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Transkript Kap3 Theorie 2: Basis, Dimension und Unterräume in allgemeinen Vektorräumen

Hallo, ich bin Sergej. In diesem Video geht es um die Begriffe Basis, Dimension und Unterräume in allgemeinen Vektorräumen. Auf dieser Seite sofatutor.com gibt es bereits Videos, wo wir uns mit diesen Begriffen für einen Spezialfall auseinandersetzen. Nämlich für den Fall des Raumes Rn. Das ist auch ein Vektorraum. Und dort gebe ich sehr ausführliche Motivationen. Es gibt dort sehr viel Veranschaulichung und langsam, behutsam, aber sicher führe ich euch auf die Begriffe, auf die abstrakten Definitionen.   In diesem Video wollen wir die Begriffe, die wir dort für den Fall des Raumes Rn mühsam herausgearbeitet haben. Ich will diese Begriffe einfach nur übertragen. Für den Fall eines allgemeinen abstrakten Vektorraumes. Also hier geht es nicht um Rn, sondern um einen allgemeinen Vektorraum und es ist ideal, wenn ihr schon aus dem Raum Rn mit diesen Begriffen vertraut seid.   In diesem Video gebe ich Zusammenfassungen, einen schnellen Überblick über die Begriffe für allgemeine Vektorräume und ich präsentiere euch alles, was man über diese Dinge wissen soll, um die Übungsaufgaben erfolgreich zu bearbeiten.   Wir haben nun also mit einem allgemeinen Vektorraum V zu tun und wir rekapitulieren die Definition der linearen Unabhängigkeit, Erzeugendensystem und Basis für den allgemeinen Vektorraum.   Vektorraum V wird über den Körper K betrachtet, wobei der Körper K wie üblich entweder die komplexen Zahlen sind oder die reellen Zahlen. Und daraus nimmt man einfach nur die Koeffizienten für alle linearen Kombinationen, die da im Spiel sind. Ich fixiere eine Familie von Vektoren V1 bis Vk. Ich mache euch darauf aufmerksam, dass ich oberhalb von den Buchstaben V - V1 bis VK - keine Pfeile schreibe. Das sind Vektoren, aber ich verzichte darauf, Pfeile dadrüber zu schreiben, weil: Der Vektorraum V ist hier bei uns allgemein muss nicht unbedingt aus Pfeilen bestehen, kann zum Beispiel aus Funktionen bestehen oder aus Polynomen oder aus Matrizen und es macht wenig Sinn, oberhalb von einem Polynom Pfeile zu schreiben. Ja. Das sind einfach nur Elemente eines abstrakten Vektorraumes, ja, und als solche müssen sie nicht Pfeile sein. Deswegen schreibe ich auch keinen Pfeil.   Also, ich habe hier eine Familie von Vektoren und diese heißen "linear unabhängig", falls die lineare Kombination von diesen Vektoren zu 0. Ist nur dann möglich, wenn alle Koeffizienten dieser linearen Kombination gleich 0 sind. Ja? Das ist die Definition der linearen Unabhängigkeit und im Video "Lineare Unabhängigkeit in Rn" habe ich diese Definition sehr ausführlich motiviert. Um diese Definition zu verstehen, empfehle ich euch, dieses Video anzuschauen. Ja, weil diese formale Definition ist ziemlich trocken. Ja, man versteht nicht wirklich, was hier gemeint ist. Aber das ist die formale Fassung für die Bearbeitung von Übungsaufgaben.   Gut, die Familie V1 bis Vk heißt Erzeugendensystem des Raumes V. Falls die lineare Hülle von diesen Vektoren gleich dem Vektorraum ist. Die lineare Hülle, ich erinnere euch daran, lineare Hülle per Definition oder "span" oder Spann besteht aus allen möglichen Linearkombinationen aus diesen Vektoren. Und um zu betonen, dass die Koeffizienten in dieser Linearkombination aus dem Körper K stammen, da schreibt man hier Index K unter span oder Spann. Und man kann ruhig dieses K weglassen, ist auch richtig, aber um eben zu betonen, dass die Koeffizienten aus diesem Körper K stammen, da schreibt man hier K. Ja und manchmal ist es wichtig, ja, wenn es hier weggelassen ist, dann ist es so gemeint, dass aus dem Kontext klar ist, welcher Körper da gemeint ist.   Gut, das ist das Erzeugendensystem und die Vektorenfamilie V1 bis Vk bilden eine Basis des Vektorraumes V per Definition, weil sie erstens linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem sind. Gut, das sind die Definitionen.   Nun, wenn wir den Begriff der Basis in einem Vektorraum haben, können wir den Begriff der Dimension definieren. Wie gegen wir vor? Wir nehmen einen Vektorraum V, wir fixieren dort eine Basis. Im Fall, wenn die Basis aus endlich vielen Vektoren besteht, dann zählen wir diese Vektoren und die Anzahl der Vektoren in einer Basis nennen wir Dimension des Vektorraumes V. Wenn es so vorkommt, dass es keine Basis gibt, die aus endlich vielen Vektoren besteht, dann definiert man per Konvention die Dimension des Vektorraumes ist gleich ?. Und was ist denn dabei wichtig? Ja, was wird dann dieser Definition schon unterstellt? Die folgende wichtige Tatsache, nämlich dass, wenn wir zwei beliebige Basen des Vektorraumes V haben, dann heißt das, dass sie bestehen aus der gleichen Anzahl von Vektoren. Und diese Anzahl ist nämlich die Dimension des Vektorraumes V. Hier ist die Notation. Man schreibt dimV, das ist die Dimension des Vektorraumes und manchmal, um zu betonen, dass wir im Vektorraum die Zahlen für die Koeffizienten in Linearkombinationen aus einem bestimmten Körper K nehmen, dann schreibt man diesen Körper K so hier als Index unterhalb mit. Ja? Also in der Regel die reellen Zahlen oder komplexe Zahlen.   Dann gibt es einen merkwürdigen Vektorraum, der keine Basis besitzt. Das ist der Nullvektorraum. Der Vektorraum, der aus einem einzigen Vektor besteht, ja? Und man definiert per Konvention die Dimension von diesem Vektorraum ist 0. Ist auch eine naheliegende Konvention.   Neben der Definition des Begriffes Dimension eines Vektorraumes ist es nützlich, die folgenden Tatsachen zur Kenntnis zu nehmen. Wir wissen also: Die Basis eines Vektorraumes besteht aus einer Familie von Vektoren, die erstens linear unabhängig sind, zweitens ein Erzeugendensystem bilden. Die Dimension eines Vektorraumes ist die Anzahl von Vektoren in einer Basis. Nun haben wir aber die folgenden Bemerkungen. Die Dimension eines Vektorraumes kann man auch so charakterisieren. Das ist die maximale Anzahl von Vektoren im Vektorraum, die linear unabhängig sind. Zugleich ist auch die Dimension eines Vektorraumes die minimale Anzahl von Vektoren in diesem Vektorraum, die dort ein Erzeugendensystem bilden. Das sind sehr interessante Tatsachen. In Büchern werden sie als Theoreme formuliert, sind beweisbedürftig. Hier verzichte ich natürlich auf die Beweisführung. Ich fasse es als Bemerkungen zusammen. Nehmt euch bitte das zur Kenntnis.   Welche praktischen Konsequenzen hat das? Also, oft in Übungsaufgaben soll man entscheiden, ob das vorgegebene System von Vektoren linear unabhängig ist oder es ein Erzeugendensystem ist. Wir haben da folgende Kriterien: Wenn wir K Vektoren haben in einem Vektorraum, K Stück, dann die Anzahl der Vektoren größer als die Dimension des Raumes ist, dann können diese Vektoren nicht linear unabhängig sein. Ja. Wenn die Anzahl dieser Vektoren aber kleiner als die Dimension des Raumes ist, dann können sie kein Erzeugendensystem bilden. Ja. Und das folgt direkt aus den beiden Bemerkungen.   Zum Schluss befassen wir uns mit dem Begriff Unterraum in einem allgemeinen Vektorraum. Die grundlegende Idee möchte ich an diesem Bild veranschaulichen. Was haben wir in diesem Bild? Wir haben 3 Koordinatenachsen x, y, z im Raum R3 und wir betrachten dort die xy-Koordinatenebene. Erstens: Der Raum R3 selbst ist ein Vektorraum. Zweitens: Die Koordinatenebene, an sich betrachtet, ist auch ein Vektorraum.   Wir haben hier eine solche Situation. Wir haben zwei Vektorräume im Spiel, einen großen umgebenden Vektorraum R3 und einen sozusagen kleinen eingebetteten Vektorraum, die Ebene. Ja, und der eine Vektorraum, die Ebene, ist ein Teil vom großen Vektorraum, von R3. Und das ist die grundlegende Idee. Unter einem Unterraum in einem allgemeinen Vektorraum versteht man eine Teilmenge des Vektorraumes, die selbst ein Vektorraum ist. Bevor wir aus dieser Idee eine Definition machen, die da schon oben steht, lasst uns ein paar technische Beobachtungen durchführen. Und zwar die folgenden: Also wenn ich hier in der Ebene zwei beliebige Vektoren betrachte und sie addiere nach der Parallelogrammregel, dann bleibt der Summenvektor - meinetwegen hier ist der Vektor V, hier ist der Vektor W und die Diagonale ist der Vektor V+W. Also der Summenvektor bleibt auf jeden Fall in der Ebene, verlässt die Ebene nicht. Egal wie die Vektoren V und W geartet sind. Und in diesem Sinne sagt man, dass die Ebene bezüglich der Vektorenaddition abgeschlossen ist. Mit der Addition von Vektoren in der Ebene kommt man aus der Ebene nicht heraus. Nun noch eine Bemerkung. Wenn ich hier einen weiteren Vektor habe, U meinetwegen, ja, und ich diesen Vektor mit einer Zahl multipliziere, dann ist der Produktvektor ?U, weil die Zahl ? war. Der Produktvektor bleibt ebenfalls in der Ebene. Der Produktvektor verlässt nicht die Ebene. In diesem Sinne sagt man, dass die Ebene abgeschlossen ist bezüglich der Multiplikation mit Zahlen, bezüglich der skalaren Multiplikation. Wir haben diese zwei Abgeschlossenheitseigenschaften. Und diese Eigenschaften verallgemeinert man und daraus bekommt man die Definition eines Unterraumes in einem abstrakten Vektorraum. Und hier ist die Definition. Wir fixieren einen Vektorraum V, eine nicht nähere Teilmenge U von V heißt dann Unterraum oder Teilraum oder Untervektorraum, falls diese zwei Eigenschaften gelten. Erstens die Abgeschlossenheit bezüglich der Vektorenaddition und Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation mit Zahlen. Gut. Und ja, wenn diese beiden Eigenschaften erfüllt sind, dann haben wir einen Unterraum.   Bei den Übungsaufgaben muss man oft entscheiden, ob die vorgelegte Teilmenge eines Vektorraumes ein Unterraum ist. Ja. Und wenn man der Meinung ist, dass das der Fall ist, ja, dass es sich um einen Unterraum handelt, dann muss man diese zwei Eigenschaften nachprüfen. Wenn nicht, dann muss man ein Gegenbeispiel bringen und ein sehr bequemer Spezialfall ist der folgende in der nächsten Bemerkung. Wenn wir eine Teilmenge W eines Vektorraumes V haben, über die wir zu entscheiden haben, ob es sich dabei um einen Unterraum handelt, dann können wir so vorgehen: Wenn uns gelingt, nachzuweisen, dass der Nullvektor in der Menge, die nicht enthalten ist, dann folgt daraus notwendigerweise, dass die Menge W kein Unterraum ist. Das ist ein bequemes Kriterium. Und dieses Kriterium habe ich schon im Video "Unterräume des Rn" besprochen. Gut. Und die Begründung im Fall von allgemeinen Vektorräumen ist dieselbe. Auf dieser Seite gibt es Videos, wo ich konkrete Vektorräume und Unterräume betrachte und Teilmengen betrachte, die keine Unterräume sind. Und dann begründe ich natürlich das. Ja, es gibt zahlreiche Aufgaben zu diesem Thema. Außerdem gibt es zwei Aufgaben zum Thema Dimensionen von Vektorräumen und Unterräumen. Und an dieser Stelle danke ich euch und hoffe, dass diese Informationen hilfreich waren. Ich empfehle auch, die konkreten Aufgaben anzuschauen. Nur dadurch, dass man Aufgaben bearbeitet, kann man Theorie richtig verstehen.   Dankeschön.

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1 Kommentar
  1. Default

    Video spielt leider nicht ab ..

    Von Hacky, vor 7 Monaten