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Transkript Gleichungen mit komplexen Zahlen lösen

Hi, jetzt will ich euch mal zeigen, wie man eine Gleichung mit komplexen Zahlen lösen kann. Nehmen wir z.B.: Z2=3-4i. So, wie gehen wir daran? Wir wollen ja folgende Form haben: Z=Realteil+Imaginärteil×i. Hieraus folgt, dass Z2=(x+yi)2 sind. Das ist hier die erste binomische Formel. Gut, wichtig ist hierbei, i schreibt ihr möglichst vorne oder hinten dran, niemals irgendwie zwischen x und y. Und warum steht hier -y2, denn hier würde ja rauskommen (yi)2, i2 ist -1, und das habe ich gleich mit dem Vorzeichen vertauscht. So, wenn wir jetzt das und das hier vergleichen, dann hatten wir hier die 3 und hier die -4. Alles klar? Wir gucken jetzt hier wo ist ein i und wo ist kein i. Sowohl hier, als auch in der Gleichung, die wir lösen wollen. Das heißt, wir haben jetzt einmal die Gleichung 3=x2-y2 und außerdem sind-4i=2yxi. Die 2. Gleichung teile ich jetzt durch 2i, damit wir das i weghaben und auch die 2. Dann erhalten wir -2=yi. Jetzt müssen wir nach x oder y auflösen. Ich löse nach y auf und dann haben wir eine kleine Lösung schon. So ein bisschen Platz geschafft. Aus Gleichung 2 folgt ja y=-2/x und das setzen wir hier ein. Dann lösen wir mal die Klammer auf, o.k.? Jetzt bringen wir das auf eine Seite und außerdem stört mich dieses x2 im Nenner. Noch ein bisschen umstellen, so, und wenn wir uns die Gleichung jetzt ansehen, das war ja noch die 1., dann sieht das schon der p-q-Formel ein bisschen ähnlich. Wir substituieren jetzt. Ich sag jetzt einfach mal V=x2 und zack, da haben wir die p-q-Formel. So, V1, V2 sind also gleich - -3 macht wieder +, 3/2±3/22 sind 9/4+4. 4 sind ja gleich 16/4 und 16/4+9/4=25/4. Da können wir jetzt noch schön die Wurzeln daraus ziehen. Wenn wir weitermachen, dann erhalten wir für V1=3/2+5/2=8/2 und das sind 4. Und V2=3/2-5/2=-2/2=-1. Jetzt haben wir ein Problem. Z ist eine komplexe Zahl, x und y hingegen sind Element der reellen Zahlen und da x2=V ist, kann V nicht -1 sein. Weil eine reelle Zahl zum Quadrat nicht -1 sein kann. Nur i2 ist -1. Also ist diese Lösung ungültig. Und da V=x2 ist, erhalten wir hier raus x2=4. Also sind x1=2 und x2=-2. Ok? 2 ist die Wurzel von 4. Also wir haben zwei Lösungen für den Realteil, jetzt brauchen wir noch die Lösungen für den Imaginärteil. Und das machen wir einfach, indem wir einsetzen, in die andere Gleichung diesmal: y1=-2/2=-1 und y2=-2/-2=1. Also haben wir für Z zwei Lösungen: Z1=2-i. Wir setzen x und y einfach jetzt beide ein, x1 eingesetzt ist 2, y1 eingesetzt ist -1 und dann können wir auch einfach -i schreiben. Und Z2, da setzen wir für x -2 ein und für y 1, also -2+i=i-2. Alles klar.

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3 Kommentare
  1. Default

    Danke für Ihre Antwort. Meinen Sie, dass das i wegfällt? (Sie haben glaube ich ein "nicht" zu viel in Ihrem Satz geschrieben oder?) Können Sie mir bitte erklären, wieso das "i mal b" wegfallen würde? Beim Rechnen mit Polarkoordinaten habe ich nämlich ein Ergebnis für b . Ich danke Ihnen im Voraus.

    Von Stuschud, vor fast 4 Jahren
  2. Printimage

    Die imaginäre Einheit i fällt bei "hoch 3" (bzw bei ungeraden Exponenten nicht weg) i^3 = i^2 * i = i^3.
    Das heißt es gäbe bei z^3= 8 oder z^3= -8 keinen Imaginärteil.

    Damit wäre z=2 oder z=-2

    Von Steph Richter, vor fast 4 Jahren
  3. Default

    Danke für dieses Video! Mehr solcher Beispielsaufgaben wären super. Was macht man z.B. bei z^3= 8 oder z^3= -8 ? Wie findet man da Real- und Imaginärteil heraus? Solche weitere Beispielaufgaben wären sehr hilfreich.

    Von Stuschud, vor etwa 4 Jahren