallel zu Koordinatenebenen verlaufen sind auch sehr bequem. Ich bekomme danach einen Kreis, wie die Fläche rotationssymmetrisch ist. Was bedeutet das für die Parametrisierung? Bei der Parametrisierung von Kugeln haben wir gelernt, wie man Kreise parametrisiert. Dabei ist rcosφ,rsinφ. Das wollen wir nutzen. Ich bezeichne die Parametrisierung wieder mit meinen Lieblingsbuchstaben r und Phi: Wir haben ja festgestellt, die die Ebene parallel zu einer x-y-Ebene verläuft, das ist ein Kreis und wie man diesen parametrisiert, wissen wir. Wir schreiben rcos phi, rsin phi. Im Bezug auf x-y haben wir einen Kreis und der wird standardparametrisiert. Φ(r,φ)=(rsinφ, rcosφ...). Dabei entsteht die Frage: was machen wir mit der Zeitkomponente der Parametrisierung? Dazu hilft eine grafische Überlegung. Betrachten wir den Radiusvektor. Der soll in der x - z - Ebene liegen. Der hat die Länge r. Wenn wir die Spitze des Pfeils auf die x-Achse projizieren, landen wir bei r, auf der x-Achse. Auf der den Punkt, auf dem der Vektor landet, nenne ich A. Er hat die Koordinate r. Aufgabe: Auf welcher Höhe befindet sich der Punkt A?  Ich hoffe das ist jedem klar. Weil der Punkt auf dem Graphen der Funktion g befindet, ist er natürlich auf der Höhe g(r). Das ist eine wichtige Überlegung, denn jeder Punkt im Kreis befindet sich auf dieser Höhe. Wenn der Radius von dem großen Radius gleich r ist, ist die Höhe g(r). Und das ist die Parametrisierung der Rotationsfläche. Erst haben wir die Parametrisierung der Kreise bei variablem Radius r. Per definitionem hängt der Radius mit der Höhe des Kreises zusammen. Dieser Zusammenhang zwischen Radius und Höhe ist durch die Funktion g gegeben, weil die Rotationsfläche aus der Rotation des Graphen z=g(x) entstanden ist. So einfach ist das. Der gesamte Anspruch der Aufgabe konzentriert sich darauf, g(r) rauszufinden. Das werden wir in den Beispielen hier noch machen.   Nun will ich das zusammenfassen. Zum Parametrisierungsbereich muss man noch etwas hinzufügen zu r und Phi, damit wir die ganze Rotationsfläche erfassen.   Als Zusammenfassung schreibe ich: Parametrisierung von S sieht so aus: Φ(r,φ)=(rcosφ, rsinφ, g(r)). Bezüglich x und y haben wir Kreise. Die befinden sich auf der Höhe g(r). Ich hoffe ihr habt euch überlegt, was mit den Parametern passiert, also in welchen Grenzen sie sich befinden. Der Radius läuft von a bis b; a<r<b. Für einen vollen Umfang, muss Phi im üblichen Bereich liegen: zwischen 0 und 2pi: 0<φ<2π.   Ihr erinnert euch, als wie die Kegelmantelfläche parametrisiert habe, und ich habe die Standardparametrisierung von Kegeln beschrieben, das sah so aus: Φ(r,φ)=(rcosφ, rsinφ, r). Aber allgemein hat man eben g(r). Mit dieser Parametrisierungstechnik seid ihr perfekt ausgerüstet. Das ist alles, was ihr wissen sollt. Erstens die Graphen von Funktionen in zwei Variablen als Flächen soll man parametrisieren können. Das haben wir besprochen. Dann die Zylinder- und Kugelkoordinaten muss man geschickt nutzen bei der Parametrisierung von Flächen. Also die drei Paradebeispiele Zylinder, Sphäre und Kegel. Und dann die Parametrisierung von Rotationsflächen. Hier ist der allgemeine Ansatz. Und bei den Übungsaufgaben wollen wir das noch vertiefen, verbessern. Also schaut euch noch Beispiele an.                      

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1 Kommentar
  1. Default

    Den Kegelmantel kann man doch auch in den einfacheren Koordinaten beschreiben, wie auch in Aufgabe 2 gemacht wird, oder gibts da nen Unterschied?
    Danke

    Von Ebayviper, vor fast 5 Jahren