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Transkript Kap2 Aufgabe 6: Dimension und Basis von Unterräumen

Hallo! Ich bin Sergej! In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Berechnung von Dimensionen der gegebenen Unterräume. Als Nebenprodukt dieser Tätigkeit ergeben sich auch die Basen von Unterräumen. Das wollen wir alles ausrechnen und angeben und für die Unterräume U, V und U geschnitten V. Übrigens: Wenn man zwei Unterräume U und V hat, dann ist der Schnitt von diesen beiden immer ein Unterraum. Das kann man leicht nachprüfen, wollen wir jetzt aber nicht machen, aber zur Information: Schnitt von 2 Unterräumen ist immer ein Unterraum. Die Vereinigung von 2 Unterräumen muss nicht ein Unterraum sein. Na gut. Das ist aber nicht unser Thema. Die Strategie ist die Folgende: Wir wollen den Unterraum U und auch den Unterraum V als lineare Hülle von gewissen Vektoren darstellen. Anhand dieser Darstellung können wir dann die Basis und Dimension ansehen, denn so, wie die Unterräume hier gegeben sind, kann man die Basis und Dimension nicht ansehen. Ich erinnere euch: Die Dimension eines Unterraumes ist definiert wie folgt: Dimension ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren. Und bitte, wenn ihr diese 3 Gleichungen seht, dann sagt bitte wie viele Vektoren gibt es maximal in diesem Raum V, sodass sie linear unabhängig sind. Das kann man so nicht sagen. Das muss man nachrechnen und ich zeige euch wie das geht. Wir fangen mit dem Unterraum U an. Wie gesagt, wir wollen U als lineare Hülle von gewissen Vektoren darstellen. Wie geht denn das? Zuerst schreibe ich die definierende Gleichung ab: x2=2x3+2x4. Ich fasse diese Gleichung als lineares Gleichungssystem auf, bestehend aus einer Gleichung, formuliert in Bezug auf 4 Veränderliche. Nun behandel ich dieses Gleichungssystem mit dem Algorithmus von Gauss. Mit dem Algorithmus von Gauss rechne ich die Lösungsmenge aus. Also wie geht denn das? Offenbar ist die einzige Pivot Variable in diesem Gleichungssystem x2. x1, x3, x4 sind nicht Pivot Variablen. Also x1, x3, x4 sind nicht Pivot Variablen und nicht Pivot Variablen sind nach dem Algorithmus von Gauss frei laufende Konstanten und die bezeichne ich mit α, β, γ respektive. Also x2 war 2x3+2x4. Also x3 war β und x4 war γ. Also habe ich da 2β+2γ. Daraus kann ich schon die Lösung angeben. Der Lösungsvektor x1, x2, x3, x4 hat folgende Struktur: α kann ich ausklammern. Da bleibt einfach nur 1, 0, 0, 0 übrig. Dann kann ich β ausklammern. Ich bekomme in der ersten Zeile 0, in der zweiten 2, dann bekomm ich in der dritten Zeile 1 und in der vierten Zeile 0. Und ich kann γ ausklammern. Dazu entsprechend bekomm ich 0, 2, 0, 1, wobei Aplha, β, γ frei laufende Konstanten sind. Das hat uns der Algorithmus von Gauss hergegeben. Was haben wir berechnet? Damit ein Vektor x1, x2, x3, x4 im Unterraum U enthalten ist, muss er eine lineare Kombination von diesen 3 Vektoren sein. Also diese 3 Vektoren sind in anderen Worten ein erzeugendes System für den Unterraum U und wir dürfen schreiben: U ist Span oder lineare Hülle von diesen 3 Vektoren: (1, 0, 0, 0), (0, 2, 1, 0) und (0, 2, 0 ,1). Diese 3 Vektoren sind offenbar linear unabhängig. Warum sage ich offenbar? Wenn ich dieses Gleichungssystem gleich 0 sein soll. Wenn ich dieses Gleichungssystem löse bezüglich α, β, γ, dann wird rauskommen offenbar, dass α, β und γ gleich 0 sind. Dieses Gleichungssystem besitzt genau 1 Lösung, und zwar die triviale. Das Gleichungssystem ist so einfach, dass man das sofort sieht. Wichtig ist, dass man in der ersten Zeile die 1 hat und sonst die Nullen. In der dritten Zeile hat man wieder die 1 und sonst die Nullen und in der vierten Zeile die 1 und sonst die Nullen und das folgt dann sofort. Also diese 3 Vektoren sind auch linear unabhängig. Was haben wir gezeigt? Diese 3 Vektoren bilden ein Erzeugungssystem für den Unterraum U und sind auch linear unabhängig. Also ist das eine Basis des Unterraumes U oder in anderen Worten die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren, die in dem Raum U enthalten sein kann, ist 3. Wenn ich da einen vierten Vektor hinzufüge, dann nachdem, was ich leider schon weggewischt habe, folgt, dass dieser vierte Vektor sich linear aus diesen 3 kombinieren lässt. Das heißt, beliebige 4 Vektoren in diesem Unterraum U sind linear abhängig. Das sind unsere Ergebnisse. Die Basis steht da und die Dimension ist 3. Die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren in diesem Unterraum. Dimension ist gleich 3. Das ist der Unterraum U. Mit dem Unterraum V verfahren wir ganz analog. Hier gibt es allerdings ein bisschen mehr Rechenarbeit, aber das schaffen wir. Wie gesagt, also einen Vektor mit Koordinaten x1 bis x4 ist genau dann enthalten im Raum V, wenn seine Koordinaten dieses Gleichungssystem lösen. Die Strategie ist die Folgende: Wir wollen dieses Gleichungssystem mit dem Algorithmus von Gauss behandeln und als Ergebnis ergibt sich eine Darstellung des Unterraumes V als lineare Hülle von gewissen Vektoren, und wenn wir diese Darstellung haben, dann können wir, wie ihr ja schon gesehen habt, sehr einfach die Basis und die Dimension des Unterraumes V angeben. Die Rechnungen sind die Üblichen des Algorithmus von Gauss. Deswegen mache ich alles ganz schnell. Mit dem Algorithmus von Gauss haben wir ausgerechnet, dass ein Vektor mit den Komponenten x1 bis x4 genau dann im Unterraum V enthalten ist, wenn er ein Vielfaches des Vektors (1, -1, -1, 1) ist. In anderen Worten: Der Unterraum V ist die lineare Hülle, Span, des angegebenen Vektors mit den Komponenten 1, -1, -1, 1. Daraus folgt natürlich, dass die Dimension des Unterraumes V gleich 1 ist. Wir haben nur einen Vektor hier unter Span. Die Dimension ist 1. Nun behandeln wir ganz schnell den Durchschnitt U geschnitten mit V. Zuerst: Wie beschreibt man den Durchschnitt analytisch? Ich werfe einfach nur alle Gleichungen, die die beiden Räume beschreiben in einen Topf. Hier ist die erste Gleichung. Die kam vom Raum U. Alle anderen Gleichungen kamen von Raum V und die betrachte ich jetzt zusammen. Dann schreibe ich das zu einem linearen Gleichungssystem. Die Reihenfolge ist egal. Die Gleichung, die von Raum U kommt, die ist hier unten. Und dieses lineare Gleichungssystem behandel ich mit dem Algorithmus von Gauss. Die ersten 3 Gleichungen habe ich schon mit dem Algorithmus von Gauss behandelt. Die entsprechende Normalform, Zeilenstufenform, war diese hier. Die ersten 3 Zeilen. Ich füge einfach noch zu der alten Zeilenstufenform, die wir schon ausgerechnet haben, die Zeile, die von der letzten Gleichung kommt, hinzu. Die behandel ich wieder mit dem Algorithmus von Gauss. Ich führe die elementaren Zeilenumformungen durch und überzeugt euch bitte selbst, rechnet es selbst aus, dass wir am Ende die Einheitsmatrix erreichen. Es steht dann vor dem Strich die Einheitsmatrix und nach dem Strich stehen die Nullen. Was bedeutet das? Das bedeutet, dass alle Variablen nur gleich 0 sein können. Also x1 bis x4. Alles ist 0 nach dem Algorithmus von Gauss. Das heißt, dieses lineare Gleichungssystem hat genau 1 Lösung, und zwar die triviale. Was bedeutet das für unseren Unterraum? U geschnitten V besteht also aus einem einzigen Vektor, aus einem einzigen Lösungsvektor, und das ist der Nullvektor. Welche Konsequenzen das für die Dimension der Basis des Raumes U geschnitten V hat, erfahren wir gleich. Na also, wir haben bisher ausgerechnet, dass die Dimension von Unterräumen U und V 3 beziehungsweise 1 ist. Die Basen haben wir auch angegeben. Außerdem haben wir ausgerechnet, dass der Durchschnitt von beiden Räumen genau aus dem Nullvektor besteht. In Bezug auf den Unterraum, der aus dem Nullvektor besteht, gibt es folgende Konventionen. Die Konvention bestimmt seine Dimension gleich 0 und bei Konventionen hat dieser Unterraum keine Basis. Also die Basis dieses Unterraumes ist die leere Menge. Das ist das Zeichen für die leere Menge. Somit ist unsere Aufgabe vollständig behandelt. Ich danke euch fürs Zuschauen!  

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