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Textversion des Videos

Transkript LR-Zerlegung mit Pivotwahl

Hallo, hier ist Christof. In diesem Video geht es um die LR-Zerlegung mit Pivotwahl. Grundlage dafür ist, dass ihr die LR-Zerlegung, die ich in meinem letzten Video erklärt habe, verstanden habt. Bei der Pivotwahl geht es darum, dass man, während man den Gaußalgorithmus ausführt, Spalten bzw. Zeilen so vertauscht, dass betragsmäßig große Elemente auf der Hauptdiagonalen stehen. Es gibt 2 Möglichkeiten der Pivotwahl: Bei der partiellen Pivotwahl oder Spaltenpivotwahl suchen wir nur in der Spalte das betragsmäßig größte Element und vertauschen dann nur die Zeilen so, dass dieses Element auf der Hauptdiagonalen steht. Bei der totalen Pivotwahl hingegen suchen wir in der ganzen Matrix das betragsmäßig größte Element und vertauschen dann Zeilen und Spalten, sodass dieses Element auf der Hauptdiagonalen steht. Wie immer kann man dies am besten an einem Beispiel sehen. Wir beginnen mit einem Beispiel zur partiellen Pivotwahl. Gegeben haben wir wieder eine Matrix A, deren LR-Zerlegung wir bestimmen sollen, dieses Mal allerdings mit Spaltenpivotwahl. Gewählt habe ich hier dieselbe Matrix wie in dem anderen Video zur LR-Zerlegung, um euch die Unterschiede zu demonstrieren. Wie ihr wisst, müssen wir nun als erstes Nullen in der 1. Spalte erzeugen. Dazu gucken wir bei der Spaltenpivotwahl aber zunächst, ob in dem Bereich unter der Hauptdiagonalen in der 1. Spalte eine Zahl ist, die betragsmäßig größer ist, als unser Hauptdiagonalelement. In diesem Fall gibt es ein solches Element, nämlich die 2. Dieses ist unser Pivotelement und soll nun an die Stelle der 1, also in die Hauptdiagonale gebracht werden. Dazu müssen die 1. und 3. Zeile vertauscht werden. Durch das Vertauschen der Zeilen haben wir nun eine Matrix erhalten, bei der das betragsmäßig größte Element der 1. Spalte auf der Hauptdiagonalen steht. Mithilfe dieser 2 erzeugen wir nun die Nullen unterhalb der Hauptdiagonalen. Wie wir noch aus dem anderen Video wissen, tun wir dies, indem wir die 1. Zeile mit einer Zahl multiplizieren und auf die 2. Zeile bzw. 3. Zeile so addieren, dass dort Nullen entstehen. Diese Faktoren sind in diesem Fall beide -½. Es entsteht die unten dargestellte Matrix. Bei der Pivotwahl macht es Sinn, anstelle der Nullen unter der Hauptdiagonale die negativen Faktoren, mit denen man multipliziert hat, hinzuschreiben. Dies sind ja gerade die Elemente, die später in unserer Matrix L stehen sollen. Da beim Vertauschen von Zeilen allerdings diese Elemente in der Matrix L auch vertauscht werden, macht es Sinn, diese Darstellung zu wählen, dann muss man sich um diese Vertauschung in L nicht extra kümmern. Nun wollen wir in der 2. Spalte Nullen erzeugen. Dazu wählen wir wieder zunächst unser Pivotelement, gucken also, ob in dem Bereich unterhalb der Hauptdiagonalen, den ich hier mit einem Rechteck markiert habe, sich ein Element befindet, dass betragsmäßig größer ist, als unser aktuelles Hauptdiagonalenelement. Dies ist nicht der Fall, also brauchen wir keine Zeilen zu vertauschen. Unsere 3 bleibt unser Pivotelement. Wir multiplizieren die 2. Zeile nun wieder mit einem Faktor, in diesem Fall -1/3 und addieren sie zu der 3. Zeile, um dort eine O zu erschaffen. In unserer Notation schreiben wir allerdings gleich wieder den negativen Multiplikationsfaktor, also +1/3, an die entsprechende Stelle. Aufgrund der gewählten Notation haben wir hier nicht direkt die Matrix R stehen, wie sonst, sondern müssen die dort stehende Matrix noch aufteilen in R und L. R enthält dabei alle Elemente auf und über der Hauptdiagonalen. Die Elemente unter der Hauptdiagonalen sind, wie gesagt, genau die Elemente, die in unserer Matrix L stehen sollen. Wie immer stehen in der Matrix L sonst Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen sonst. Als nächstes ein Beispiel zur totalen Pivotwahl. Und schon sind wir fertig mit unserer LR-Zerlegung. Die Matrizen R und L sind hierbei anders als bei LR-Zerlegung ohne Pivotwahl. In der Matrix L dürfen nur Elemente kleiner gleich 1 stehen. Dies ist so, da wir das größte Element immer auf die Hauptdiagonale gestellt haben. Wenn ihr also einmal bei der Matrix L Zahlen bekommt, die größer sind als 1, habt ihr etwas falsch gemacht. Wir nehmen hier wieder die gleiche Matrix A wie beim anderen Beispiel. Im Gegensatz zur Spaltenpivotwahl, wo wir unser Pivotelement nur in der aktuellen Spalte gesucht haben, suchen wir bei der totalen Pivotwahl  in der gesamten Matrix unser betragsmäßig größtes Element. In diesem Fall ist das die 11. Wir müssen nun Zeilen und Spalten so vertauschen, dass die 11 unser erstes Hauptdiagonalelement wird. Nun multiplizieren wir wieder Vielfache der 1. Zeile zur 2. bzw. 3. Zeile, um dort in der 1. Spalte 0 zu erzeugen. Dies solltet ihr ja inzwischen können. Die negativen Multiplikationsfaktoren schreiben wir wieder an die entsprechende Stelle in unserer Matrix, an der sie später in der Matrix L wieder auftauchen sollen. Nach diesem 1. Schritt haben wir mit der 1. Spalte bzw. 1. Zeile nichts mehr am Hut. Also suchen wir nur im restlichen Teil der Matrix nach dem betragsmäßig größten Element und machen dies zu unserem Pivotelement. In diesem Fall müssen wir dazu die 2. und 3. Zeile tauschen. Im Allgemeinen suchen wir das Pivotelement nur in der Untermatrix, die übrig bleibt, wenn wir alle bisher abgearbeiteten Zeilen und Spalten streichen. Wiederum addieren wir ein Vielfaches der 2. Zeile zur 3. Zeile, um in der 2. Spalte unter der Hauptdiagonalen eine 0 zu schaffen. Wie schon im letzten Beispiel können wir auch hier unsere Matrizen L und R ganz leicht ablesen. R enthält alle Elemente auf und über der Hauptdiagonalen, L enthält die Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen, Einsen auf der Hauptdiagonale und Nullen oberhalb. Fassen wir nun noch einmal die Unterschiede zur LR-Zerlegung ohne Pivotwahl zusammen: Bei der partiellen Pivotwahl oder Spaltenpivotwahl wird das betragsmäßig größte Element der Spalte gesucht und dann die Zeilen so vertauscht, dass dieses Element Hauptdiagonalenelement ist. Bei der totalen Pivotwahl hingegen wird das betragsmäßig größte Element der gesamten verbleibenden Untermatrix gesucht und dann die Zeilen und die Spalten so vertauscht, dass dieses Element Hauptdiagonalelement ist. Das war es zur LR-Zerlegung mit Pivotwahl.

Informationen zum Video
2 Kommentare
  1. Default

    Korrekte Antwort der Testfrage zum Video ist falsch.

    Von Osvenator, vor mehr als 3 Jahren
  2. Default

    Gute erklärung. Haben es jetzt verstanden. Danke!
    Ich & meine Kommilitonen würden uns über mehr Videos im Fach Numerik freuen! (Mathematik Bachelor 4.Semester Fach Numerik)

    Von Adem19o7, vor mehr als 4 Jahren