Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Offene und abgeschlossene Mengen - Aufgabe 1

Hallo! Wir behandeln ein paar einfache Beispiele zu den Begriffen "offen" und  "abgeschlossen". Zu den topologischen Grundbegriffen. Im theoretischen Beitrag haben wir die Definitionen erläutert: Was bedeutet "offen"? Was bedeutet "abgeschlossen"? Und da kam es auf die Randpunkte an. Jetzt wollen wir das alles veranschaulichen. Ich habe eine einfache zweidimensionale Menge A genommen, und die wollen wir jetzt durchdefinieren, zum Thema "offen und abgeschlossen". Als Erstes sollen wir natürlich die Menge veranschaulichen. Ich hoffe, die Meisten kommen schon darauf, was das sein soll. Trotzdem mache ich eine kurze Erinnerung: Das hier, was da vor den Ungleichheitszeichen steht, sieht total nach einer Kreislinie aus. Und ich erinnere: Die Gleichung (x-x0)2+(y-y0)2=R2, das ist eine Kreislinie mit dem Mittelpunkt (x0, y0) und dem Radius R. "... ist die Kreislinie" Und ich zeichne sie am Besten. Also, der Mittelpunkt ist (x0, y0) - x0 und y0 sind fixierte Zahlen - und R ist der Radius. Gut. Und wenn wir das wissen, dann müssen wir einfach nur dieses x0 und y0 geeignet ablesen, und den Radius auch gleich mit ablesen und berücksichtigen, dass wir hier bei der Menge A ein Ungleichheitszeichen haben und nicht eine Gleichung. Anhand dieser Information lesen wir dann sofort ab, dass x0, die x-Koordinate des Mittelpunkts, 1 ist. y0 ist -1. (Also man soll sich nicht verwirren lasse durch dieses +.) Und R ist gleich ... nicht 4, sondern 2, weil wir haben hier R2. 22=4. Und dass wir hier ein Ungleichheitszeichen haben, das heißt, diese Ungleichung beschreibt nicht die Kreislinie, sondern alles, was die Kreislinie umfasst. Und weil wir hier eine strenge/echte Ungleichung haben, ist die Kreislinie selber nicht beschrieben. Nur das Gebiet, was innerhalb der Kreislinie liegt. Und damit haben wir alles. Dann zeichnen wir einfach nur das Bild und gehen zur Diskussion der topologischen Begriffe über. Das heißt, "Offenheit" bzw. "Abgeschlossenheit". Hier ist die xy-Ebene. Hier ist 1 (die x-Koordinate des Mittelpunkts). Hier ist -1 (die y-Koordinate des Mittelpunkts). Hier ist der Mittelpunkt selbst. Und der Radius ist 2. Also, das sind ja ... Jetzt markiere ich die Punkte ungefähr um 2 Einheiten vom Mittelpunkt entfernt und versuche daraus eine hübsche Kreislinie zu machen. Weil die Kreislinie selber eigentlich nicht zu der Menge gehört, habe ich sie gestrichelt markiert. Und die Menge A ist einfach nur das Innere. Gut. Und das nennen wir die Menge A. Damit ist die Veranschaulichung abgeschlossen.   Nun zu den Begriffen "Offenheit" und "Abgeschlossenheit". Wie wir aus der Definition wissen, heißt eine Menge "offen", wenn sie keinen ihrer Randpunkte enthält. Nun sollen wir die Randpunkte bestimmen. In diesem Fall ist das sehr einfach. Der intuitive Begriff des Randpunkts fällt mit dem mathematischen Begriff des Randpunkts zusammen. Also, die Randpunkte, das ist einfach nur die Randlinie. Ich markiere es noch mal rot. Und den Rand einer Menge bezeichnet man mit diesem Symbol.  Dieses Symbol liest man "delA" oder "dA" oder "Rand A", wie man es möchte. Auf jeden Fall ist das die Randlinie. Und die Definition ist in diesem Fall erfüllt. Ich erinnere: Wenn wir einen Punkt der Randlinie nehmen, einen Randpunkt, und um ihn einen kleinen Kreis (eine kleine Kugel) herum schlagen, dann ist es egal, wie klein der Radius ist, die Kugel wird sowohl Punkte aus der Menge A enthalten, als auch Punkte außerhalb der Menge A enthalten. Und das bedeutet eben, dass dieser Punkt ein Randpunkt ist, nach der Definition. Das ist ja recht einfach. Nun fixieren wir die Ergebnisse. Also, erstens haben wir den Rand ausgerechnet. Also, "der Rand" ... Der Rand der Menge A wird bezeichnet so mit diesem "d" oder "del". Das sind alle Punkte der xy-Ebene, die auf der Kreislinie liegen. Also, wir haben dieselbe Gleichung, dieselbe Struktur, in der analytischen Beschreibung der Kreislinie - bloß statt < haben wir =. Und damit ist die Randlinie beschrieben. (x-1)2+(y+1)2=4. Auf dieses = kommt es an. Das ist die eine Feststellung. Nun sehen wir, dass keiner der Randpunkte zu der Menge A gehört. Das heißt, per Definition ist die Menge A offen. Also, "alle Randpunkte von A gehören nicht zu A". Oder kurz, kryptisch-mathematisch schreibt man das so:  Der Rand der Menge A geschnitten mit der Menge A selbst ist leer. Also, die Menge A und der Rand haben keine gemeinsamen Punkte. Und per Definition bedeutet das, dass die Menge A offen ist. Ende der Diskussion für die Menge A.   Ich fasse zusammen: Wenn wir eine Menge haben, dann veranschaulichen wir sie, berechnen die Randpunkte, und wenden die Definition an. Die Menge A ist offen.   Nun wollen wir dieses Beispiel ein wenig erweitern. Ich werde ein bisschen wischen. Aus der Menge A wird die Menge B. Und der Unterschied ist der, dass ich fast dasselbe, aber in 3 Dimensionen betrachte. Also, zu den Koordinaten x und y füge ich eine 3. Koordinate z hinzu. Ich bin dann in R3. Die Ungleichung für die Kreisscheibe bleibt bestehen, ich sage nur noch, was ich für die Koordinate z voraussetze. Also, die Koordinate z fixiere ich bei dem Wert 1. Und wir wollen sehen, was diese geringfügigen Änderungen bewirken. Also, das ist das nächste Beispiel: Menge B. Na gut, wenn wir schon in 3 Dimensionen sind, dann brauchen wir eine 3. Achse. Das ist die Achse z, und hier flach liegen die Achsen x und y. Und wir skizzieren als Nächstes die Ungleichung blahblahblah<4. Diese Ungleichung ist wieder eine Kreisscheibe in der xy-Ebene. Das hatten wir alles schon gehabt. Ungefähr so sieht es aus. So. Und wenn über die Koordinate z nichts gesagt wäre, dann würde das bedeuten, dass alle Punkte, die oberhalb dieser Kreisscheibe liegen - in diesem Zylinder, in der 3. Dimension - diese Ungleichung erfüllen. Alles, was also ... Man sollte es sich so vorstellen: Erst mal zeichnet man das Koordinatensystem, dann, in der xy-Ebene, zeichnet man die Kreisscheibe, wie wir es gemacht haben, und dann bewegt man die Kreisscheibe parallel zur z-Achse rauf und runter. Und die Spur, die die Kreisscheibe hinterlässt, das ist die Menge, die durch die Ungleichung beschrieben ist. Nun kommt die Koordinate z ins Spiel. Es ist ja gesagt, dass z=1 ist. Und von dem ganzen Zylinder - von dieser Spur, die wir gerade besprochen haben - sind nur die Punkte relevant, die auf der Höhe 1 liegen. Hier ist die Höhe 1, ungefähr, und hier ist die Kreisscheibe auf der Höhe 1. Die Zeichnung ist hier ganz schön unübersichtlich. Wenn wir wissen, wie die Zeichnung entsteht, dann zeichnen wir das jetzt neu, und nur die relevanten Sachen. Also, hier ist ja die xy-Ebene. Es ragt da die z-Achse heraus. Und wir interessieren uns für die schwebende Kreisscheibe auf dem Niveau z=1. Das ist das Niveau z=1. Und dann, sozusagen, das flache Ebenenstück, das von der Kreislinie umfasst wird, das ist eben die Menge B. Gut. Das ist die Veranschaulichung. Nun, die topologischen Begriffe: Nun sollen wir wieder den Rand berechnen. Hier muss man aufpassen! Rein anschaulich ist man geneigt zu sagen, der Rand der Menge B ist das, was ich rot markiere. Also, anschaulich, umgangssprachlich ist das der Rand. Das ist aber nicht der mathematische Rand. In diesem Fall sind der anschauliche Begriff des Randes und der mathematische Begriff des Randes verschiedene Sachen. Und wir erinnern uns an die Definition: Der Rand war über die Kugeln definiert. Das heißt, ein Punkt der Menge B ist ein Randpunkt, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist: Wenn wir um den Punkt eine Kugel legen ... Und hier muss man aufpassen. Im Beispiel mit der Menge A hatten wir Kreisscheiben gelegt, also zweidimensionale Kugeln. Da die Menge B in 3 Dimensionen lebt, müssen wir mit den  dreidimensionalen Kugeln arbeiten. Und nun habe ich einen Punkt der Menge B genommen und eine dreidimensionale Kugel drum herum gelegt. Und man sieht, dass diese Kugel sowohl Punkte enthält, die zur Menge B gehören, als auch Punkte, die nicht zur Menge B gehören. Das heißt, egal welchen Punkt der Menge B wir nehmen, das ist ein Randpunkt. Weil diese Eigenschaft, die ich gerade veranschaulicht habe, für jeden Punkt der Menge B erfüllt ist. Und das heißt, jeder Punkt der Menge B ist ein Randpunkt. Erstens. Und zweitens kommen noch diese intuitiv anschaulichen Randpunkte hinzu, die ich rot markiert habe. Und dann fixieren wir das: Also, "der Rand" der Menge B (also, "delB") = alle Punkte (x, y, z) aus R3, mit der Eigenschaft (x-1)2+(y+1)2≤4 und z=1. Also, =4 bedeutet ja, dass ich die rote Linie mit eingeschlossen habe, und < bedeutet, dass auch alle Punkte der ursprünglichen Menge B zum Rand gehören. Also, der Rand der Menge B ist größer als die Menge B selbst. So folgt es aus der Definition. Das ist die mathematische Definition. Nun die Diskussion der Offenheit: Wir sehen, dass die Menge B eigentlich nur aus den Randpunkten besteht, also sie enthält Randpunkte. Das heißt, sie kann nicht offen sein. Damit eine Menge offen ist, muss sie keine ihrer Randpunkte enthalten. Einerseits. Andererseits gibt es Randpunkte der Menge B, also auf der roten Linie, die nicht zur Menge B gehören. Das heißt, die Menge B ist auch nicht abgeschlossen. Das ist hier kein Fehler. Die Menge B ist weder offen noch abgeschlossen. Solche Mengen gibt es auch; das ist ein Beispiel dazu. Die Klassifikation offen/abgeschlossen ist nicht ausschließend. Es gibt Mengen, die durch das Raster fallen. Und das ist die Menge B. Okay. Also, wie wollen wir das formulieren? Einen Augenblick, wir wollen das formulieren: "Die Menge B enthält einige ihrer Randpunkte." Daraus folgt: "B ist nicht offen." Andererseits: "Einige Randpunkte der Menge B gehören nicht zur Menge B." Das ist auf der roten Linie. Na, daraus folgt: "B ist nicht abgeschlossen." Fazit ist: "B ist weder offen noch abgeschlossen."   Gut. Und jetzt, ganz schnell, machen wir noch ein Beispiel für eine abgeschlossene Menge. Und da brauchen wir nicht viel zu ändern. Wir betrachten eine gewisse Menge C, und schreiben hier statt < ≤. Und die Menge C ist aufgrund der ähnlichen Diskussion abgeschlossen.   Okay. Das war's.  

Informationen zum Video
2 Kommentare
  1. Default

    In meinen Ana 2 Aufgaben kommen auch Mengen V vor: V Teilmenge R^n. Wie kann man da die Abgeschlossenheit bzw. Offenheit zeigen?

    Von Ivan Katzer, vor mehr als 3 Jahren
  2. Default

    Hallo,
    gilt dieses Verfahren als Beweis? Ich würde es jetzt eher über das Epsilon-Kriterium beweisen (was ich hier leider nicht finde für solche Aufgaben).
    Danke für das Video!

    Von Deleted User 25138, vor mehr als 5 Jahren