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Transkript Kap2 Aufgabe 2: Lineare Unabhängigkeit mit einem Parameter

Hallo, ich bin Sergej. In diesem Video gehen wir der Frage nach, ob diese 3 Vektoren linear unabhängig sind. Und das Rosinchen an dieser Aufgabe ist, dass der Vektor v2 von einem Parameter a abhängig ist. Und es wird so sein, dass für bestimmte Werte des Parameters a diese 3 Vektoren linear unabhängig sind. Für andere Werte ist das nicht der Fall, und wir wollen in den nächsten Minuten rausfinden, für welche Werte des Parameters a die jeweilige Aussage gilt. Hier oben in der blauen Box ist zusammengefasst, was man für diese Aufgabe aus der Theorie wissen soll, und zwar: 3 Vektoren v1, v2, v3 sind genau dann linear unabhängig, wenn dieses lineare Gleichungssystem bezüglich ? nur die triviale Lösung besitzt, also alle ?=0, also diese Lösung ist trivial. Und die Strategie für diese Aufgabe ist die Folgende. Wir untersuchen dieses Gleichungssystem, also wir schreiben dieses Gleichungssystem hin und lösen es bezüglich ?. Wenn dieses System nur die triviale Lösung besitzt, dann sind die Vektoren linear unabhängig. Und dazu stelle ich die 3 Vektoren v1, v2, v3 in eine Matrix zusammen und führe an der Matrix den Gaussalgorithmus durch und mal schauen, was passiert. So sieht also die Stufenform der Matrix des linearen Gleichungssystems, das wir gerade untersuchen, aus. Die Stufen sind hier klar zu sehen, die ersten 2. Bei der 3. Stufe müssen wir eine Fallunterscheidung durchführen. Wenn der Parameter a so geartet ist, dass der Teil hier unten =0 ist, dann verläuft die Stufe so und die Matrix des Systems hat den Rang 2. Wenn aber der Teil hier rechts unten von 0 verschieden ist, dann hat die Matrix den Rang 3, und auf diese Unterscheidung wird alles ankommen. Na also wennd er Ausdruck hier rechts in der Ecke rechts unten von 0 verschieden ist, dann ist der Rang der Matrix des Systems =3. Wenn dieser Ausdruck =0 ist, dann haben wir den Rang 2. Aber wenn der Matrixrang =3 ist ist nach dem Gaussalgorithmus, dann hat das Gleichungssystem, das wir gerade untersuchen, genau eine Lösung, und diese Lösung kennen wir schon: die triviale. Wenn alle ?=0 sind, dann geht es gleich im System auf, und der Algorithmus von Gauss garantiert uns, dass es keine andere Lösung gibt. Wenn dieses Gleichungssystem nur die triviale Lösung besitzt, dann sind die Vektoren v2, v2, v3 per Definition linear unabhängig. Nun, wir haben diese hübsche Äquivalenzkette. Es bleibt nur noch festzustellen, wann und für welche Werte von a dieser Ausdruck von 0 verschieden ist und das ist eine sehr einfache Rechnung. Also man sieht unmittelbar, dass der Parameter a von -2/7 verschieden sein muss, damit das alles gilt, und das ist unser Ergebnis. Also wir fassen das zusammen. Genau dann, wenn a nicht -2/7 ist, sind die Vektoren v1, v2, v3 linear unabhängig, und das beantwortet unsere Frage. Vielen Dank fürs Zuschauen.

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