Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Extrema von Funktionen zweier Variablen – Aufgabe 1 Teil 1

Hier ist ein Beispiel. Wir sollen eine Funktion mit zwei veränderlichen Variablen, auf Extrema diskutieren. Die Formel ist relativ einfach, die steht hier. Das ist f(xy) und der Definitionsbereich ist das gegebene Rechteck. Als Erstes wollen wir das Rechteck veranschaulichen. Hier ist gesagt, dass die x-Koordinate dem Betrage nach ≤ 1 ist, das heißt, X ist zwischen -1 und 1 und die y-Koordinate zwischen 0 und 2. Entsprechend können wir das Rechteck veranschaulichen. Das hier ist der Definitionsbereich. Hier haben wir -1 und hier +1. Hier haben wir 2 und wie üblich die Achsen x und y. Das ist der Definitionsbereich. Wir sollen dann die Funktion auf Extrema diskutieren, in diesem Definitionsbereich. Wir teilen unsere Diskussion in zwei große Abschnitte auf. Erstens, wir untersuchen die inneren Punkte des Definitionsbereiches und darauf können wir die Differenzialrechnung anwenden. Wir können da stationäre Punkte ausrechnen, wir können die hessische Matrix diskutieren und so weiter. Dann, im nächsten sehr großen Abschnitt untersuchen wir die Randpunkte. Da kann es auch sein, dass auf den Randpunkten Extrema vorhanden sind. Das sind grob zwei Teile. Fangen wir mit dem ersten Teil an, wir berechnen erst mal die stationären Punkte. Berechne die stationären Punkte von f im Definitionsbereich D. Die Vorgehensweise ist bekannt, wir bestimmen die partiellen Ableitungen der Funktion f und setzen sie gleich 0. Das ist die allgemeine Formel. Dann bekommen wir zwei Gleichungen bezüglich zwei Variablen x und y und die lösen wir auf. Also, dann machen wir das. Die Formel steht noch da an der Tafel, ich schreibe sie nicht ab, ich unterstreiche sie einfach oder markiere sie. Die wollen wir ableiten. Ableitung nach x ist 2x+(y-1)² und die Ableitung nach hinten setzen wir gleich 0. Dann als Nächstes ableiten nach y. Ableitung nach y sieht so aus: 2(x-1)(y-1), also wir nutzen die übliche Kettenregel, sollte man sich schon dran gewöhnen. Gut, das ist unser Gleichungssystem. Wie löst man solche Gleichungssysteme? Man löst dann zum Beispiel die erste Gleichung nach x oder nach y und setzt das Ergebnis in die zweite Gleichung ein. Das macht man normalerweise und das sollte auch funktionieren, aber hier ist es falsch, das ist nicht falsch hier, aber es wäre hier zu umständlich. Die zweite Gleichung sieht sehr hübsch aus. Man hat das Produkt von zwei Termen gleich 0. Und diese Gleichung geht genau dann auf, wenn einer der Terme gleich 0 ist. Wir können also auf eine Fallunterscheidung reduzieren. Wenn die erste Klammer hier 0 ist, wenn x = 1 ist, dann ist die erste Klammer hier 0, dann kann y alles machen, was es will. Die zweite Gleichung ist erfüllt, unabhängig von y,  und dann konzentrieren wir uns einfach nur auf die erste Gleichung. Gut, das ist die Vorgehensweise. Also, Fall: x0=1. Wie gesagt, zweite Gleichung brauchen wir nicht zu diskutieren, das ist automatisch erfüllt. Die erste Gleichung hat die Form 2x1, ich setze hier statt x 1 ein, +(y-1)²=0. Falsch wäre, hier weiter zu rechnen. Wir gucken scharf hin, wir sehen das eine Klammer zum Quadrat plus eine positive Zahl, also gleich 0. Das heißt, damit diese Gleichung erfüllt ist, muss das Quadrat negativ sein. Das geht nicht, deswegen haben wir keine Lösung. Keine Lösung, in diesem Fall natürlich. Dann, der nächste Fall. Wir schauen auf die zweite Gleichung. x0 darf nicht 1 sein, das haben wir gerade ausgeschlossen. Die einzige Möglichkeit ist, wenn die zweite Gleichung erfüllt ist, dass Einzige was bleibt, ist, das y=1 ist. Dann ist die zweite Klammer gleich 0 und die Gleichung ist erfüllt. Wir schauen, was mit der ersten Gleichung passiert: Da habe ich 2x+(1-1)²=0. 1-1=0 und die einzige Möglichkeit ist, dass x=0 ist. Man muss nicht zu wild rechnen, manche Sachen sieht man, wenn man scharf hinschaut, und das haben wir jetzt gewonnen und glücklicherweise dieses Gleichungssystem, obwohl quadratisch, dieses Gleichungssystem hat, genau eine Lösung. Wir haben den stationären Punkt ausgerechnet, das ist x0=0 und y0=1. Also, der einzige stationäre Punkt ist (x0,y0)=(0,1). Wir können diesen Punkt hier auf dem Bild auftragen, hier ist der stationäre Punkt. Schön in der Mitte von unserem Definitionsbereich. Das war der erste Schritt aus unserem Schema. Jetzt wollen wir die Hesse Matrix ausrechnen, sie im stationären Punkt analysieren und mal schauen ob ein lokales Extrema vorhanden ist. Was brauche ich denn hier alles, diese Rechnung brauche ich nicht mehr, die Ableitungen werde ich behalten. Ich will ja für die Hesse Matrix die zwei Ableitungen ausrechnen und man soll dann von den ersten Ableitungen ausgehen, es wäre dumm, sie wegzuwischen. Und alles andere brauche ich echt nicht. Nun ein bisschen Rechnerei, an der kommt man hier leider nicht vorbei. Die zweite Ableitung bezüglich x, das ist ganz einfach, das ist 2. Dann haben wir konstanten Term in der Hesse Matrix, die zweite Ableitung bezüglich y, das ist 2(x-1) und die zweite gemischte Ableitung, differenzieren wir die x-Ableitung nach y und bekommen 2(y-1). Gut, nun stellen wir die Hesse Matrix auf. Hesse Matrix von der Funktion f an der Stelle (x,y), sie besteht aus den partiellen Ableitungen zweiter Ordnung und die sind in bestimmter Reihenfolge angeordnet. Wie sie angeordnet sind, das habe ich für euch gezeichnet. Hier habe ich 2, dann die gemischte Ableitung ist 2(y-1) ja, 2(y-1) und dann die zweite y-Ableitung ist 2(x-1). Die Hesse Matrix sieht relativ übersichtlich aus. Als Nächstes, werden wir die Hessematrix im stationären Punkt ausrechnen. Die Ableitungen brauchen wir hoffe ich überhaupt nicht, die werde ich hier wegwischen. So, Hesse Matrix im Punk (x0,y0). Also x0=0. Wir haben dann die Terme 2 und -2 auf der Diagonalen und y0=1. Wir haben die 0 auf der sogenannten Antidiagonalen. Das ist die Hesse Matrix und der Eintrag links oben in der Ecke der Hesse Matrix ist 2>0 und die Determinante der Hesse Matrix ist gleich offensichtlich -4 und das ist negativ. Nach der Auflistung, die ich in dem theoretischen Teil gegeben habe, folgt, dass die Hesse Matrix indefinit ist. Das ist nicht so schlimm, das heißt, wir wissen mit Sicherheit, dass die Funktion in diesem Punkt einen Sattelpunkt hat. Wir brauchen keine gesonderte Untersuchung. Das heißt, aus dieser Untersuchung jetzt brauche ich diese Geschichten nicht mehr. f hat in der Stelle (x0,y0)=(0,1) einen Sattelpunkt. Okay, sehr schön. Also in dem Definitionsbereich haben wir einen einzigen kritischen Punkt gefunden und dieser Punkt hat uns nichts hergegeben. Da gibts keine lokalen Extrema, da ist ein Sattelpunkt. Das ist grob gesagt, die Hälfte der Arbeit, die wir machen sollten. Als Nächstes sollen wir die Randpunkte untersuchen. Um das zu machen, benenne ich die Randpunkte. Diese Drei nenne ich A, B, C und E. Den Buchstaben D nehme ich nicht, der ist schon vergeben. Nun will ich jede Kante des Randes extra diskutieren. Die eine Kante diskutiere ich ausführlich und die anderen ein bisschen schneller, weil sie werden da eh nicht diskutieren. Also Randstrecken AB. Gut, was passiert auf der Randstrecke AB. Wenn wir einen Punkt (x,y) auf der Randstrecke AB nehmen, dann sehen wir, dass die y-Kooridinate davon 0 ist, und x-Koordinate läuft zwischen -1 und 1. Hier ist A, A ist bei -1, und B ist bei 1, und C und E sind bei 2. Wenn der Punkt (x,y) in der Randstrecke AB enthalten ist, dann folgt daraus, dass y=0 ist, und x zwischen -1 und 1. Die Funktion im Punkt (x,y), aus der Randstrecke AB, rechnet sich wie folgt aus: Das ist f(x,0), nun setzen wir in die Formel statt y, 0 ein und bekommen einen hübschen Ausdruck x²+x-1. Die glückliche Situation ist die, wir haben jetzt, wenn wir die Funktion f auf die Randstrecke AB einschränken, so bekommen wir eine Funktion in einer veränderlichen. Y ist festgenagelt bei 0 und x läuft zwischen A und B, also x läuft zwischen -1 und 1. Und glücklicherweise sieht die Funktion f auf der Randstrecke wie eine Parabel aus. Und über Parabeln können wir eine ganze Menge aussagen. Wir wissen, wo sie den Scheitelpunkt hat, wo sie Minimum und wo sie Maximum hat. Wir können bei diesem Ausdruck xA bleiben, ihr könnt machen, was ihr wollt. Man weiß, wie man die Parabel auf Extrema diskutiert. Und ich schlage vor, die quadratische Ergänzung. x schreibe ich in der Form 2×(1/2)×x+(1/2)²-(1/2)²-1. Das ist die identische Form und die quadratische Ergänzung. Dann habe ich hier vorne die 3 Terme, das ist vollständiges Quadrat, das ist (x+1/2)², und dann habe ich -1/4 minus 1, das ist -5/4. Offenbar hat diese Funktion den kleinsten Wert -5/4 an der Stelle x=-1/2. Das Maximum wird dann an der Stelle x=1 sein und das Minimum wird der Scheitelpunkt der Parabel sein. Also, Kandidat für Minimum ist der Punkt x=-1/2, weil der quadratische Term = 0 ist, und y ist schon immer 0. Anhand dieser Darstellung sehen wir, dass in diesem Punkt die Funktion den Wert -5/4 haben wird. Kandidat für Maximum ist natürlich, wenn x=1 ist. x=-1 kommt natürlich nicht infrage, weil dieser quadratische Term zu klein sein wird. Also, Kandidat für Maximum ist die Situation, wo x=1 ist. Das können wir berechnen: 1²+1-1=1. Die restlichen Randstrecken diskutieren wir im nächsten Teil.  

Informationen zum Video
1 Kommentar
  1. Default

    Leider wird auf manche Teilschritte nicht eingegangen, sie werden vorausgesetzt ohne erklärt zu werden, zusätzlich führen die Schrift und die Sprache des Tutors manchmal zu Unklarheiten. Schade :(

    Von Linu98, vor mehr als 3 Jahren