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Transkript Kurvenintegrale von Funktionen – Aufgabe 1

In dieser Aufgabe berechnen wir ein Kurvenintegral und die Daten stehen da. Also, das Kurvenintegral sieht so aus, wir integrieren die Funktion (x+y+z) bezüglich der Kurve γ. Und Kurve γ ist die Randkurve eines bestimmten Dreiecks ABC. Gut, dann machen wir alles der Reihenfolge nach, zuerst veranschaulichen wir die Kurve γ, dann parametrisieren wir die Kurve γ und mit Hilfe dieser Parametrisierung rechnen wir das Integral aus. Veranschaulichung ist ja ganz einfach, zuerst die Achsen x,y,z, wir befinden uns im dreidimensionalen Raum bei dieser Aufgabe. Punkt A hat die Koordinaten (1,0,0), hier ist der Punkt A, Punkt B hat die Koordinaten (0,1,0), genau hier und Punkt C hat die Koordinaten (0,0,1), also hier liegen die Punkt A,B,C. Wir verbinden sie mit Strecken und bekommen ein Dreieck. Und γ ist die Randkurve von diesem Dreieck. Also, zuerst laufen wir von A nach B, dann von B nach C und dann von C zurück zu A und das wird die Kurve γ sein. Als Nächstes parametrisieren wir die Kurve γ, um das Integral überhaupt ausrechen zu können brauchen wir die Parametrisierung. Und Parametrisierung, das ist eine Zickzacklinie, wie man Zickzacklinien parametrisiert, dazu gibt es Aufgaben auf dieser Seite, deswegen ziehe ich alles schnell durch. Also die nächste Überschrift lautet Parametrisierung von γ und die geht so. Standard ist der Folgende: Wir haben 3 Strecken, für die 3 Strecken haben wir 3 Formeln, die 1. Strecke parametrisieren wir nach der Formel A+t(B-A) und das gilt für t zwischen 0 und 1. Die 2. Strecke geht von B nach C, also wir haben die Formel B+(t-1)(C-B) für t zwischen 1 und 2. Und die letzte Strecke geht von C nach A, also ich habe hier C+(t-2)(A-C) und t ist von 2 bis 3. Und diese Parametrisierungstechnik haben wir bereits besprochen. Also man setzt die Punkte A,B,C in diese Formel A ein und rechnet das alles aus und dann bekommt man eine bestimmte Parametrisierung, das mache ich nicht vor. Ja, ich schreibe sofort die Ergebnisse an und eigentlich kann man bei derart einfachen Punkten, wir haben hier Nullen und Einsen, die Formel für die Parametrisierung direkt sehen. Und ich schreibe vielleicht nicht nur die Ergebnisse an, sondern sage dann, wie man die Formel ohne diese Ansätze sehen kann. Aber ich empfehle, rechnet diese Ansätze ruhig durch und vergleicht dann mit dem, was ich hier anschreibe. Die Strecke von A nach B befindet sich in der xy-Ebene, also die z-Koordinate ist auf jeden Fall 0, die z-Koordinate ist 0 auf dieser Strecke. Dann die x-Koordinate bei A war 1 und bei B ist sie 0, also die x-Koordinate fällt von 1 auf 0 ab. Die y-Koordinate auf der Strecke AB war bei A 0 und bei y wurde sie 1, also die y-Koordinate auf dieser Strecke steigt von 0 auf 1. Und y-Koordinate steigt, das heißt es sei doch nur t, t läuft von 0 bis 1, also wenn ich statt y t einsetze, dann passt das, also steigt von 0 auf 1 an. Und damit t von 1 auf 0 fällt, da schreibe ich hier (1-t) und x-Koordinate wird dann von 1 auf 0 fallen. Und bei solchen, einfachen Punkten kann man es sofort sehen und genau dasselbe kommt raus, wenn ihr den Ansatz durchrechnet, das ist nicht schwer. Und alles andere läuft nach demselben Muster. Die Strecke BC befindet sich in der yz-Ebene, also x-Koordinate ist 0 auf der Strecke BC, x-Koordinate ist 0. Dann, was macht die y-Koordinate, die y-Koordinate fällt von 1 auf 0 ab, ja, die y-Koordinate, deswegen schreibe ich hier 2-t, ja, denkt daran, der Parameter t läuft hier zwischen 1 und 2. Damit y von 1 auf 0 fällt, muss ich hier 2-t schreiben, nicht 1-t wie vorher, sondern 2-t. So, und die z-Koordinate steigt von 0 auf 1, was soll ich da hier schreiben? Von 0 auf 1, t-1 und dann steigt sie von 0 auf 1. Und genauso die letzte Strecke, es gibt eine bequeme Koordinate, also CA befindet sich in der xz-Ebene, also y-Koordinate ist 0, dann irgendwas fällt, irgendwas steigt, also was passiert mit der x-Koordinate? x-Koordinate steigt, also habe ich dann t-2 und z-Koordinate fällt, dann habe ich 3-t und fertig. Das ist die Parametrisierung der Randkurve des Dreiecks ABC. Nun befassen wir uns mit dem Integral. Und das Integral berechnet man mithilfe der Parametrisierung, was darf ich abwischen? Also, das schöne Bild darf ich opfern, das brauchen wir nicht mehr. Parametrisierung wische ich weg, aber das braucht man nachher, also habe ich auf meinem Zettel und ihr könnt ja zurückspulen. Also, das Integral. Und was mache ich denn? Also zuerst möchte ich den Integranden (x+y+z) abkürzen, ich möchte das als Funktion f bezeichnen. Also bezeichnen, setze f(x,y,z), das ist gerade das, was unter dem Integral steht, x+y+z. Dann ist das Integral (x+y+z) bezüglich der Kurve γ = folgendes Integral (f•φ)(t)×||φ'(t)||dt und Parameter t läuft auf dem Definitionsbereich der Parametrisierung. Und wir erinnern uns, es gab 3 Strecken und deswegen insgesamt läuft Parameter von 0 bis 3. Das ist die Rechenformel für Kurvenintegrale, die übernehmen wir aus der Theorie, so berechnet man halt Kurvenintegrale, wenn man eine Parametrisierung hat. Nun berücksichtigen wir die Spezifik dieser Aufgabe. Ich habe die Formel für die Parametrisierung hergeleitet und φ war auch für verschiedene Werte von t durch verschiedene Formeln gegeben. Wir hatten auf 3 verschiedenen Strecken 3 verschiedene Intervalle und von t verschiedene Formeln für φ. Und damit wir dieses Integral ausrechnen können, da zerlege ich die Integrationsstrecke in 3 Teile, sodass ich auf jedem Teil immer eine zusammenhängende Formel habe. Und das ist der nächste Schritt, ich zerlege die Integrationsstrecke in 3 Teile. Also, das 1. Intervall war von 0 bis 1, das Nächste von 1 bis 2 und das letzte Intervall wird von 2 bis 3 sein. Und das ist der Inhalt dieses Schrittes und um kürzer zu sein, werde ich dann die t-Abhängigkeit unterdrücken. Ich schreibe alles wie gehabt unter dem Integral, aber ohne t, das ist auch erlaubt, das macht man so. Das nächste Integral ist von 1 bis 2 und unter dem Integral steht dasselbe Zeug und das letzte Integral ist von 2 bis 3 mit genau denselben Buchstaben unter dem Integral. Und als Nächstes wollen wir diese 3 Integrale ausrechnen, ausführlich berechnen wir das 1. Integral, weil das so üblich ist und das 2. und 3. ist ja praktisch dasselbe. Also gut, nun berechnen wir das 1. Integral. Und das 1. Integral hat mit dem Intervall von 0 bis 1 für den Parameter zu tun. Also für t zwischen 0 und 1 hat man Folgendes und langsam der Reihe nach. Also zuerst hatten wir die Parametrisierung, Parametrisierung, ich erinnere euch, sah so aus, wie sah sie denn aus? 1-t, t und 0. Ist das richtig? Ich hoffe, das ist richtig, ja. So, ich bin mir ziemlich sicher, dass es richtig ist. Am besten schaue ich auf meinen Zettel, damit ich keinen Quatsch hier schreibe, ja, das ist richtig. Dann brauchen wir die ableitende Parametrisierung, das ist der sogenannte Tangentialvektor, das ist erläutert im theoretischen Beitrag, also 1-t nach t ableiten macht -1, t nach t ableiten macht 1 und 0 ableiten nach t macht 0, sowieso Konstante. Ja, ist hübsch, die ableitende Parametrisierung ist vom Parameter überhaupt unabhängig, ist konstant. Und das ist sehr angenehm, konstante Ausdrücke unter dem Integral zu haben. Ja, als Nächstes brauchen wir die Länge des Tangentialvektors, also φ'(t) dem Betrage nach, die Formeln sind bekannt. Das ist Quadratwurzel und nun nehmen wir die Komponenten des Tangentialvektors, quadrieren sie, bilden davon die Summe und das wird dann die Länge sein. Also (-1)², -1 habe ich hier übernommen, +1²+ und als Letztes steht 0 da, 0² und alles zusammen macht \sqrt(2). Hervorragend, und dann sollen wir auch den Integranden, die Funktion f, mit der Parametrisierung verketten, also f Kringel φ sollen wir ausrechnen an der Stelle t, also rechnen wir es langsam aus. Also zuerst φ(t) einsetzen, φ(t) ist 1-t,t und 0, also setze ich das ein, 1-t, t und 0 und als Nächstes sollen wir dann die Funktion f auf dieser Parametrisierung auswerten und die Funktion f steht da. Was macht die Funktion f mit ihren Variablen x,y,z? Sie summieren sich einfach nur. Ja, nun wenden wir uns dem vorliegenden Fall zu, ich habe hier 1-t für x, t für y und 0 für z, also wenn ich die Funktion f an dieser Stelle auswerten soll, dann soll ich alle ihre Variablen summieren. Also 1-t, das ist für x, +t, das ist für y und +0, das ist für z. Und noch ein mal, hier ist x, hier ist y und hier ist z. Und das hier ist x+y+z.  Also wir haben eine Formel, das ist nicht immer so, wenn der Integral durch eine andere Formel gegeben hat, dann muss man entsprechend die Rechnung anpassen. Aber hier haben wir die Summe x+y+z und das habe ich hier hingeschrieben.  Und wir haben ja auch eine sehr erfreuliche Situation, (1-t)+t+0=1, auch Konstante, wir haben nichts zu integrieren, wir haben eine konstante Zahl unter dem Integral. Und so war das auch gedacht, wir wollen das alles nicht zu kompliziert machen. Nun sind alle Vorbereitungen getroffen und wir berechnen das Integral, den 1. Teil davon zumindest. Also ∫(von 0 bis 1) (f•φ)(t)×||φ'(t)||dt=die Folgende. (f•φ)(t)=1, das ist sehr schön. Dann ||φ'(t)||=\sqrt(2), so, und sonst haben wir nichts. Ich habe dann 1×\sqrt(2)=\sqrt(2). Ich habe dann \sqrt(2)×∫(von 0 bis 1)dt und hier ist nichts zu integrieren, \sqrt(2) ist hier. Ja, und so weiter, es gibt hier nicht viel mehr zu tun. Und den 2. und 3. Teil des Integrals berechnet man völlig analog, das mache ich einfach nur mit der Wischmethode. Ich empfehle euch, zieht diese Rechnung durch für das 2. und 3. Integral, für den 2. und den 3. Teil. Ihr sollt Ähnliches bekommen, also drückt auf die Pause und rechnet das alles gewissenhaft durch. Na gut, dann schreibe ich die Ergebnisse an. Für das Intervall von 1 bis 2 hatte man Folgendes, die Parametrisierung sah so aus (0,2-t,t-1). Die Ableitung ist hier entsprechend (0,-1,1), die Länge des Tangentialvektors ist nach wie vor konstant, \sqrt(2). Die Verkettung f Kringel φ ist, also rechnet es bitte durch, nach wir vor =1. Das sieht man eigentlich, 0+(2-t)+(t-1) macht 1, ganz genau. Dann das Integral, das wir da ausrechnen müssen, das ist ja von 1 bis 2 und unter dem Integral stehen dieselben Zahlen, also es verschiebt sich einfach nur die Integrationsstrecke um 1 nach oben und das ist das 2. Intervall. Also ratet mal, was mit dem 3. Intervall passiert, also dreimal dürft ihr raten und am Ende kommt auch \sqrt(2) raus, also das werde ich auch gar nicht anschreiben, das ist völlig dasselbe. Gut, nun kommen wir zum feierlichen Abschluss, das Integral habe ich da angekündigt. Also, wir haben das ursprüngliche Integral in 3 Teile zerlegt, 3 Terme. Und jeder Term war \sqrt(2). Also 3×\sqrt(2) gibt einfach nur 3\sqrt(2), das ist das Ergebnis. Das fixiere ich noch einmal an der Tafel, nicht noch einmal, sondern erst recht. Also ∫(x+y+z)ds über die Kurve γ war = ∫(von 0 bis 1)(f•φ)||φ'||dt+ und nun werde ich doch faul, also ich schreibe hier Pünktchen, und mit Pünktchen meine ich, da steht ja dasselbe Zeug unter dem Integral + Integral von 2 bis 3 und dasselbe Zeug. Das ist =\sqrt(2), haben wir ausführlich berechnet, dann +\sqrt(2), das habe ich angedeutet und +\sqrt(2), das habe ich ja gar nicht explizit berechnet, aber das war schon offensichtlich. Und insgesamt hat man 3\sqrt(2) und das ist unser Ergebnis, das ist die finale Lösung. Dankeschön.

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