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Transkript Niveaulinien - Aufgabe 2

Hallo, hier kommt noch eine Aufgabe zum Thema Niveaulinien. Hier ist eine Funktion gegeben: R(x,y) ist |x|+|y| und wir wollen uns klar machen, wie die Niveaulinien dieser Funktion aussehen. Und ich schreibe noch einmal die Definition der Niveaulinie hin. Wir nehmen eine beliebige Zahl C0 und wir wollen die Niveaulinie veranschaulichen. Also: Veranschauliche die folgende Menge. Die Niveaulinien haben wir mit NC0 bezeichnet. Und per Definition ist das die Familie der Punkte (x,y) auf der Ebene R2 mit der Eigenschaft, dass die Funktion in diesen Punkten den Wert C0 hat. Die Funktion ist bei uns |x|+|y| und das soll =C0 sein. Also wir sollen diese Gleichung hier veranschaulichen. Hier ist wieder eine Fallunterscheidung nötig. Wir wissen ja, dass die Beträge immer positiv sind. Die Summe aus 2 positiven Zahlen ergibt wieder eine positive Zahl. Deswegen, wenn die Zahl C0 negativ ist, kann diese Gleichung nie erfüllt sein. Diesen Fall haben wir sofort abgehakt. Wenn C0 negativ ist, dann gibt es eben keine Punkte auf der x-y-Ebene, die dieser Gleichung genügen würden. Also für C00. Wir werden sehen, das man C0>0, C00. Da will ich das nicht separat schreiben. Also wir betrachten diesen Fall. Wir wollen die Gleichung |x|+|y|=C0 veranschaulichen. Ich stelle alles nach y um. Wir sind es so gewohnt, y als eine Funktion von x aufzufassen. Nun habe ich das hier. Nun können wir Beträge weglassen, wie man das üblich macht. Es lohnt sich, dabei eine Bemerkung zu machen. Wir wissen, dass Betrag immer positiv ist. Also die linke Seite ist |y|, die linke Seite ist immer positiv. Das heißt, die rechte Seite C0-|x| soll auch immer positiv sein. Und daraus machen wir die Folgerung, dass C0-|x|≥0 sein soll. Das bedeutet, dass |x|, ich stelle ein bisschen um, ≤C0 sein soll. Und schließlich, wenn wir diese Ungleichung ausschreiben, bedeutet das, dass x einfach nur ohne Beträge zwischen -C0 und C0 liegt. Das heißt, diese Betrachtung macht nur Sinn im Intervall zwischen -C0 und C0. Wenn x außerhalb liegt, dann ist das alles nicht sinnvoll. Okay. Das schreibe ich ja in Klammern, daran werden wir denken. Mit dieser Vorbemerkung will ich dann die Beträge bei y weglassen. Wenn |y| eine Zahl ist, dann kann y entweder +diese Zahl sein (ich schreibe jetzt explizit +diese Zahl, es ist nicht nötig, dieses +, aber ich will das halt betonen) oder -diese Zahl. Das darf gleichzeitig sein. Jetzt sieht man, ich will es ja gegenüberstellen, + und -. Okay. Dann wollen wir das weiter ein bisschen umformen. Da habe ich y=-|x|+C0 oder y=|x|-C0. Das sind die wichtigen Daten, die wir da berechnet haben. Einmal das Intervall, wo x liegt, von -C0 bis 0, und zum Anderen die Gleichungen, die x und y verbinden, aber in einer bequemen, lesbaren Form. Mit diesen Informationen kann man schon die Dinge veranschaulichen. Ich wische das weg, was ich momentan nicht brauche. Vielleicht das Wichtige bleibt an der Tafel stehen. Kurze Erinnerung: Jeder weiß hoffentlich, wie die Betragsfunktion aussieht. Das ist so ein V, das ist die Funktion y=|x|. Und entsprechend -|x| wird dann so aussehen. Man spiegelt bezüglich der x-Achse. Und wenn wir zum Betrag C0 addieren oder vom Betrag C0 subtrahieren, dann entspricht dieses Verschieben nach oben oder nach unten um C0. Wenn wir das alles wissen, dann können wir schon die Niveaulinien zeichnen. Die 1. Gleichung hier, y=-|x|+C0: Also wir nehmen dieses V mit den Zweigen nach unten und verschieben es nach oben um C0. Und das wird dann so aussehen: Hier ist die Betragsfunktion, verschoben nach oben um C0. Hier ist C0. Und das ist dann die Niveaulinie. Also eigentlich geht es so, eigentlich gehen die Betragszweige ins Unendliche. Hier ist die x-Achse, hier ist y, hier ist 0. Diese Betragszweige werden die x-Achse bei C0 und -C0 schneiden. Also wenn man in diese Gleichung hier oben, in die Gleichung, die ich gerade markiert habe, y=0 einsetzt, dann sehen wir, dass x entweder C0 oder -C0 sein kann. Also dadurch haben wir die Schnittpunkte gewonnen. Und andererseits wissen wir, dass x zwischen C0 und -C0 liegen darf. Also diese Teile, die über C0 hinausgehen, werden da abgeschnitten aufgrund der x-Beschränkung. Und Ähnliches passiert hier bei der 2. Gleichung. Hier haben wir diese V-Funktion, also die Betragsfunktion, und die ist nach unten verschoben um C0. Dann haben wir Ähnliches mit der x-Beschränkung. Und alles in allem sieht die Niveaulinie so aus. Und sie schneidet die y-Achse bei -C0. Somit ist die Niveaulinie veranschaulicht. Und wenn C0=0 ist, dann überlegt euch, was da passiert. (Moment mal. Ja, ich bin heute verschnupft, tut mir leid.) Wenn C0=0 ist, kann man sich leicht überlegen, was passiert. Dann schrumpft diese Raute zum einzigen Punkt, zum Ursprung. Und das habe ich ja vorhin schon angesprochen: Wenn C0=0 ist, dann reduziert sich die Niveaulinie auf einen einzigen Punkt. Vielleicht, wenn wir die Niveaulinie veranschaulicht haben, dann können wir den Grafen der Funktion anhand dieser Niveaulinien wiederherstellen. Erst mal sehen wir, wenn die Konstante C0 groß ist, dann ist die Raute groß. Nicht die Raute, wie heißt denn diese Figur? Also ich nenne das Quadrat. Also wenn C0 groß ist, dann ist das Quadrat groß. Wenn C0 klein ist, dann schrumpft dieses Quadrat zum Ursprung hin. So ungefähr. Und das ist ja genug Information, um den Grafen der Funktion zu veranschaulichen. Wenn man es schnell macht, dann wird es so aussehen: Also wir haben dann als Niveaulinien so ein Quadrat. Und dieses Quadrat steht auf der Spitze, also von diesem Quadrat verbinden wir die Ecken mit einem Punkt. So hat man eine Pyramide, die ja umgedreht ist. Und diese Pyramide wird auf der Spitze im Ursprung stehen. Vielleicht kann man es ein bisschen besser zeichnen, damit das Bild schöner ist. Also ungefähr so wird es aussehen. Und hier aus der Spitze ragt die z-Achse heraus. Das ist die z-Achse. Und die Spitze steht auf dem Ursprung, die Spitze steht auf der x-y-Ebene. Ich will nicht die x-y-Achsen zeichnen, das wird die Zeichnung unübersichtlich machen. Ich will die x-y-Ebene mit einer Kreisscheibe andeuten. Also die z-Achse steht explizit da. Das wird dann die x-y-Ebene sein, x0y. Das ist hier der Ursprung 0. Und diese Figur, die wir da haben, die abgeschnittene Pyramide, das ist ein Ausschnitt des Graphen der Funktion, die wir halt da gegeben haben. Das ist der Graph der Funktion z=|x|+|y|. Gut, nun haben wir die Niveaulinien veranschaulicht und anhand der Niveaulinien den Grafen der Funktion wiederhergestellt. Das war's.

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