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Transkript Parametrisierung von Flächen – Aufgabe 2

In diesem Video wollen wir die Parametrisierung von Rotationsflächen üben. Und die Aufgabe steht so, klausurtypisch. Also, man beschreibt die Fläche S in kartesischen Koordinaten als Menge. Und die Aufgabe ist, diese Fläche zu parametrisieren. Und bevor wir diese Fläche parametrisieren, dann ist es ja ganz zweckmäßig, diese Fläche zu veranschaulichen. Und das ist das, womit wir das Video starten. Veranschaulichung. Wir zerteilen jetzt natürlich die Gleichung, die die Fläche definiert. Die Ungleichung hier danach ist so nicht schwer zu deuten. Also z ist dem Betrag nach kleiner gleich 1, das bedeutet eigentlich, dass z sich zwischen -1 und 1 befindet. So, und das schreibe ich auch so ausgeschrieben hin. Das war nicht schwer. Also der Rest der Aufmerksamkeit, der Rest der Zeit, wird diese Gleichung in Anspruch nehmen. Na also, was fällt auf? Auf der linken Seite steht der Ausdruck x2+y2 gleich irgendwas. Und wir wissen, dass x2+y2, der Ausdruck hat etwas mit Kreisen zu tun. Und wenn dieser Ausdruck gleich einer festen Zahl gesetzt ist, dann hat man Gleichung einer Einheitskreislinie mit dem Mittelpunkt im Ursprung. Und bei dieser konkreten Gleichung, wenn wir z bei irgendeinem Wert festhalten, dann bekommen wir eben Kreislinien. Nun sage ich einmal, z ist irgendwo zwischen -1 und 1, aber angenommen z ist gleich 3. Setzt bitte z=3 ein in diese Gleichung. Und ihr bekommt x2+y2=1 und das ist die Einheitskreislinie. Und dass das etwas mit Kreisen zu tun hat, das ist jetzt der springende Punkt an dieser Aufgabe. Und die Idee ist die folgende: Um die Fläche erst zu veranschaulichen, da treiben wir dieses Spiel mit Festhalten von z. Also, wir halten z bei bestimmten Werten fest und schauen, was passiert. Und grafisch bedeutet das folgendes: Wenn ich z bei einem bestimmten Wert z0 festhalte, dann bedeutet dass, dass ich den Raum mit einer Ebene schneide, parallel zur x,y-Ebene, die die z-Achse bei z0 schneidet. Und die Gleichung, die ich beim Einsetzen von z0 in die ursprüngliche Gleichung erhalte, sie beschreibt eben die Figur, die Linie, die die Fläche S aus der besagten Ebene ausschneidet. Und dann setzen wir ein paar geeignete Werte von z ein. Also setze z, z geht von -1 bis 1, also ich setze drei Werte ein, -1, 0 und 1. Alos setze z=-1 ein. Und dann bekommen wir folgendes: x2+y2=(-1-2)2. Und -1-2=-3. Wenn wir das alles quadrieren, dann minus ist ja egal, und wir haben die Gleichung x2+y2=32. Durch diese Gleichung wird die Schnittlinie unserer Fläche S mit einer Ebene beschreiben, die Ebene verläuft parallel zur x,y-Ebene und schneidet die z-Achse bei Wert -1. Und wir haben festgestellt, es ist eine Kreislinie mit dem Radius 3, und diese Kreislinie sei angedeutet eingezeichnet. Ungefähr so sieht sie aus. Die Kreislinie verläuft unterhalb der x-Achse. Dann machen wir das weiter so. Also, wenn ich z=0 einsetze. Dann, was bekomme ich, z=0 einsetzen, dann habe ich (-2)2, minus spielt da keine Rolle, also x2+y2=22. Also auf der Höhe z=0 habe ich eine Kreislinie mit dem Radius 2 um den Ursprung, also sieht ungefähr so aus.Ind er x,y-Ebene haben wir eine Kreislinie mit dem Radius 2. Und vielleicht das markiere ich noch hier. 2, -2 auf der y-Achse. Und unser letzter Wert, ihr ahnt schon, was passiert, z=1 einsetzen, da hat man x2+y2 und das gleich 1-2=-1, (-1)2=1, oder meinetwegen 12, das ist dasselbe. Da hatten wir auf der Höhe z=1, wir haben Einheitskreislinie, also wir haben so einen Kreis mit dem Radius 1, das ist auf der Höhe z=1. Und es ist schon genug Information. Erstens sehen wir, dass es eine Rotationsfläche ist. Eigentlich wir brauchen diese Einsetzerei und Rechnerei gar nicht. Wenn wir in der Gleichung der Fläche, die sie in kartesischen Koordinaten beschreibt, den Ausdruck x2+y2 sehen, dann erkennen wir daraus sofort, dass es sich um eine Rotationsfläche handelt, das ist Standard. Wenn x2+y2 da steht, dann dreht sich irgendetwas um die z-Achse. Jetzt aufpassen. Wenn hier x2+z2 gleihc irgendetwas stehen würde, dann dreht sich etwas um die y-Achse, und so weiter. Also wenn wir diese Ausdrücke haben, die Ausdrücke x2+y2 sind unsere Freunde. Dann können wir, die haben etwas mit Kreisen zu tun, dann können wir schnell und sicher etwas veranschaulichen. So, und wir vermuten einmal, was passiert, wenn wir andere private Werte für z einsetzen zwischen - 1 und 1, man hat so Kreisringe udn die Ringe schrumpfen, wenn man sie nach iben bewegt. Und wir vermuten schon, dass das alles insgesamt Kegelmantelfläche ergibt. Das ist schon plausibel. Das ist unsere Vermutung. Aber die Vermutung ist nicht so sicher, das ist zu optimistisch. Denn eigentlich weiß man nicht so ganz genau, ob die Mantelfläche eine Gerade aus der x,z-Fläche ausschneidet, eine gerade Strecke. Das ist eigentlich nicht klar, vielleicht ist es auch eine gekrümmte Linie. Viellicht ist die Mantelfläche ein bisschen hineingebeult. Also es ist nicht klar. Das ist unsere Vermutung. Nun wollen wir diese Vermutung zementieren. Das Nächste, was wir machen, wir wollen diese Fläche als Rotationsfläche parametrisieren. Dass es eine Rotationsfläche ist, das ist offenbar. Ich erinnere euch daran, welche Technik hatten wir  in der Theorie bei der Parametrisierung von Rotationsflächen. Wir haben ja Folgendes gehabt: In der x,z-Ebene betrachteten wir eine Kurve, die sich als Graph einer Funktion schreiben lässt. Also wir haben so einen Graphen betrachtet mit der Gleichung z=g(x), wobei g eine vorgegebene Funktion ist, in einem bestimmten Intervall [a;b] und wir haben diesen Graphen um die z-Achse rotiert. Und daraus ergab sich die Rotationsfläche. Nun wollen wir diese Funktion g, diese Parameter a, b konkret und die vorgegebene Rotationsfläche erst ausrechnen. Und das ist ganz einfach. Und das ist ganz einfach. Wir interessieren uns für das, was in der x,z-Ebene passiert und nicht überall, sondern nur für positive x. Mit dieser Information haben wir die Funktion g, und die Parametrisierung der Fläche S, der Rotationsfläche, können wir hinschreiben. Ich erinnere euch, wenn wir diese Information haben, dann haben wir den Ansatz für die Parametrisierung. Ansatz für die Parametrisierung bezüglich x, y haben wir Rotation, also oberhalb von x,y haben wir Kreise als Projektionen, also x,y-Komponenten haben wir Kreise. Kreise parametrisiert man mit rcos(φ) rsin(φ). Das schreiben wir so fort. Und wenn wir die Funktion g ausrechnen, dann schreiben wir in der z-Komponente eigentlich nur g(r) hin. Warum das so ist, habe ich euch im zweiten Video, im Theorie-Video, zu diesem Themenkreis ja erläutert, wie die Funktion g(r)  hier hinkommt, habe ich ja erläutert. Wenn wir g ausrechnen, dann haben wir Parametrisierung in dieser Form und fertig. Und dann lasst uns dieses g ausrechnen. Noch einmal, die Funktion z=g(x). Das ist eine Kurve, die Rotationsfläche S, in der x,z-Ebene ausschneidet. Und sie ist hier, also x,z-Ebene ist hier links. Und die Strecke, die da in der x.z-Ebene herausgeschnitten wird, ist diese hier. Ich markiere sie gerade schwarz. Und die wollen wir genau ausrechnen. Also, wie geht denn das? Moment, Moment, Moment, vielleicht schreibe ich dann noch einmal diese Zielsetzung für die nächsten Minuten an die Tafel. Stelle den Schnitt der Rotationsfläche S mit der x,z-Ebene in einer bestimmten Form dar. Stelle den Schnitt von S mit der x,z-Ebene, habe ich gesagt, aber die ganze Ebene brauchen wir gar nicht, wir brauchen nur die Hälfte davon, für positives x, also mit der x,z-Halbebene, das heißt, für x größer gleich 0, Klammer zu. Stelle den Schnitt von S mit der x,z-Halbebene in der Form z=g(x) und x zwischen a und b dar. Und wir wollen jetzt konkret g ausrechnen, a und b ausrechnen. Dann haben wir es, also mit dem genannten Ansatz kommen wir dann zum Ziel. Also, was wissen wir über die x-z-Ebene? In der x,z-Ebene ist die y-Koordinate immer 0. Also wir nehmen die Gleichung, die die Fläche erst beschreibt, setzen da den Wert y=0 ein und bekommen die Kurve, die die Rotationsfläche S aus der x,z-Ebene herausschneidet. Setze dazu y=0 in die Gleichung von S ein. Gut, das ist das Ziel, und ungefähr angedeutet, wie das geschehen soll. Ja, dann mahen wir das x2+0, statt y habe ich 0 eingesetzt, ist gleich (z-2)2. Und Addition von 0 bewirkt nichts. Also, ich lasse es einfach nur so stehen. Also x2 ist gleich diese Klammer (z-2)2. Nun wollen wir Quadratwurzel ziehen. Also ein großer Fehler wäre es, einfach nur so, Quadrate wegzunehmen. Das ist falsch. So darf man nicht vorgehen. Also wir wissen, dass zum Beispiel die Gleichung  x2=1 ist. Diese Gleichung besitzt zwei Lösungen, einmal x=1 und x=-1, nicht wahr. Oder noch besser, x2 ist eine Zahl α, besitzt zwei Lösungen, einmal \sqrt(α), wenn α positiv ist und -\sqrt(α). Also man darf nicht eine von den beiden Lösungen weglassen. Man soll die beiden Lösungen betrachten und dann, entwederr nützen sie uns beide etwas oder eine ist nicht relevant. Also diese Umformung, die ich hier gemacht habe gerade, das ist eine überstürzte Umformung. Die richtige Umformung ist die folgende: Also wir ziehen Quadratwurzel, und wir sollen die beiden Vorzeichen betrachten, plus und minus. Nun wollen wir eruieren, welches Vorzeichen relevant ist. Und dazu helfen uns die Zusatzbedingungen an die Koordinaten z und x. Die Überlegung lautet wie folgt: x≥0, wir betrachten nur die Halbebene in der x,z-Ebene, wo die x positiv ist, wir interessieren uns für diese Strecke. Dort ist x≥0. Das ist eine Information. Das heißt, nun fragen wir, welches Vorzeichen hat der Ausdruck in Klammern. Wir wissen, dass z zwischen - 1 und 1 liegt. Das bedeutet, dass z-2 ist auf jeden Fall, welches Vorzeichen hat z-2? Überlegt euch. Negativ ist es, also, wenn z zwischen - 1 und 1 liegt, dann kann z-2 zwischen -3 und -1 liegen. Auf jeden Fall z-2 ist negativ. Also x muss auf der linken Seite positiv sein, also der Ausdruck auf der rechten Seite muss auch auf jeden Fall positiv sein. Wenn die Klammer hier auf jeden Fall negativ ist, haben wir uns überlegt, die Klammer ist negativ, dann kommt das Vorzeichen Minus infrage. Wenn wir plus die Klammer nehmen, dann haben wir auf der rechten Seite insgesamt etwas Negatives. Plus etwas Negatives macht insgesamt etwas Negatives. Das würde auf der rechten Seite stehen. Auf der linken Seite x, und x muss positiv sein. Wir betrachten nur die eine Halbebene. Also aus dieser Überlegung, aus dieser Überlegung schließen wir, also in dieser Gleichung ist nur minus relevant. Es ist nur minus da oben relevant. Und das Vorzeichen ist wichtig. Also plus geht baden, minus bleibt stehen. Nach dieser schwierigen, etwas diffizilen Betrachtung ergibt sich alles von alleine. Nun haben wir eine simple Gleichung, lineare Gleichung mit zwei Variablen und wir lösen diese Gleichung nach z auf. Also Klammer kann ich wegwischen -z+2 und dann löse ich diese Gleichung nach z auf und habe dann z=2-x. Und wir haben dann Ergebnis z=, also die Funktion g, die wir haben, die Funktion g(x) ist eben das, was auf der rechten Seite steht, 2-x. Wir haben schon das Wichtigste gemacht, nur ein bisschen klein, klein, ein bisschen Feinschliff. Wir möchten noch wissen, welche Werte für x relevant sind. Und am besten zeichnen wir uns das noch einmal. Moment, Moment, Moment, Moment, so. Am besten mache ich eine neue Zeichnung, also noch einmal die x.z-Ebene. Was habe ich da ausgerechnet? Wir wollen noch den Definitionsbereich der Parametrisierung bestimmen. Das wollen wir auch nicht vergessen. Und dort habe ich ja festgestellt, dass die Gleichung z=g(x), die ist ja von der Form z=2-x. Das ist eine Gerade mit der Steigung -1, die die z-Achse bei 2 schneidet und die x-Achse ebenso bei 2. Das ist hier die Gerade z=2-x. Jetzt müssen wir schauen, welcher Abschnitt dieser Geraden relevant ist. z läuft zwischen -1 und 1. Das halten wir einmal fest. Also z ist zwischen -1 und 1. Also nur der Teil der z-Achse ist relevant. Also, noch einmal auf der alten Zeichnung, so, hier ist der relevante Teil der z-Achse. Das ist auf der alten Zeichnung, hier ist auf der neuen Zeichnung. Schauen wir einmal, welche x-Werte diesem Teil entsprechen. Und das ist ja ganz einfach. So, wenn z=1 ist, dann muss x ebenso gleich 1 sein, und wenn z=-1 ist, dann ist x=3. So, hier ist der relevante Abschnitt der x-Achse und insgesamt und der relevante Abschnitt der Kurve, diesmal ist es keine echte Kurve, sondern eine Gerade, ist rot markiert. Und das ist der ......  Abschluss. Ich nehme in der x,z-Ebene die rot markierte Strecke, drehe sie um die z-Achse und daraus ergibt sich die Rotationsfläche S, die die kartesischen Koordinaten wie oben beschrieben sind. Ich schließe dann, relevant sind die Werte für x zwischen 1 und 3. Und die Funktion g(x)=2-x. Hier ist sie. Wunderbar. Nun haben wir alles, was wir brauchen. Und wir denken an unseren Ansatz aus unserem Theorievideo, wie parametrisiert man Rotationsflächen. Und wo wir alles beisammen haben, dann können wir schon die Parametrisierung hinschreiben, also Parametrisierung von S lautet wie folgt: Φ(r,φ)=, bezüglich x, y haben wir Kreise, also rcos(φ) und rsin(φ) und bei der z-Linie ist durch g(r) gegeben, also g(r)=2-r. Nun der Definitionsbereich, die Radien, die wir da festgestellt haben, sind mindestens 1, hier oben auf der Rotationsfläche ist der Radius 1, dann in der Mitte ist der Radius 2 und dann ganz unten ist der Radius 3. Also die Radien variieren zwischen 1 und 3. Und damit wir die ganze Fläche haben, dann müssen wir mit φ einmal um den Kreis herumgehen, und das entspricht den Werten zwischen 0 und 2π. Und dann ist die Fläche erfolgreich parametrisiert. Und nun kann man mit ihr alles rechnen, was das Herz begehrt. Die Flüsse von den Vektorfeldern durch die Fläche oder die Flächeninhalte oder sonst noch was. Danke schön!

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