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Transkript Kap1 Aufgabe 4: LGS mit unendlich vielen Lösungen

Hallo, ich bin Sergej. In diesem Video wollen wir ein lineares Gleichungssystem lösen, und zwar dieses. Das lineare Gleichungssystem habe ich so ausgesucht, dass es unendlich viele Lösungen hat. Und das ist der besonders schwerfällige Fall, die meisten Studenten haben Schwierigkeiten damit und deswegen wollen wir diese Aufgabe Schritt für Schritt, langsam und für alle verständlich behandeln. Gut, als Erstes, womit man anfängt, wenn es sich um ein lineares Gleichungssystem handelt: Man soll dieses Gleichungssystem in die Matrixform umwandeln, man soll die erweiterte Koeffizientenmatrix von diesem System aufschreiben und das tun wir jetzt. Die erweiterte Koeffizientenmatrix sieht so aus, wir markieren erst mal die Variablen, die da im Spiel sind, das sind 5 Variablen von x1 bis x5. Nun schauen wir mal auf die 1. Zeile, da sind nur die Variablen x4 und x5 präsent. Also, wir haben bei x1 den Koeffizienten 0, bei x2 haben wir den Koeffizienten 0, bei x3 haben wir auch den Koeffizienten 0. Bei der Variablen x4 haben wir den Koeffizienten 1 und bei der Variablen x5 haben wir den Koeffizienten 2.  Und so geht es weiter, in der 2. Gleichung haben wir bei x1 eine 1 stehen, bei x2 haben wir 2, bei x3 haben wir 3, bei x4 haben wir 4, bei x5 haben wir 2. Dann: In der 3. Gleichung haben wir bei x1 -1 und ansonsten überall jeweils -2. In der 4. Gleichung haben wir bei x1 eine 1, bei x2 haben wir eine 2, bei x3 haben wir wieder eine 2, bei x4 haben wir eine 4, bei x5 haben wir 6. Gut, das ist die Koeffizientenmatrix, wir schreiben einen Strich und dann schreiben wir die freien Koeffizienten auf, um die erweiterte Koeffizientenmatrix zu bekommen. Die freien Koeffizienten sind 1,2,3 und -1, die schreiben wir hier auf, 1,2,3,-1. Das ist die erweiterte Koeffizientenmatrix vom gegebenen Gleichungssystem. Nach dem Gaußalgorithmus sollen wir nun die erweiterte Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems auf die normierte Zeilenstufenform bringen. Und in der Aufgabe 1 zu diesem Themenkreis habe ich ja genau diese Matrix behandelt, dort habe ich sie durch elementare Zeilenumformungen auf normierte Zeilenstufenform gebracht, so sah die Matrix aus in der Aufgabe. Also wenn ihr die Einzelheiten dazu wollt, dann schaut euch dieses Video an. In der normierten Zeilenstufenform haben wir hier die geforderte Stufenstruktur und ganz wichtig sind die Pivotelemente, wir haben hier 3 Pivotelemente. Nun, anhand dieser Informationen sollen wir den Rang der Koeffizientenmatrix des Systems und der erweiterten Koeffizientenmatrix des Systems analysieren. Na gut, dann fangen wir an. Also der Rang der Matrix A ist per Definition die Anzahl der Pivotelemente in der normierten Zeilenstufenform. Wenn ich hier die letzte Spalte der erweiterten Koeffizientenmatrix zudecke, dann sehe ich, hier stehen 3 Pivotelemente auf den Stufen, das heißt der Rang der Koeffizientenmatrix des Systems ist 3. Gut, und der Rang der, das ist hier die normierte Zeilenstufenform der erweiterten Koeffizientenmatrix, wir sehen weiterhin 3 Pivotelemente auf den Stufen, das heißt, die erweiterte Koeffizientenmatrix hat ebenfalls den Rang 3. Wenn ich hier die letzte Spalte der erweiterten Koeffizientenmatrix zudecke, dann sehe ich, hier stehen 3 Pivotelemente auf den Stufen, das heißt der Rang der Koeffizientenmatrix des Systems ist 3. Gut, und der Rang der, das ist hier die normierte Zeilenstufenform der erweiterten Koeffizientenmatrix, wir sehen weiterhin 3 Pivotelemente auf den Stufen, das heißt, die erweiterte Koeffizientenmatrix hat ebenfalls den Rang 3. Das ist die 1. Feststellung. Gut, die nächste Frage ist, wie viele Lösungen gibt es? Na gut, ja, ich habe am Anfang angekündigt, dass das System unendlich viele Lösungen hat, wie begründen wir das? Wir vergleichen den Rang der Matrix A mit der Anzahl der Spalten und der Rang der Matrix A=3, haben wir gerade festgestellt, 3 Pivotelemente. Anzahl der Spalten der Koeffizientenmatrix ist 5, ja, die erweiterte Koeffizientenmatrix hat 6, die Koeffizientenmatrix hat 5 Spalten, also das sind die Spalten der Matrix A. Also ist der Rang der Matrix A kleiner als die Anzahl der Spalten der Matrix A, das heißt, das lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Als Nächstes präsentiere ich euch die Vorgehensweise, wie man nun diese unendlich vielen Lösungen korrekt aufschreibt. Und das ist ein recht umfangreicher Vorgang, den habe ich grob in 4 Schritte unterteilt. Im 1. Schritt sollen wir in der normierten Zeilenstufenform der erweiterten Koeffizientenmatrix oberhalb der Pivotelemente Nullen erzeugen. Also, in der normierten Zeilenstufenform unserer Koeffizientenmatrix haben wir oberhalb des 2. und 3. Pivotelementes Zahlen, die von 0 verschieden sind. In der 1. Aufgabe zu diesem Themenkreis habe ich ja gezeigt, wie man diese 2,4 und 3 eliminiert, mithilfe der elementaren Zeilenumformungen. Also beispielsweise muss man dann von der 2. Zeile das 2-Fache der 3. Zeile abziehen, damit erzeugt man an dieser Stelle eine 0, von der 1. Zeile muss man das 4-Fache der 3. Zeile abziehen, dann erzeugt man an dieser Stelle eine 0. Und auf diese Weise habe ich dort ausgerechnet, auf welche Weise ich hier Nullen erzeuge. Gut, also dadurch, wieder durch elementare Zeilenumformungen, erreiche ich, dass in der normierten Zeilenstufenform oberhalb der Pivotelemente wiederum Nullen stehen. Als Nächstes sollen wir die Variablen bestimmen, die den Pivotelementen entsprechen, gut, und wie geht das im Einzelnen? Ich schreibe dann unterhalb der Koeffizientenmatrix die Variablen der Reihenfolge nach auf, x1,x2,x3,x4,x5. Die Pivotelemente habe ich ja hier markiert mit roten Kreisen und dann markiere ich ja die entsprechenden Variablen. Unterhalb vom 1. Pivotelement steht x1, unterhalb vom 2. Pivotelement steht x3, unterhalb vom 3. Pivotelement steht x4, gut. Und diese 3 Variablen, x1,x3,x4 entsprechen in diesem Sinne den Pivotelementen und ich nenne sie abkürzend die Pivotvariablen. Auf diese Weise haben wir Folgendes ermittelt: Die Pivotvariablen sind x1,x3 und x4 in dieser Aufgabe. Die Nicht-Pivotvariablen sind die restlichen Variablen, x2 und x5. Diese Pivotvariablen und Nicht-Pivotvariablen merken wir uns, das brauchen wir in den nächsten Schritten. Im 2. Schritt sollen wir das lineare Gleichungssystem von der Matrixform wieder zurück in die Gleichungsform umschreiben. Am Anfang haben wir das Umgekehrte gemacht, die Gleichungsform haben wir in die Matrixform umgeschrieben, jetzt machen wir das rückwärts, aber die Matrix ist jetzt geläutert, hat sehr viele Nullen, ist in der richtigen Form und nun ist es angebracht, diesen Vorgang rückgängig zu machen. Also, am besten schreiben wir unterhalb oder oberhalb der Matrix die Variablen auf der Reihenfolge nach, x1,x2 und so weiter bis x5 und schauen mal, welche Koeffizienten sich ergeben. Wir haben da in der 1. Zeile 1 bei x1, also 1×x1 ist einfach nur x1. Dann haben wir 2 für x2, +2x2 und weiter, bei x3 und x4 haben wir die Nullen, also sie sind nicht präsent, dann bei x5 haben wir 6, +6x5 und auf der rechten Seite haben wir -11. Das war die 1. Gleichung, sprich die 2. Zeile, bei x1 und x2 haben wir nichts, wir haben die Nullen, bei x3 haben wir 1, dann bei x4 haben wir wieder nichts, bei x5 haben wir -4, also -4x5, auf der rechten Seite haben wir 3. Dann die 3. Zeile, x1,x2,x3 sind nicht präsent, da haben wir die Nullen, bei x4 haben wir 1, bei x5 haben wir 2, also +2x5 und auf der rechten Seite haben wir 1,so. Ja, und dieses Gleichungssystem, was wir jetzt haben, ist gleichbedeutend, äquivalent zu dem Gleichungssystem, mit dem wir angefangen haben und das sind von all dem Zeug, das wir gemacht haben, sind die Vereinfachungen, also mit diesem Gleichungssystem, dieses Gleichungssystem können wir besser analysieren, wir können sofort, was heißt sofort, in den nächsten paar Schritten können wir schon die Lösungen aufschreiben explizit. Als Nächstes sollen wir alles bis auf die Pivotvariablen auf die rechte Seite bringen und die Pivotvariablen sind markiert, x1,x3,x4, sie bleiben auf der linken Seite stehen, alles andere wandert auf die rechte Seite. Und wir haben das folgende Gleichungssystem, x1,x3,x4 sind die Pivotvariablen, sie bleiben links stehen, alles andere wandert auf die rechte Seite. Also in der 1. Gleichung habe ich -11-2x2-6x5. Dann die nächste Gleichung, x3=3+4x5, also -4x5 ist auf die rechte Seite gewandert. Dann, in der 3. Gleichung habe ich x4=1-2x5. Das war der 2. Schritt. Schritt 2 hat uns als Ergebnis dieses Gleichungssystem geliefert, im Schritt 3 soll es weiter umgeformt werden und da gibt es 2 Anforderungen. 1. auf der linken Seite sollen wir alle Variablen der Reihenfolge nach aufschreiben, ohne zu unterscheiden, ob es Pivotvariablen oder Nicht-Pivotvariablen sind. Das ist ganz einfach, wir schreiben alle Variablen der Reihenfolge nach auf, das war echt einfach. Dann sollen wir auf der rechten Seite die Nicht-Pivotvariablen freien Konstanten gleichsetzen. Und wie geht das im Einzelnen? Wir haben und überlegt, die Nicht-Pivotvariablen sind hier in dieser Aufgabe x2 und x5, da suchen wir uns 2 Buchstaben aus, die wir mögen und da setzen wir die Nicht-Pivotvariablen diesen Buchstaben gleich und ich mag die Buchstaben α und β. Ja, also ihr könnt meinetwegen λ und μ wählen alternativ, oder λ1,λ2, oder α1,α2, oder c1,c2, also üblich sind, es gibt hier viele Buchstabenkombinationen, die üblich sind, aber ich mag die Buchstaben α und β. Gut, und dann sollen wir das gegebene Gleichungssystem umschreiben, indem wir die Nicht-Pivotvariablen durch diese Konstanten α und β ersetzen. Also die 1. Gleichung übernehmen wir, x1=-11-2x2, x2 ersetzen wir durch α, -2α-6x5, x5 ersetzen wir durch β, -6β. Dann, x2 war die freie Konstante α. Dann x3 war 3+4x5, x5 ist aber die freie Konstante β. x4 war 1-2x5 und x5 ist die freie Konstante β. Dann am Ende steht x5, x5 ist einfach nur β. Das ist der Schritt 3. Im Schritt 4 schreiben wir das lineare Gleichungssystem aus dem Schritt 3 in der Vektorform auf, das heißt wir schreiben alle Variablen schön in einem Spaltenvektor auf, ja, x1 bis x5 und setzen es gleich der rechten Seite des linearen Gleichungssystems, das habe ich ja hier gemacht, ich habe einfach nur die Ergebnisse aus Schritt 3 übernommen. Und letztendlich müssen wir noch die freien Konstanten ausklammern und das geht so. Zuerst kommt der Vektor mit freien Koeffizienten, ja, was passiert in der 1. Zeile? Der freie Koeffizient hier ist -11, das heißt der hat keinen Faktor α oder β. In der 2. Zeile haben wir α, also der freie Koeffizient dort ist 0. In der 3. Zeile haben wir 3 als freien Koeffizienten, in der 4. Zeile haben wir 1 als freien Koeffizienten, in der 5. Zeile haben wir nur β, also haben wir dort keinen freien Koeffizienten. Wir klammern nun α aus, so, was haben wir mit α in der 1. Zeile? -2. Ja, dann die 2. Zeile ist einfach nur α, also 1, in der 3. Zeile haben wir α nicht, in der 4. Zeile haben wir kein α, in der 5. Zeile haben wir ebenfalls kein α, also dreimal die 0. Und als Letztes klammern wir β aus, es geht hier ganz analog. Oben in der 1. Zeile haben wir -6 bei β, also wir schreiben das auf, in der 2. Zeile haben wir β nicht, also dort steht eine 0, in der 3. Zeile haben wir 4β, ich schreibe hier 4, in der 4. Zeile habe ich -2β, da schreibe ich -2 hin, in der 5. Zeile habe ich einfach nur β, da schreibe ich 1. Gut, und das ist schon die Lösung des vorgelegten linearen Gleichungssystems. Wir wollen diese Lösung noch der Form nach aufschreiben, also korrekt, pro forma, aufschreiben, also die Lösungsmenge nach allen Regeln der Kunst aufgeschrieben, sieht so aus: L, ja, so bezeichnet man traditionell die Lösungsmengen, ist die Menge der Vektoren, die so aussehen wie zuletzt gezeichnet, ja, das übernehme ich hier komplett, also die Vektoren (-11,0,3,1,0)+α(-2,1,0,0,0)+β(-6,0,4,-2,1), gut, dann, nach den üblichen Regeln, mit denen man die Mengen aufschreibt, schreiben wir einen Strich und sagen, dass α und β frei laufende Konstanten sind, α und β sind beliebige reelle Zahlen. So, und wenn man beliebige reelle Zahlen in diese Kombination von Vektoren einsetzt, bekommt man eine Lösung des vorgelegten linearen Gleichungssystems. Ja, so beschreibt man die unendlich vielen Lösungen des vorgelegten Gleichungssystems. Und diese 4 Schritte und die vorangehende Analyse sind ein universelles Schema, so löst man wirklich jedes lineare Gleichungssystem, das unendlich viele Lösungen besitzt. Also wenn ihr das verstanden habt, dann habt ihr das Thema perfekt verstanden, das ist das, was man hier können muss bei diesem Thema. Ich hoffe, das war hilfreich und ich bedanke mich fürs Zuschauen.

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3 Kommentare
  1. Default

    Nach vielen Versuchen, das Thema zu verstehen, habe ich Dank deines Videos endlich ein Erfolgserlebnis. Das gilt für deine gesamte Reihe. Besser geht´s nicht!
    1000 Dank!

    Von Schilli, vor mehr als 4 Jahren
  2. Default

    Ich wollte auch das Gleiche schreiben.
    Ich danke dir für die beste Erklärung zum Thema LGS!!!! :)

    Von Häna K., vor mehr als 4 Jahren
  3. Default

    Hallo Sergej,

    ich bin gerade dabei mir deine Videos zum Thema "Lineare Algebra" durchzuarbeiten und muss an dieser Stelle ein ganz großes Lob und meinen besten Dank ausrichten. Die Erklärungen sind wirklich klasse!!! Vielen Dank!!!!!!

    Gruss,
    Adrian

    Von Abdul666, vor fast 5 Jahren