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Transkript Kap1 Aufgabe 2: LGS ohne Lösungen

Hallo, ich bin Sergej, und das hier ist ein lineares Gleichungssystem, das keine Lösungen hat. Ich behaupte an dieser Stelle einfach nur so, dass das System nicht lösbar ist. Das kann man aber durch bloßes Hinschauen nicht erkennen. Das muss man, bitte schön, ausrechnen, wenn man das verstehen will. Und genau das tun wir in diesem Video. In diesem Video wollen wir systematisch mit dem Algorithmus von Gauß herausfinden, dass dieses Gleichungssystem keine Lösungen hat. Das ist unser Ziel. Okay, nun kommen die Einzelheiten: Nach dem Algorithmus von Gauß soll man zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix des Systems aufstellen und sie auf die Zeilenstufenform bringen, eventuell die normierte Zeilenstufenform. Also lasst uns das tun - als Allererstes die erweiterte Koeffizientenmatrix des Systems auf die Zeilenstufenform bringen. Zuerst müssen wir die Matrix aufstellen. Traditionell bezeichnet man diese Matrix mit (A|B) und die können wir ablesen an dem System. Wir haben in der 1. Gleichung x-2z, das heißt, bei x haben wir den Koeffizienten 1. Die Variable y ist nicht präsent, also wir haben da den Koeffizienten 0. Dann haben wir bei z den Koeffizienten -2. Und genauso gehen wir bei der 2. Gleichung vor. Hier sind die Koeffizienten 3, 1, -5 und in der 3. Gleichung sind die Koeffizienten 1, 1, -1. Die rechte Seite, die freien Koeffizienten sind 0, 1, 4. Anhand der elementaren Zeilenumformungen sollen wir jetzt die Zeilenstufenform dieser Matrix ausrechnen. Durch die elementaren Zeilenumformungen haben wir die erweiterte Koeffizientenmatrix des Systems auf die Zeilenstufenform gebracht. Die Stufenstruktur ist hier klar erkennbar. Hier ist die 1. Stufe, dann kommt die 2. Stufe, die geht über 2 Spalten, und dann die 3. Stufe. Ja, das ist schon eine Zeilenstufenform, bloß, sie ist nicht normiert. Hier haben wir eine 3, ja? Aber das ist nicht schwer, diese Zeilenstufenform zu normieren. Wir teilen die letzte Zeile durch 3, dann haben wir die Normierung. Und anhand dieser Matrix können wir schon sehen, dass das System nicht lösbar ist. Lasst uns dazu die letzte Zeile in der Matrix analysieren. Die letzte Zeile lautet: 0, 0, 0, 3. Welche Konsequenzen hat das für unser System? Dazu schreiben wir diese Zeile als eine Gleichung auf. Wir haben hier 0×x+0×y+0×z=3. Ich habe die Zeile der Matrix in eine Gleichung umgewandelt, auf die übliche Art und Weise. Was hat sich denn daraus ergeben? Also 0×x, 0×y, 0×z, das ist natürlich 0. Das steht auf der linken Seite. Auf der rechten Seite steht 3. Wir haben die merkwürdige Gleichung 0=3 erhalten. Und das ist nicht wahr, das ist ein Widerspruch. Was ist denn also passiert? Wir haben die Zahlen 0, 0, 0, 3 erhalten, indem wir die Gleichung des Systems aufeinander addiert haben, sie voneinander subtrahiert haben und so weiter. Und letztendlich laufen diese 3 Gleichungen auf die Gleichung 0×x+0×y+0×z=3, eigentlich auf 0=3, hinaus. Das bedeutet, dass die ursprünglichen Gleichungen miteinander nicht verträglich sind, sie ergeben kombiniert miteinander einen Widerspruch. Das heißt, es gibt keine Zahlen x, y, z, sodass diese 3 Gleichungen zugleich gelten. Wenn wir schon auf diese Weise den Widerspruch bekommen haben, wenn die Gleichungen miteinander nicht verträglich sind, dann ist das Gleichungssystem, die Gesamtheit dieser Gleichungen nicht lösbar. Und das ist die Konsequenz. Wir notieren es hier: Das lineare Gleichungssystem ist nicht lösbar. Das sieht man sofort, wenn eine solche Zeile vorkommt. Links stehen lauter 0 und nach dem Strich steht eine von 0 verschiedene Zahl, in diesem Fall 3. Die Nichtlösbarkeit des linearen Gleichungssystems können wir auch mit dem Rangkriterium begründen. Alternativ zu den Argumenten, die wir gerade gesehen haben, kann man auch mit dem Rang argumentieren. Lasst uns also den Rang der betroffenen Matrizen berechnen. Wir haben vorher die Zeilenstufenform der erweiterten Koeffizientenmatrix berechnet - hier ist sie. Sie ist an dieser Stelle noch nicht normiert. In der 3. Zeile haben wir hier 3 am Ende. Um die normierte Zeilenstufenform zu bekommen, teilen wir die letzte Zeile durch 3, und auf diese Weise bekommen wir hier 1. Das ist schon die normierte Zeilenstufenform. Die Stufenstruktur ist diese hier: 1. Stufe, 2. Stufe, 3. Stufe. Ausgehend davon, lasst uns den Rang berechnen. Um den Rang der Koeffizientenmatrix zu berechnen, gehen wir wie folgt vor: Wir verdecken die letzte Spalte der erweiterten Koeffizientenmatrix und zählen die Pivot-1 am Anfang jeder Stufe. Hier ist die 1 Pivot-1, hier ist die 2. Pivot-1. Weitere Pivot-1 gibt es nicht. Diese 1 ist keine Pivot-1, sie steht nicht am Anfang der Stufe. Also, wir haben 2 Pivot-1, deswegen der Rang der Koeffizientenmatrix = 2 - 2 Pivot-1. Nun wollen wir auch den Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix berechnen. Rang der Matrix (A|B)=. Nun geben wir die letzte Spalte der erweiterten Koeffizientenmatrix frei und zählen wieder die Pivot-1. Zu den alten 2 Pivot-1 kommt noch eine weitere Pivot-1 hinzu, also insgesamt gibt es 3 Pivot-1. Also, der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist 3. Na gut, nach dem Rangkriterium im Algorithmus von Gauß ergibt sich, dass das System keine Lösungen hat, weil der Rang der Koeffizientenmatrix kleiner als der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist. Und das notieren wir: Wir haben ausgerechnet, dass der Rang der Matrix (A) < als der Rang der Matrix (A|B) ist. Daraus folgt: Das lineare Gleichungssystem, das wir hier betrachten, ist nicht lösbar, in anderen Worten - besitzt keine Lösungen. Das ist die typische Vorgehensweise bei solchen Aufgaben. Als Nächstes könnt ihr euch die Aufgabe 3 anschauen, da betrachte ich ein lineares Gleichungssystem mit genau 1 Lösung. Außerdem gibt es ein Video zum linearen Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen. Da lernt man, wie man diese unendlich vielen Lösungen aufschreibt. Außerdem gibt es 2 Videos, wo ich die linearen Gleichungssysteme betrachte, die Parameter enthalten. In Abhängigkeit von Parametern bestimme ich dort, ob das betroffene System 1 Lösung, unendlich viele Lösungen oder keine Lösungen hat. Ja? Also es gibt viel Material zu diesem Thema und ich hoffe, das ist hilfreich. Vielen Dank fürs Zuschauen!

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1 Kommentar
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    Bin klüger geworden ;) Danke für die tolle Erklärung!

    Von Schilli, vor mehr als 4 Jahren