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Transkript Fourierpolynome und Fourierkoeffizienten - Einführung

Das Thema ist Fourierpolynome oder Fourierapproximation. Und es geht im Wesentlichen um Folgendes. Ihr habt wahrscheinlich alle schon Taylorpolynome gesehen und die Idee war da, dass man komplizierte Funktionen durch einfache Funktionen genähert hat. Durch Polynome eben. Beim Thema Fourieranalyse oder Fourierpolynome hat man genau dieselbe Idee. Man hat irgendwo eine komplizierte Funktion. Sie sieht meinetwegen so aus. Na ja gut, diese Funktion ist nicht wirklich kompliziert, aber stellt euch vor man hat eine komplizierte Funktion und man möchte sie durch einfache Funktionen approximieren und als einfache Funktion kommen dann Sinus und Cosinus infrage. Beim Thema Fourieranalyse geht es darum, wie man diese einfache Funktion berechnet. Weil Sinus und Cosinus periodische Funktionen sind, dann approximiert man dann in der Regel die periodischen Funktionen. Ich will kurz zeigen, wie das im Bild aussieht und dann unterhalten wir uns ein wenig über die Technik, wie man diese periodische Näherung berechnet. Also so sieht typischerweise eine periodische Funktion aus, meinetwegen hat sie die Periode Pi. Geben wir der Funktion den Namen f. Und dann berechnet man n., 10. oder 20. Fourierpolynom und die Fourierpolynome werden dann die gegebene Funktion approximieren d. h., auf dem Bild wird das dann so aussehen, dass die Fourierpolynome approximieren, aber sie approximieren so ziemlich in der Nähe der gegebenen Funktion. Ungefähr wie ich rot zeichne, so werden dann die Fourierpolynome auf dem Graphen aussehen, usw. Darum geht es. Man betrachtet allgemein Funktionen mit Periode T. T kann wie üblich 2Pi sein, kann Pi sein, kann 1 sein. Wir bezeichnen momentan die Periode allgemein durch den Buchstaben T. Dass die Funktion periodisch ist, das schreibt man formal wie folgt auf. f(x+T)=f(x) und zwar für alle x auf der reellen Achse. Und zu dieser Funktion f berechnet man das trigonometrische Polynom oder das Fourierpolynom durch folgende Formel. Die Formel steht hier an der Tafel. Im Wesentlichen ist das eine Summe aus Sinus- und Cosinusanteilen. Da tauchen schon unbekannte Größen Omega auf und ak,bk und a0. Im Folgenden sage ich dann, was das ist. Omega wird berechnet aus der Periode durch die Formel 2Pi/T und heißt die Kreisfrequenz. Sie heißt Kreisfrequenz aus physikalischen Gründen. Die Koeffizienten, die Zahlen a0, ak und bk, sie heißen Fourierkoeffizienten und werden durch folgende Integrale berechnet. Weil im Integral für ak Cosinus vorkommt, da nennt man ak gerne Cosinuskoeffizient und weil im Integral für bk Sinus vorkommt, da nennt man bk Sinuskoeffizient der Funktion f. Die typische Aufgabe besteht darin, dass man zu einer vorgegebenen periodischen Funktion Fourierkoeffizienten explizit berechnen soll. Also, man nimmt die Funktion, setzt sie in Integrale ein und rechnet es aus. So einfach sieht es aus und bei der Berechnung dieser Integrale tauchen spezifische Schwierigkeiten auf und die möchte ich nun erläutern. Als Nächstes will ich sagen, welche allgemeinen Tipps und Tricks es zur Berechnung dieser Integrale gibt. Und darum geht es dann bis zum Ende von diesem Beitrag. Ok, ich habe da im Wesentlichen 4 Tipps für euch vorbereitet und als erstes wollen wir uns darüber unterhalten, dass man die Integrationsstrecke bei einer periodischen Funktion beliebig verschieben kann und das wird dann nützlich sein bei konkreten Rechnungen, bei konkreten Beispielen. Bevor ich irgendwelche Formeln schreibe, am besten ein Bild. Stellt euch vor, ich habe da hier eine periodische Funktion und meinetwegen so eine Säge, Sägezähne. Das ist eine periodische Funktion, ich nenne sie f, hier ist meine x-Achse, alles wie üblich. Und ich habe die Allgemeinperiode T und die Länge von einem Zacken ist T. Hier ist T, hier ist 2T, da weiter ist 3T usw. Hier links ist -T, dann -2T usw. Das ist ein Beispiel für eine T-periodische Funktion. Nun machen wir Folgendes. Ich schraffiere die Fläche unterhalb des Graphen über eine Periode, also oberhalb der Strecke von 0 bis T und es ist jedem bekannt, dass diese Fläche zahlenmäßig durch dessen Integral berechnet werden kann. Das Flächenmaß des schraffierten Gebietes berechnet sich als Integral von 0 bis T der Funktion f. Das ist ja hinlänglich bekannt. Nun kommt ein wichtiger Aspekt. Also lasst uns eine Zahl fixieren, irgendwo auf der Achse, egal wo, meinetwegen Alpha, ich mache das hier, und dann schlage ich vor, dass wir von Alpha beginnend eine Strecke markieren der Länge T. Also wir fixieren jetzt die Strecke von Alpha bis Alpha+T. Die Strecke hat dieselbe Länge wie die Periode der Funktion und das schraffieren wir, das Gebiet zwischen dem Graphen der Funktion f und der x-Achse oberhalb der Strecke von Alpha bis Alpha+T. Es ist zumindest anschaulich klar, dass das Flächemaß von dem 2. schraffierten Gebiet zahlenmäßig dasselbe sein wird wie das Flächemaß vom 1. schraffierten Gebiet. Aufgrund der Periodizität der Funktion. Dieses kleine Dreieck hier links können wir nach vorne verschieben, diese 2 Figuren zusammensetzen und dann sind die 2 schraffierten Flächen kongruent, auf jeden Fall haben sie das gleiche Flächenmaß. Das Flächenmaß von der 2. schraffierten Fläche berechnet sich wieder als Integral von (Alpha-alpha+T)f(x)dx. Der Punkt ist, es ist völlig egal, welches Alpha wir hier nehmen, aufgrund der Periodizität ist das Flächenmaß vom 2. schraffierten Gebiet genau das Gleiche, wie das Flächenmaß vom 1. schraffierten Gebiet. Also dieses Integral, das ich hier habe, ist von Alpha unabhängig. Wir können Alpha hin und her schieben, wie es uns beliebt auf der Achse, die Zahl bleibt dieselbe. Und bei konkreten Berechnungen ist das sehr bequem. Nun fixiere ich das als Eigenschaft, als Rechentipp an die Tafel und dann machen wir weiter. Ok, dieses Bild ist uns klar, dann wische ich das Bild ab und das, was wir jetzt anschaulich begriffen haben, das will ich auch formal fixieren. Für jede T-periodische Funktion f(R^->R) gilt Folgendes. Integral(Alpha-Alpha+T)f(x)dx ist von Alpha unabhängig und gleich dem Integral (0-T)f(x)dx und zwar für alle Alpha. Das haben wir anschaulich bereits besprochen. Insbesondere, das wird für uns wichtig sein, für Alpha=-Pi und T=2Pi haben wir Folgendes. Integral(0-2Pi)f(x)dx=Integral(-Pi-Pi)f(x)dx. Diese Verschiebung werden wir immer wieder benutzen und wir wollen aus einer Strecke, die rechts von 0 liegt, wollen wir eine Strecke machen, die symmetrisch bezüglich 0 ist, von -Pi-Pi. Ok, das ist die 1. Bemerkung. Wenn wir schon bei symmetrischen Strecken sind, dann knüpfe ich hier an, ich mache eine Bemerkung über Berechnung der Integrale, über symmetrische Strecken. Die meisten von euch haben das gesehen, ich erinnere einfach nur. Und zwar Folgendes. Wenn ich eine gerade Funktion habe, gerade, das heißt achsensymmetrisch und das Paradebeispiel für eine achsensymmetrische Funktion ist natürlich die Parabel y=x². Dann betrachte ich diese achsensymmetrische Funktion über eine Strecke, die bezüglich 0 symmetrisch ist, also die Strecke von -Alpah bis Alpha. Wenn ich die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion und der symmetrischen Strecke markiere, dann sehen wir, die schraffierten Flächen sind wieder symmetrisch. D. h., wenn wir die gesamte Fläche berechnen wollen, dann können wir uns darauf beschränken, dass wir die Fläche vom Gebiet oberhalb von der Strecke von 0 bis Alpha berechnen und die erhaltene Zahl einfach nur verdoppeln. Dann bekommen wir die Fläche vom ganzen schraffierten Gebiet. Das ist eine bequeme Eigenschaft bei geraden Funktionen. Und dann formal. Für jedes Alpha gilt, und ich bin jetzt an einem Fall interessiert, wo Alpha>O ist, wenn die Funktion f gerade ist, dann ist das Integral der Funktion f über eine symmetrische Strecke gleich einfach nur zweifachem Integral über die Strecke von 0 bis Alpha. Das haben wir grafisch gesehen. Es ist wichtig zu wissen, was eine gerade Funktion ist. Eine gerade Funktion erfüllt die Gleichung f(x)=f(-x) und das für alle x. Gut, das ist der 1. Teil und der 2. Teil, wenn es eine Eigenschaft für die gerade Funktion gibt, dann gibt es auch eine Entsprechung für ungerade Funktionen. Bei ungeraden Funktionen ist das sehr angenehm, bei ungeraden Funktionen wird das Integral verschwinden. Gut, wenn die Funktion ungerade ist, formal bedeutet das f(-x)=f(x) ist, dann folgt daraus, das Integral über die symmetrische Strecke von -Alpha bis Alpha immer 0 ist. Warum das so ist, das ist nicht schwer nachzuvollziehen. Z. B. das Paradebeispiel für ungerade Funktionen ist die kubische Funktion y=x³. Das wird so aussehen. Wenn wir die entsprechende Fläche schraffieren, dann sehen wir deutlich, dass das eine Flächenstück unterhalb der x-Achse liegt, das andere Flächenstück oberhalb der x-Achse. Wenn wir die entsprechenden Integrale berechnen, das Flächenstück unterhalb der x-Achse wird zum Integral mit negativem Vorzeichen beitragen. Das Flächenstück oberhalb der x-Achse wird zum Integral mit positiven Vorzeichen beitragen. Und insgesamt addieren sich die betragsmäßig gleichen Flächen mit verschiedenen Vorzeichen und ergeben zusammen 0. Das bedeutet, das Integral ist gleich 0. Das ist die bequeme Eigenschaft. Nun noch 2 Bemerkungen. Wenn man die beiden Tipps kombiniert, dann bekommt man einen weiteren Tipp, Tipp Nr. 3. Und das betrifft die Fourierkoeffizienten einer geraden oder einer ungeraden Funktion. Das ist sehr wichtig zu wissen bei Berechnung der Fourierkoeffizienten. Also Tipp Nr. 3. Wenn eine Funktion, ich sage mal ak und bk die Fourierkoeffizienten einer Funktion f sind, so kann man Folgendes aussagen. Wenn die Funktion f gerade ist, so werden alle ihre Sinuskoeffizienten verschwinden. Das kann man sich so merken. Sinus ist ungerade, also gerade Funktionen haben keinen ungeraden Anteil, deswegen müssen Sinukoeffizienten verschwinden. Und die 2. Eigenschaft, wenn f ungerade ist, dann ist es umgekehrt. Dann werden alle Cosinuskoeffizienten verschwinden und das kann man sich genau so merken. Cosinus ist eine gerade Funktion, eine ungerade Funktion hat keinen geraden Anteil, nur ungerade Anteile. Bei einer ungeraden Funktion werden alle Cosinuskoeffizienten verschwinden. Man braucht da nicht zu rechnen, es ist immer 0. Und 4. Man wertet die Integrale aus und dabei muss man Randterme einsetzen, das wisst ihr und es kommen häufig folgende Ausdrücke vor. Für beliebiges k, ganzes k meine ich, gilt Folgendes. Sinus kPi ist immer gleich 0 für beliebiges k und Cosinus kPi ist immer -1k. Und solche Ausdrücke kommen in jeder Rechnung mit Fourierreihen vor. Gut, das waren die Tipps, versteht bitte diese Tipps und als Nächstes kommt ein praktisches Beispiel.

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5 Kommentare
  1. Felix

    @Andy M2:
    Vielen Dank für den Hinweis. Wir haben es in unsere Liste aufgenommen.

    Von Martin B., vor mehr als einem Jahr
  2. Default

    Hey könntet ihr vllt. ein Video über Laplace Transformation einer Differentialgleichung(1 und 2. Ordnung) reinstellen

    Von Andy M2, vor mehr als einem Jahr
  3. Default

    eine Frage:
    Ist es bei jeder Funktion der Fall, dass ak ein Cosinuskoeffizient und bk ein Sinuskoeffizient sind?
    danke im Voraus :)

    Von Andrejgross, vor fast 4 Jahren
  4. Default

    Das hat mir echt sehr geholfen!!Danke:-)

    Von Mbross, vor mehr als 4 Jahren
  5. Default

    Du siehst aus wie Thomas Müller von den Bayern :D

    Von Mansoor, vor fast 5 Jahren