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Transkript Kapitel 2 Aufgabe 3: Linearkombinationen, Basis

Hallo, ich bin Sergej. In dieser Aufgabe üben wir die Begriffe Linearkombination und Basis. Gegeben sind 5 Vektoren. 3 Blaue v1, v2, v3 und 2 Rote a und b  und wir wollen versuchen die Vektoren a und b als Linearkombination der blauen Vektoren v1, v2, v3 darzustellen, wenn das geht. Wenn das geht, wollen wir das auch konkret ausrechnen, Linearkombinationen. Dann untersuchen wir die Frage, ob die blauen Vektoren v1, v2, v3 eine Basis des Raumes R3 bilden. Den Vektor a als lineare Kombination der Vektoren v1, v2, v3 darzustellen, bedeutet die Koeffizienten α1, α2, α3 zu finden, sodass diese Gleichung hier erfüllt ist. Die obere Gleichung. Alle der hier beteiligten Vektoren haben 3 Komponenten. Wenn man diese obere Gleichung also komponentweise ausschreibt, dann bekommt man ein lineares Gleichungssystem bestehend aus 3 Gleichungen bezüglich der Variablen α1, α2 und α3. Und wir sollen demnächst dieses lineare Gleichungssystem lösen. Dasselbe betrifft den Vektor b. Gesucht sind die Koeffizienten β1, β2, β3, sodass die Gleichung b erfüllt ist. Und in Wahrheit ist das ein lineares Gleichungssystem bestehend aus 3 Gleichungen bezüglich 3 Variablen β1, β2, β3 und wir wollen dieses Gleichungssystem lösen. Natürlich mit dem Algorithmus von Gauß. Das Gleichungssystem a hat diese erweitere Koeffizienten-Matrix, entsprechend das unten ist die erweiterte Koeffizienten-Matrix für das Gleichungssystem b und statt mit dem Gauß-Algorithmus 2mal zu rechnen, an diesen Matrizen, wir machen das Folgende. Wir betrachten den Null-Matrix, links stehen die Vektoren v1, v2, v3, nach dem Strich stellen wir die Vektoren a und b zusammen und führen den Gauß-Algorithmus für diese große Matrix durch. Und dann in einem Wisch lösen wir die beiden linearen Gleichungssysteme. Nun kommen die Einzelheiten, wir bringen diese große Matrix auf die Zeilenstufenform. Nun haben wir die Stufenform ausgerechnet. Die Stufen sind hier und als Nächstes analysieren wir diese Matrix mit dem Rangkriterium. Ich erinnere euch daran, dass hier ganz recht, diese Spalte ganz rechts für den Vektor b zuständig ist, diese Spalte hier ist für den Vektor a zuständig. Dann decken wir die b-Spalte zu und schauen, was uns das Rangkriterium sagt. Wir sehen hier, dass der Rang, also sowohl der Koeffizientenmatrix als auch der erweiterten Koeffizientenmatrix jeweils 2 ist, wir haben hier 2 Fibo-Elemente. D. h. das lineare Gleichungssystem a, für den Vektor a ist lösbar. Das ist die eine Nachricht, die andere Nachricht die wir hier sehen, wenn wir hier die Spalte für den Vektor a ignorieren und nur die Spalte für den Vektor b betrachten, dann sehen wir eine Widerspruchszeile. Also links vom Strich stehen lauter 0, rechts vom Strich steht eine Zahl, die von 0 verschieden ist, hier ist 1. Und nach dem Gausch-Algorithmus wissen wir, dass das Gleichungssystem, daraus wissen wir, dass das Gleichungssystem mit dem Vektor b nicht lösbar ist. Wir haben hier eine Widerspruchszeile. Und dann, dieses Ergebnis skizzieren wir. Das lineare Gleichungssystem b ist nicht lösbar. Was bedeutet das konkret für unsere Frage. Wir wollten b, den Vektor b, als lineare Kombination der Vektoren v darstellen. D. h. wie sah das lineare Gleichungssystem b aus. Also der Vektor b war β1v1, β2v2+β3v3. Und wir haben gerade festgestellt, dass dieses Gleichungssystem gar nicht lösbar ist. D. h. egal welche β wir hier wählen, für alle β1, β2, β3 ist dieses Gleichungssystem nicht erfüll, d. h. wir haben hier Ungleichheit. D. h. der Vektor b lässt sich nicht als Linearkombination von v1, v2, v3 darstellen, egal wie wir die Koeffizienten wählen, wir bekommen was anderes als der Vektor b. Und das bedeutet insbesondere, dass der Vektor b nicht in den linearen Hüllendetektoren v1, v2, v3 enthalten ist. Das fixieren wir als Ergebnis, b ist nicht enthalten im Span oder Span oder in der linearen Hülle von v1, v2, v3. Und das ist unser Ergebnis in Bezug auf den Vektor b. Die Frage haben wir somit negativ beantwortet. Nun manchen wir mit dem Vektor a weiter. Hier ist unsere Matrix, Vektor b haben wir schon behandelt, diese Spalte können wir schon wegwischen und wir diskutieren diese Matrix hier. Weil die letzte Zeile aus lauter 0 besteht, ist sie nicht sehr informativ. Wir können sie ruhig wegwischen und dann analysieren wir die Koeffizienten, die hier übrig geblieben sind. Auf diese Weise haben wir mit dem Algorithmus von Gauß, das lineare Gleichungssystem a gelöst. Hier ist die Lösung. Nun setzen wir die Lösung ein. α1=(10+8λ)×v1, α2=-2λ, ich klammere schon -2 aus, ×v2+λ×v3. Dabei darf λ eine beliebige, reele Zahl sein. Für beliebiges λ. Und das ist unsere Antwort auf die Frage, das ist unsere Lösung der Aufgabe, entwickle den Vektor a nach den Vektoren v1, v2, v3 oder stelle den Vektor a als Linearkombination von v1, v2, v3. Wir sehen, dass das für beliebiges λ gültig ist und z. B. für λ 0 erhalten wir darauf λ=0 ergibt die folgende Darstellung, aa=10v1-2v2 oder für λ -1 erhalten wir die folgende Darstellung. Wenn λ=(-1) ist dann haben wir 2v1. Ich setze hier einfach nur λ-1 ein, dann habe ich 0×v2+λv3, also -v3 und so können wir Linearkobinationen von a aus den Vektoren v1, v2, v3 stapelweise produzieren. Wir setzen jeweils ein anderes λ ein und dann bekommen wir eine andere Linearkombination. So verhält es sich mit dem Vektor a. Nun fassen wir die Ergebnisse zusammen und überlegen uns, ob die Vektoren v1, v2, v3 eine Basis bilden können. Der Vektor a lässt so als lineare Kombination der Vektoren v1, v2, v3 darstellen. Wir setzen eine beliebige Zahl λ ein und bekommen jeweils eine andere Linearkombination. Der Vektor b lässt sich überhaupt nicht als lineare Kombination von Vektor v1, v2, v3 darstellen. Egal welche Koeffizienten β wir hier einsetzen, das Ganze ergibt nicht den Vektor b. Was bedeutet das für die Basiseigenschaften von Vektoren v1, v2, v3. Wir erinnern uns aus der Theorie, hier ist die blaue Box, damit die Vektoren v1, v2, v3 eine Basis des R3 bilden, müssen sie erst mal ein erzeugendes System sein. D. h. die lineare Hülle von diesen 3 Vektoren muss ganz R3 ergeben, 2. müssen sie linear unabhängig sein. Und was sehen wir hier, der Vektor b ist in anderen Worten nicht in der linearen Hülle von v1, v2, v3 enthalten. Das bedeutet, dass die lineare Hülle von den 3 Vektoren nicht den ganzen Raum R3 erfasst. Z.B. der Vektor b ist nicht dabei, d. h. wir haben hier keine Gleichung. Also, die Spanne von v1, v2, v3 ist ungleich R3. Also, die Vektoren v1, v2, v3 bilden kein erzeugendes System. Deswegen ist das keine Basis. Nun mit der linearen Unabhängigkeit ist es auch nicht gut. Im Theorievideo "Einführung in die lineare Unabhängigkeit", habe ich euch damit auseinandergesetzt, dass die lineare Unabhängigkeit von diese Vektoren, gleichbedeutend damit ist, dass solche Linearkombinationen eindeutig sind. Die Linearkombination, die Darstellung des Vektors a als lineare Kombination von v1, v2, v3 ist nicht eindeutig. Wir können sehr viele Darstellungen bekommen, indem wir verschiedene Zeilenlambdas einsetzen. Also diese Linearkombination ist nicht eindeutig, deswegen sind die Vektoren v1, v2, v3 auch nicht linear unabhängig. Also, auch das ist hier nicht gegeben. Und deswegen haben die Vektoren überhaupt keine Chance, die Vektoren v1, v2, v3 überhaupt keine Chance eine Basis zu bilden. Und das ist unser Fazit: v1, v2, v3 bilden keine Basis des Raumes R3. Somit haben wir alle Fragen innerhalb dieser Aufgabe beantwortet. Ich bedanke mich fürs Zuschauen.

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