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Transkript Kap1 Aufgabe 3: LGS mit genau einer Lösung

Hallo, ich bin Sergej. In diesem Video behandeln wir ein lineares Gleichungssystem (hier ist es), das genau 1 Lösung hat. Und wir lösen es mit dem Algorithmus von Gauß. Lasst uns das System genauer anschauen: Das System ist bezüglich der Variablen x, y, z formuliert. Wir haben 3 Variablen und das System besteht aus 4 Gleichungen. Aufgepasst, wir haben mehr Gleichungen als Variablen. Und solche Systeme, die mehr Gleichungen als Variablen haben, können, können nicht lösbar sein. Und in diesem Fall sagt man, diese Systeme seien überbestimmt. Sie können nicht lösbar sein, müssen es aber nicht! Und das ist hier genau der Fall, wo das Gleichungssystem, mit mehr Gleichungen als Variablen, lösbar ist, und hat genau eine Lösung. Und das wollen wir systematisch, mit dem Algorithmus von Gauß ausrechnen. Und dann tun wir das übliche: Zuerst sollen wir nach dem Algorithmus von Gauß, die erweiterte Koeffizientenmatrix des Systems aufstellen und sie analysieren. Los geht es!   Die erweiterte Koeffizientenmatrix. Bequemlichkeitshalber schreiben wir oben die Variablen an, x,y,z, und dann lesen wir die Koeffizienten der Koeffizientenmatrix ab. Also in der 1. Gleichung ist die Variable x nicht dabei, also wir haben den Koeffizienten 0. Die Variablen y und z treten jeweils 1× auf und dann haben wir die Koeffizienten 1 1. In der 2. Zeile haben wir x 1×, y ist nicht dabei, z ist mit dem Koeffizienten -1. In der 3. Gleichung haben wir x 1×, y ist dann mit dem Koeffizienten -1 und z ist nicht dabei; bei z haben wir 0. Und in der 3. Gleichung sind alle 3 Variablen präsent, und zwar mit dem Koeffizienten 1 1 und 2. Das ist die Koeffizientenmatrix. Nun kommen die Erweiterungen. Die freien Koeffizienten sind offenbar: -1, 0, 7, 5. Mit den elementaren Zeilenumformungen berechnen wir jetzt die normierte Zeilenstufenform der erweiterten Koeffizientenmatrix.

Durch die elementaren Zeilenumformungen haben wir die Koeffizientenmatrix des Systems auf die Zeilenstufenform gebracht. Hier sind die Stufen. Die 1., die 2., die 3.. Hier sind die Pivotelemente. Nun wollen wir entscheiden, ob das System Lösungen hat und wie viele. Dazu sollen wir den Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix und der Koeffizientenmatrix des Systems ermitteln. Wir fangen mit dem Rang der Koeffizientenmatrix an. Dazu sollen wir die letzte Spalte der Matrix verdecken und die Pivotelemente zählen. 1,2,3. Der Rang, der Koeffizientenmatrix beträgt 3. Als nächstes brauchen wir den Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix. Wir geben die letzte Spalte frei und zählen wieder die Pivot-Einsen. Die Situation ist dieselbe, wir haben nur 3 Pivot-Einsen, weil bei den letzten Spalten, wir haben 1 durchgehende Stufe. Also die Ränge der beiden Matrizen sind gleich und das bedeutet, dass unser Gleichungssystem lösbar ist. Das ist die 1. Schlussfolgerung. RangA=RangAB, das bedeutet, das LGS, das lineare Gleichungssystem ist grundsätzlich lösbar, obwohl es aus 4 Gleichungen für 3 Variablen besteht. Anscheinend, scheinbar, überbestimmt, aber in der Wirklichkeit nicht. Nun gehen wir der Frage nach: Wie viele Lösungen gibt es? Also ihr wisst, vom Titel des Filmes her, dass das System genau 1 Lösung hat, aber wir wollen jetzt formal begründen. Dazu sollen wir den Rang des Systems, der Koeffizientenmatrix mit der Anzahl der Spalten der Koeffizientenmatrix vergleichen. Das ist zugleich die Anzahl der Variablen. Also der Rang ist 3 und das ist zugleich die Anzahl der Spalten, der Matrix A.  Wenn diese Gleichung besteht, dann hat das System nach dem Rangkriterium genau 1 Lösung. Das notieren wir. Genau 1, also eindeutig bestimmte Lösung. Als nächstes müssen wir diese Lösung berechnen. Dazu sollen wir die erweiterte Koeffizientenmatrix weiter umformen, bis oberhalb der Pivotelemente die Nullen stehen - und das tun wir auf die übliche Art und Weise. Durch elementare Zeilenumformungen haben wir erreicht, dass unsere Matrix links oben, die Einheitsmatrix steht. Also, wir haben Nullen überall, bis auf die Diagonale. Auf der Diagnolen stehen Einsen. Wenn wir soweit sind, dann können wir die Lösung schon von der rechten Spalte ablesen.  Das ist 3, -4 und 3. Dann lasst uns das noch notieren. Die Lösung des Systems sieht so aus: x=3, y=-4 und z=3. Wir können das ruhig in das System, dass wir am Anfang an der Tafel gesehen haben, einsetzen und schauen, überzeugt Euch, durch eigene Erfahrung, dass das System  für diese Werte aufgeht. Und der Algorithmus von Gauß garantiert uns, dass das hier, die einzige mögliche Lösung des Systems ist.  Das war es für diese Aufgabe. Auf dieser Seite gibt es noch Aufgabe 2, dort behandle ich ein System ohne Lösungen und Aufgabe 4, dort behandle ich ein System mit unendlich vielen Lösungen. Ist durchaus informativ. Außerdem gibt es 2 Aufgaben, Aufgabe 5 und Aufgabe 6, wo ich Gleichungssysteme mit Parametern behandle. Dort ist die Lösungsmenge vom Parameter abhängig. Und da kommen alle 3 Varianten vor. Keine Lösung, 1 Lösung und unendlich viele Lösungen.   Viel Spaß mit der Linearen Algebra und danke fürs Zuschauen!

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1 Kommentar
  1. Default

    Genauso gut wie alle anderen Videos. Besten Dank!

    Von Schilli, vor mehr als 4 Jahren