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Transkript Orientierung – Theorie Teil 1

In diesem Video besprechen wir allgemein den Begriff der Orientierung von Kurven und Flächen. Wozu braucht man das? Um sinnvoll mit Integralsätzen von Gauß und Stolz zu arbeiten. Bevor ich allgemeine Definitionen an die Tafel schreibe, was bedeutet die Orientierung von einer Kurve oder die Orientierung von einer Fläche, möchte ich erst mal eine Motivation geben, worauf die Sache hinausläuft. Die Integralsätze von Gauß und Stolz machen gewisse Aussagen über Kurvenintegrale und Oberflächenintegrale, und zwar vektorielle Kurvenintegrale und Oberflächenintegrale. Und wir wollen uns diese Sachen noch einmal anschauen, also Kurvenintegrale und Oberflächenintegrale. Und dann sage ich, an welcher Stelle der Begriff der Orientierung relevant wird. Also wir haben eine Kurve γ hier und auf der Kurve γ hier und auf der Kurve γ ist ein Vektorfeld erklärt. Und wir wollen das vektorielle Kurvenintegral des Vektorfeldes ausrechnen, oder das Arbeitsintegral des F längs der Kurve γ. Wie machen wir das? Wir überlegen uns eine Parametrisierung der Kurve, die nenne ich φ. Sie bildet ein Intervall a, b  auf die Kurve. Wir nehmen eine Parametrisierung φ, setzen sie in die Rechenformel ein und berechnen dieses Integral. Dann bekommen wir den Wert des vektoriellen Kurvenintegrals. Und analog sieht es aus mit vektoriellen Oberflächenintegralen. Also wir haben eine Oberfläche S. Auf der Oberfläche S ist ein Vektorfeld F definiert, das ist grün angedeutet. Und wir wollen das Oberflächenintegral ausrechnen. Wie machen wir das? Wir überlegen uns eine Parametrisierung der Oberfläche S, nenne ich gerne φ. Und sie hat den Definitionsbereich ω. Dann setzen wir die Parametrisierung φ in die Rechenformel ein und berechnen dieses Doppelintegral. Dann bekommen wir einen Wert für das vektorielle Oberflächenintegral. Dabei tritt ein interessantes Phänomen auf. Und zwar Folgendes: Jetzt gehen wir zurück zu Kurvenintegralen. Nehmen wir an, ich habe hier eine konkrete Kurve, ein konkretes Vektorfeld. Ich habe die Parametrisierung φ genommen und das Arbeitsintegral ausgerechnet. Dann hier eingesetzt und gerechnet und ich habe einen Wert bekommen, meinetwegen 1. Es ist jetzt nicht wichtig, welche Zahl ich hier bekomme, beispielsweise 1. Wenn ich den Wert 1 realisiert habe, dann lässt sich folgendes Spiel treiben: Ich kann für dieselbe Kurve γ eine andere Parametrisierung nehmen, meinetwegen die Parametrisierung ψ. Man kann wieder das Integral von demselben Vektorfeld längs derselben Kurve aber mit einer anderen Parametrisierung ψ ausrechnen. Also ich mache genau dasselbe, nur setze ich statt φ ψ ein. Jetzt kommt der springende Punkt. Man kann die Parametrisierung  ψ immer so wählen, dass ich hier statt 1 -1 bekomme. Und hier ist der Punkt, wo man nachdenken muss. Das ist nicht ganz angenehm. Ich habe hier ein Vektorfeld um Kurve γ und welches Vorzeichen das Oberflächenintegral hat, das ist der Stand der Dinge, das ist zufallsabhängig, je nachdem welche Parametrisierung ich wähle. Also ich kann den Wert 1 realisieren, ich kann den Wert -1 realisieren. Oder wenn ich meinetwegen ein Vektorfeld über eine Kurve integriert habe und dann den Wert 100 bekommen habe, dann weiß ich sofort, es gibt eine Parametrisierung, die mir den Wert -100 gibt. Es gibt eine Unbestimmtheit mit Vorzeichen. Und dasselbe betrifft auch die vektoriellen Oberflächenintegrale. Da gibt es auch dieses Vorzeichenspiel. Und Ziel von diesem Video ist, die Vorzeichen bei vektoriellen Oberflächenintegralen in den Griff zu bekommen. Wir wollen verstehen, wie diese Vorzeichen zustande kommen und wir wollen sie auch bewusst steuern, also nicht, dass sie sich zufällig ergeben. Und das ist die Motivation für diese Begriffe. Und leider muss man relativ großen Aufwand betreiben. Man muss weit ausholen, man muss den Begriff Orientierung von Kurven und Flächen definieren und dann kommt man langsam aber sicher auf die Erklärung für dieses Vorzeichenphänomen heraus. Dieses Thema könnte man auch ruhig Vorzeichenmanagement bei vektoriellen Kurven- und Oberflächenintegralen nennen. Das war der Motivationsteil, nun kommen wir zur formalen Definition. Das ist mein Versprechen, dass wir am Ende von diesem Beitrag verstehen werden, wie diese Vorzeichen zustande kommen und wie wir sie steuern können. Das ist wichtig für Integralsätze von Gauß und Stolz. Da arbeiten wir permanent mit vektoriellen Kurven- und Oberflächenintegralen. Vorzeichenfehler können viel Schaden anrichten. Nun definiere ich, was die Definition der Orientierung einer Kurve ist. Ich habe hier eine Kurve γ. Das ist einfach nur ein Stück Draht im Raum. Man kann Kurve γ in zwei verschiedenen Richtungen durchlaufen. Also man kann die Kurve γ von links nach rechts durchlaufen oder man kann sie auch umgekehrt, von rechts nach links durchlaufen. Das ist eine sehr banale Sache. Man möchte diesen Begriff Durchlaufrichtung präzisieren. Deswegen hat man folgende Terminologie eingeführt: Wenn man eine Kurve γ hat, auf der man eine bestimmte Durchlaufrichtung aufzeichnet, dann sagt man, dass dadurch die Orientierung der Kurve γ festgelegt ist. Und das ist die Definition der Orientierung der Kurve γ. Nun schreibe ich das an die Tafel. Also Definition: Sei γ eine Kurve. Festlegung einer Durchlaufrichtung von γ heißt Orientierung der Kurve γ, Und wir sehen, ich habe hier neben der Kurve zwei Pfeile, einmal rot und einmal blau. Das heißt, jede Kurve lässt sich auf zwei verschiedene Arten und Weisen orientieren, entweder von links nach rechts oder von rechts nach links, wie hier auf dem Bild und auch allgemein. Und eine Kurve γ, auf der eine Durchlaufrichtung festgelegt ist, heißt orientierte Kurve. Das sind die Definitionen. Man sieht, die Dinge sind schon fast logisch. Es passiert nichts Tiefes. Ich hoffe, die Begriffe befremden euch nicht. Das ist der Begriff der orientierten Kurve und der Orientierung auf einer Kurve. Analoges machen wir mit Flächen. Wenn ich eine Fläche habe, ich nehme einen Läufer, und der Läufer schlängelt sich irgendwie und schwebt im Raum; die Fläche S. Dann kann ich Folgendes machen: Ich kann einen Stempel nehmen und auf die eine Seite der Fläche das Vorzeichen + aufstempeln. Hier oben beispielsweise und auf die andere Seite der Fläche das Vorzeichen - aufstempeln. In anderen Worten habe ich auf der Fläche eine Seite als positiv ausgezeichnet und eine Seite als negativ ausgezeichnet. Und daraus ergeben sich die Definitionen der orientierten Fläche. Also die Auszeichnung einer Seite als positiv und der anderen Seite als negativ heißt Orientierung einer Fläche. Dann kommt noch eine Definition an die Tafel. Eine Analogie ist zwischen der Orientierung einer Kurve und der Orientierung einer Fläche nicht zu übersehen. Also die Definition: Sei S eine Fläche. Auszeichnung der einen Seite von S als "positiv", in Anführungszeichen, weil diese Bezeichnung willkürlich ist, und der anderen Seite von S als "negativ" heißt Orientierung der Fläche S. Und ganz analog, eine Fläche, auf der eine Seite als positiv und die andere Seite auch als negativ gekennzeichnet sind, heißt orientierte Fläche. Und es ist fast ontologisch, ich schreibe hin, ich kann mir vorstellen, dass es nicht so aufregend ist, aber wir müssen diese Dinge über uns ergehen lassen und erst dann, können wir sinnvoll die Vorzeichen bekommen. Was das mit den Vorzeichen von Integralen zu tun hat, das ist bei diesem Stand der Dinge noch nicht abzusehen, aber geduldet euch noch 10 Minuten, dann haben wir Vorzeichen im Griff. Eine Fläche, auf der eine Seite als "positiv" gekennzeichnet ist und die andere Seite als "negativ" gekennzeichnet ist, hei´t orientierte Fläche. Also wie wir sehen, ist die Orientierung der Kurve und die Orientierung der Fläche keine Hiobsaktion. Einfach nur eine Seite als "positiv" abstempeln und die andere als "negativ". Ich habe ja betont, dass es auf einer Kurve immer genau zwei verschiedene Orientierungen gibt. Bei Flächen ist das leider komplizierter. Die Situation ist die, dass es auf einer Fläche entweder gar keine Orientierung gibt oder gleich zwei. Das möchte ich gerne kurz an einem Beispiel erläutern. Also jede Kurve ist orientierbar, aber nicht jede Fläche ist orientierbar. Das ist erst einmal das vorläufige Fazit. Die gute Nachricht ist die, dass wir nur mit orientierbaren Flächen arbeiten wollen, also Flächen, bei denen der Vorgang des Abstempelns immer machbar ist. Trotzdem möchte ich einen kleinen Exkurs machen. Ihr werdet euch wundern, welche Flächen sich auf diese Weise nicht orientieren lassen. Das ist nicht anschaulich. Ich gebe euch ein Beispiel. Ich habe hier ein Band. Ich kann das Band auseinanderfalten und dann die beiden Enden zusammenführen und das eine Ende an das andere Ende ankleben. Dann habe ich einen Ring bekommen. Das ist ein Ring. Und den Ring können wir orientieren. Die äußere Seite kann ich mit + kennzeichnen und die innere mit -. Und daraus wird eine orientierte Fläche. Ich kann aber auch was anderes machen. Ich kann das Band wieder auseinanderfalten, die beiden Enden wieder aneinanderführen und das eine Ende um 180 Grad verdrehen und erst dann die Enden zusammenkleben. Die Fläche, die sich auf diese Weise ergeben hat, ist nicht orientierbar. Sie besitzt nicht die zwei Seiten, sondern nur eine. Und jetzt wollen wir uns klar machen, wieso diese Fläche nur eine Seite besitzt. Stellt euch vor, ihr nehmt einen Pinsel mit roter Farbe und versucht eine Seite dieser Fläche rot zu färben. Also ihr nehmt einen Pinsel, setzt an einer beliebigen Stelle an und führt den Pinsel stetig über die Fläche. Und es ist so, dass ihr nach einer gewissen Zeit wieder an derselben Stelle ankommt, wo ihr angefangen habt, aber mit dem Ergebnis, dass die ganze Fläche rot gepinselt ist. Wenn wir die andere Seite blau pinseln wollen würden, dann geht das nicht. Wenn man mit der roten Farbe einmal über das Band gelaufen ist, dann ist ja alles schon rot gefärbt. Auf diesem Band kann man auf sinnvolle Weise keine zwei Seiten auszeichnen. Die nicht-orientierbaren Flächen gibt es, hier ist ein Beispiel, und dieses Beispiel ist auch prominent. Dieses Beispiel heißt Möbiusband. Und die gute Nachricht ist die, dass wir von nun an solche Flächen gar nicht betrachten. Die Flächen, mit denen wir arbeiten werden, sind immer orientierbar, sie besitzen zwei Seiten. Und die eine Seite können wir dann auch als "positiv" ansehen und dadurch haben wir eine Orientierung auf der Fläche S festgelegt. Das war der erste Teil. Ich habe den Begriff der orientierten Fläche eingeführt. Nun bewegen wir uns langsam in die Richtung vektorielle Integrale und dazu brauchen wir Parametrisierungen. Also als Nächstes, im zweiten Teil, besprechen wir Verträglichkeit der Parametrisierungen mit Orientierungen. Das wird der Teil 2. Alles, was bis jetzt gewesen war, war der Teil 1. Wieder haben wir eine Kurve, Kurve γ. Auf der Kurve γ haben wir eine Orientierung festgelegt, also eine Durchlaufrichtung, meinetwegen von links nach rechts. Noch einmal, die Festlegung der Orientierung ist willkürlich, je nach der Zweckmäßigkeit. Und dann nehmen wir eine Parametrisierung der Kurve γ. Das ist eine Abbildung φ. Sie bildet ein Intervall a, b bijektiv auf die Kurve γ. So, das ist die Abbildung φ. Und beim Thema Kurvenintegrale haben wir kennengelernt, dass, wenn wir φ ableiten, dann wird der Ableitungsvektor, also der Ableitung von φ, wird dann ein Vektor sein, der auf der Kurve tangential liegt. Das wird in den Videos zu den Kurvenintegralen erläutert, warum das so ist. Wir nehmen das jetzt als Tatsache. Und wenn wir die Parametrisierung abgeleitet haben, ergeben sich zwei Situationen. Entweder zeigt der tangentialvektor in die festgelegte Durchlaufrichtung oder er kann auch gegen diese Richtung zeigen, entweder das eine oder das andere. Und daraus ergibt sich auf natürliche Weise eine Definition. Wenn der Tangentialvektor φ' in die Durchlaufrichtung zeigt, dann ist die Parametrisierung mit dieser Durchlaufrichtung verträglich. Wenn der Tangentialvektor in eine andere Richtung zeigt, dann ist die Parametrisierung φ mit dieser Durchlaufrichtung nicht verträglich. Und das wollen wir als Definition festhalten. Wir betrachten erst einmal eine orientierte Kurve γ. Auf der haben wir bereits eine Durchlaufrichtung festgelegt. Eine Parametrisierung φ wird mit Intervall von a nach b nach Rn, wobei n 2 oder 3 ist, der orientierten Kurve γ heißt mit der Orientierung von γ verträglich, falls der zugehörige Tangentialvektor φ' in die Durchlaufrichtung zeigt. Wenn wir eine orientierte Kurve γ haben, dann kann eine beliebige Parametrisierung φ dieser Kurve entweder mit der Orientierung verträglich oder nicht verträglich sein. Und auf diese Weise zerfällt die Parametrisierung einer Kurve in zwei Klassen: die verträglichen Parametrisierungen und die nicht verträglichen Parametrisierungen. Nun können wir die selben Begriffe für Flächen und Orientierungen für Flächen einführen und das mache ich ja auch. Und ihr könnt schon ahnen, wie das sinnvollerweise geschehen kann. Die Begiffe sind nicht willkürlich, sie sind aus einer bestimmten Problemsituation entstanden und wenn man ein Gefühl für diese Problemsituation bekommen hat, dann kann man die Begriffe schon sinnvoll selbst entwerfen und auch zwei verschiedene Leute können auch die selben Begriffe entwerfen, wenn es sinnvoll und problemorientiert läuft. Jetzt genug Philosophie, also zur Sache. Dann habe ich eine Fläche, wieder so ein fliegender Teppich im Raum, Fläche S, und auf dieser Fläche, die ich als orientierbar voraussetze, habe ich die eine Seite, die obere Seite, als "positiv" ausgezeichnet und dann nehme ich eine Parametrisierung φ dieser Fläche. Sie bildet dann einen Bereich ω auf die Fläche ab und zwar bijektiv. Dann kann ich Kreuzprodukte von partiellen Ableitungen von φ berechnen. Ich unterstelle, dass die Variablen von φ u und v heißen. Im Theorievideo zu Kurvenintegralen haben wir kennengelernt, dass dieses Kreuzprodukt immer normal auf der Fläche steht, egal von welchem Punkt man das Kreuzprodukt betrachtet, der blaue Pfeil steht immer senkrecht auf der Fläche. Es ergeben sich wieder zwei Möglichkeiten. Wenn der blaue Pfeil senkrecht auf der Fläche stehen soll, kann er nach oben zeigen wie in diesem Bild oder meinetwegen auch nach unten. Keiner verbietet das. Also, wenn der blaue Vektor nach unten zeigen würde, würde er trotzdem senkrecht auf der Fläche stehen. Und daraus ergibt sich folgende Definition: Die Parametrisierung φ einer orientierten Fläche S heißt mit der Orientierung von S verträglich, falls der zugehörige Normalvektor aus der positiven Seite der Fläche herauszeigt. So haben wir den Begriff der Verträglichkeit der Parametrisierung mit der Orientierung der Fläche definiert. Diese Definition notiere ich. Definition: Eine Parametrisierung φ, die von ω, eine Menge von R2 nach R3, der orientierten Fläche S heißt mit der Orientierung von S verträglich, falls der zugehörige Normalvektor dφ/du Kreuz dφ/dv aus der positiven Seite der Fläche herauszeigt. Das ist die Definition.

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