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Transkript Kap1 Theorie 1: Die Zeilenstufenform und der Rang einer Matrix

In diesem Video besprechen wir die normierte Zeilenstufenform einer Matrix. Das braucht man, um die linearen Gleichungssysteme mit dem Algorithmus von Gauss zu lösen. Das ist praktisch eine Vorbereitung auf den Algorithmus von Gauss. Na gut, lasst uns anfangen. Man sagt von einer Matrix, sie ist in der normierten Zeilenstufenform, wenn sie die folgende, diese hier, Blockgestalt hat. Wie sieht das im Einzelnen aus? Die Matrix in der normierten Zeilenstufenform besteht erst mal aus Spaltenblöcken. Das ist hier der 0. Spaltenblock, als nächstes kommt der 1. Spaltenblock, dann kommt der 2. Spaltenblock und so weiter. Der 0. Spaltenblock besteht aus lauter Nullen. Der 1.Spaltenblock weist folgende Struktur auf. Die 1. Zeile vom 1-ten Spaltenblock fängt mit einer 1 an, rechts davon stehen einfach nur irgendwelche Zahlen, die habe ich mit Sternchen markiert, also Sternchen ist ein Platzhalter für irgendwelche Zahlen. Unterhalb der 1. Zeile im 1. Spaltenblock stehen lauter Nullen. Gut, dann kommt der 2. Spaltenblock, und die Besetzungsstruktur ist ähnlich, mit dem Unterschied, dass die 1 um eine Position nach unten gerutscht ist. Also, im 2. Spaltenblock beginnt die 2. Zeile mit einer 1, oberhalb davon und rechts davon stehen irgendwelche Zahlen, unterhalb der 2. Zeile stehen Nullen und so weiter. Im 3. Spaltenblock fängt die 3. Zeile mit einer 1 an, oberhalb davon und rechts davon stehen irgendwelche Zahlen, unterhalb der 3. Zeile stehen Nullen und so weiter und so fort. Und die Matrix in der Zeilenstufenform besteht aus beliebig vielen Spaltenblöcken, endlich vielen, das ist die Hauptsache. Was ist wichtig? Wieso heißt das Ding Zeilenstufenform? Weil hier in der besetzten Struktur sind die Stufen deutlich erkennbar, die markiere ich noch einmal rot. Da hat man diese Stufen. Jede Stufe hat die Höhe von genau einer Zeile und deswegen heißt das Zeilenstufenform. Wichtig ist, dass die Höhe von jeder Stufe genau eine Zeile ist, es darf zum Beispiel im 2. Spaltenblock nicht vorkommen, dass die 1 an der 3. Position ist. Im 2. Block ist die 1 an der 2. Position, im 3. Block ist die 1 an der 3. Position, im 4. Block ist die 1 an der 4. Position und so weiter. Die Einsen dürfen nicht höher oder niedriger liegen. Nicht alle Spalten müssen unbedingt in einer Matrix in der normierten Zeilenstufenform vorhanden sein. Die bunt markierten, die grün markierten Spalten müssen auf jeden Fall präsent sein. Die nicht markierten, also die weißen Spalten, können vorhanden sein, müssen es aber nicht, also mindestens die grünen Spalten sollen vorhanden sein. Alles andere ist optional, kann hinzukommen, muss aber nicht. Das ist schon die normierte Zeilenstufenform. Warum heißt sie normiert? Sie heißt normiert wegen dieser Einsen. Wenn am Anfang jeder Stufe einfach nur eine Zahl steht, die von 0 verschieden ist, das ist es einfach nur die Zeilenstufenform. Wenn am Anfang jeder Stufe 1 ist, dann heißt das die normierte Zeilenstufenform. Und um die linearen Gleichungssysteme zu lösen, brauchen wir hauptsächlich die normierten Zeilenstufenformen. Was wichtig ist: Diese Einsen, die da am Anfang jeder Stufe stehen, haben einen besonderen Namen. Sie heißen Pivot-Elemente. Das ist die Definition: Die Einsen am Anfang jeder Stufe heißen die Pivot-Elemente. Nun lasst uns Beispiele für die Matrizen in der normierten Zeilenstufenform anschauen. Als allererstes sehen wir stinknormale Einheitsmatrizen. Das ist die Matrix in der normierten Zeilenstufenform, die Stufenstruktur ist gegeben, man sieht sie hier. Hier ist die eine Stufe, dann kommt gleich die nächste Stufe, dann die letzte Stufe. Die Spaltenblöcke bestehen jeweils aus einer Spalte. Also vorhin im Bild waren bestimmte Spalten grün markiert.Im ersten Beispiel sind nur die grün markierten Blöcke vorhanden, nur die grün markierten Spalten vorhanden. Und unterhalb der Stufen stehen immer Nullen. Auf den Stufen stehen die Einsen. Rechts von den Einsen oder oberhalb von den Einsen dürfen beliebige Zahlen stehen, können nur Nullen sein, müssen es aber nicht. Und im nächsten Beispiel haben wir die Situation, in der oberhalb und rechts von den Einsen die Zahlen stehen, die verschieden von 0 sind. Hier ist wieder die Stufenstruktur, auf den Stufen stehen die Einsen, unterhalb der Stufen stehen die Nullen, oberhalb von Stufen oder rechts von Stufen steht irgendwas. Dann lasst uns noch ein paar Beispiele anschauen, bei denen die Spaltenblöcke größer sind. Also im nächsten Beispiel haben wir hier die erste Stufe, die ist hier. Und der 1. Spaltenblock besteht aus 3 Spalten, dann kommt die nächste Stufe und der 2. Spaltenblock besteht aus 2 Spalten und der 3. Spaltenblock besteht aus 1 Spalte. Hier sind die Stufen, hier sind die Spaltenblöcke. Im letzten Beispiel, das wir haben, besteht ein Spaltenblock aus 3 Spalten und dann kommt der nächste Spaltenblock, besteht wieder aus 3 Teilen. Der einzige Unterschied der unteren Matrizen ist, dass wir links hier eine 1 haben und rechts haben wir an der entsprechenden Stelle 0. Ansonsten ist ja alles dasselbe und wir haben hier 2 Spaltenblöcke. Dann lasst uns noch einmal klarmachen, wo die Pivot-Elemente stehen. Pivot-Elemente sind ja die Einsen, die auf den Stufen stehen. Hier bei den ersten 2 Matrizen sind die Pivot-Elemente hier. Bei der nächsten Matrix, hier ist das Pivot-Element, das 1. Pivot-Element, das 2. Pivot-Element, das 3. Pivot-Element. Und bei der unteren Matrix, haben wir hier nur 2 Pivot-Elemente, weil wir 2 Stufen haben. Sehr wichtig ist es, uns zu merken, wo die Pivot-Elemente stehen, weil dadurch definiert sich ein wichtiger Begriff, nämlich der Rang einer Matrix. Es ist wichtig: Die Anzahl der Pivot-Elemente in der normierten Zeilenstufenform einer Matrix heißt der Rang dieser Matrix. Noch einmal, ganz wichtig: Die Anzahl der Pivot-Elemente in der normierten Zeilenstufenform einer Matrix heißt der Rang dieser Matrix. Das merken wir uns. In unseren Beispielen haben die ersten 2 Matrizen 3 Pivot-Elemente, 3 Stufen, drei Einsen. Deswegen haben die beiden Matrizen den Rang 3. Die Matrix unten links hat ebenfalls 3 Einsen, und dementsprechend hat sie den Rang 3. Die Matrix unten rechts hat nur 2 Einsen, 2 Stufen, deswegen hat sie den Rang 2. Der Rang einer Matrix spielt eine Schlüsselrolle im Gaussalgorithmus, und das war's.

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5 Kommentare
  1. Default

    Die Matrix
    1 4 2 2 -1
    0 1 2 1 0
    0 0 0 0 2
    hat die den Rang 3 ? (wegen der 1 in der 2-ten Zeile, 4-ten Spalte)

    Von Edgar Mersch, vor fast 2 Jahren
  2. Default

    leicht verständlich - sehr gut vorgetragen

    Von Sperling Ploen, vor mehr als 3 Jahren
  3. Default

    Wie immer sehr anschaulich und super erklärt und alles mit einer sehr schönen und ordentlichen Schrift angeschrieben. Danke für die Mühe!

    Von Stuschud, vor fast 4 Jahren
  4. Default

    Exellente und sehr präzise Erklärung. Vielen Dank!

    Von Schilli, vor mehr als 4 Jahren
  5. Vlcsnap 2009 08 30 16h04m43s69

    danke, sehr eingängig erklärt u.a. mit dem Begriff Spaltenblöcke

    Von Bum, vor mehr als 5 Jahren