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Transkript Extrema von Funktionen mit Nebenbedingung – Einführung

  In diesem Beitrag wollen wir die Aufgabenstellung zum Thema "Extrema unter Nebenbedingungen" besprechen. Wir wollen erst mal verstehen, was mit diesen Sachen gemeint ist. Ich habe es zwar mal aufgeschrieben, aber meine Erfahrung ist die, dass das noch diskussionsbedürftig ist. Okay, formal haben wir die Funktionen f, g1, g2, und so weiter bis gm gegeben. Sie bilden von R nach R, sind also alle reellwertig. Das sind unsere Ausgangsdaten. Damit wir etwas Anständiges mit den Funktionen machen können, sollen sie differenzierbar sein. Und dann machen wir Folgendes: Wir stellen ein Gleichungssystem auf. Alle g-Funktionen werden gleich 0 gesetzt. Sie werden am Stück gleich 0 gesetzt. Und dieses Gleichungssystem nennt man in diesem Fall Nebenbedingung. Man sucht Extrema von f unter dieser Nebenbedingung. Das ist eine formale Situation. Wir wollen erst mal verstehen, was damit gemeint ist. (Vielleicht noch ein technisches Detail: Ich habe hier vergessen, an die Tafel zu schreiben, dass man an die Anzahl der Funktionen g, die die Nebenbedingung bestimmen, und der Dimension der Funktion f ... m ... Da wird einiges gefordert. Es wird gefordert, dass m   Vielleicht fangen wir die Diskussion mit einer bekannten Sache an. Wir haben Extrema von Funktionen diskutiert, die auf offenen Mengen leben - die meinetwegen auf Rn leben. Das Thema haben wir gehabt. Die Vorgehensweise war die, dass wir die stationären Punkte berechnen, dann diskutieren wir die Hesse-Matrix mit diesen stationären Punkten. Und dann können wir schlussfolgern, ob in den Punkten Maxima, Minima oder Sattelpunkte vorliegen. Wichtig war in diesen Situationen, dass die Funktionen immer auf offenen Mengen gelebt haben. Man diskutiert normalerweise die Funktionen, die auf R2 leben - auf einer offenen Menge. Und da gab es diese Diskussion mit stationären Punkten und der Hesse-Matrix. Das haben wir alles gehabt. Nun wollen wir Extrema mit Nebenbedingungen betrachten und wir wollen schauen, was sich ändert. Es kann sein, dass man die Funktion f nicht auf ganz R2 betrachtet - nicht einmal auf einer offenen Teilmenge von R2. Es kann sein, dass man die Funktion f auf eine Linie einschränkt, die auf R2 verläuft. Und in diesem Zusammenhang kann folgende Fragestellung sinnvoll sein: Wenn man die Funktion f, die erst mal auf einer offenen Menge von R2 definiert war, wenn man diese Funktion f auf eine Linie einschränkt, dann kann man fragen: An welchem Punkt auf dieser Linie hat die Funktion den größten und kleinsten Wert? Das nennt man Extrema unter Nebenbedingungen. Diese Linie ist die Nebenbedingung. Und dann ist hier die Fragestellung dieselbe, wie vorhin: Man sucht den größten und kleinsten Wert der Funktion f, das heißt, die Extrema der Funktion f, auf dieser kleinen Linie. Und die Sache ist die, dass die Maschinerie mit der Hesse-Matrix und den stationären Punkten nur für die Funktionen, die auf offenen Mengen leben, geeignet ist. Wenn wir die Funktion auf eine Linie einschränken, dann ist das ja keine offene Menge, und dann versagt diese ganze Maschinerie vollständig. Die ist hier nicht brauchbar. Man braucht eine neue Theorie, eine neue Vorgehensweise. Und nun zurück zu unserer formalen Fragestellung. Wenn wir das haben, dann versuchen wir, das zu verstehen. Man betrachtet dieses Gleichungssystem. Alle g's werden gleich 0 gesetzt. Jetzt kommt die Ungleichung m Dieses Gleichungssystem definiert dann ... Meinetwegen wenn n=3 ist - wenn sie im dreidimensionalen Raum leben - dann definiert dieses Gleichungssystem eine Fläche oder eine Kurve. Und das ist ja keine offene Teilmenge des dreidimensionalen Raumes. Und man nimmt dann eine Funktion f - ich würde sie gerne Zielfunktion nennen - und schränkt sie auf die Kurve oder Fläche, die durch die Nebenbedingung gegeben ist, ein. Und dann sucht man den größten oder kleinsten Wert dieser Funktion auf dieser Fläche oder dieser Linie. Das ist das, was man darunter versteht. Also, Nebenbedingungen definieren irgendwelche Teilmengen von Rn, die nicht offen sind. Und deswegen ist hier der Apparat mit den stationären Punkten und der Hesse-Matrix nicht anwendbar, weil die Menge, die durch die Nebenbedingungen definiert ist, nicht offen ist. Man fixiert diese Menge durch Nebenbedingungen und dann sucht man den größten und kleinsten Wert der Funktion f auf dieser Menge. Ich hoffe, das ist mehr oder weniger verständlich.   Jetzt möchte ich ganz konkret Beispiele angeben. Ich will jetzt nichts rechnen; ich will auch in diesem Beitrag nicht sagen, wie man solche Aufgaben löst. Ich will einfach nur die Situation, die Fragestellung, noch mal konkret an einem Beispiel veranschaulichen. Und dann, im nächsten Beitrag auf dieser Seite, gebe ich ein Verfahren, wie man solche Aufgaben löst. Und dann kommen natürlich konkrete Beispiele, wie man dieses formale Verfahren anwendet. Wir fangen mit den Nebenbedingungen an. So zum Beispiel: Ich nehme an, die Anzahl der Variablen ist gleich 3, im dreidimensionalen Raum. Diese Dimension ist unserer Anschauung zugänglich, da können wir Bilder zeichnen. Und als Anzahl der Nebenbedingungen nehme ich 2. Die 1. Nebenbedingung - die 1. Funktion, die Nebenbedingungen vorgibt - dafür schreibe ich ganz einfach: x+z. Und die 2. Funktion, das ist x2+y2. Es ist nicht schlimm, wenn ich ... Manche Studenten sind dadurch verunsichert, dass, obwohl die Funktion g von den Variablen x, y und z abhängen soll, auf der rechten Seite in der Formel, die die Funktion definiert, kein y steht. Macht euch keine Gedanken darüber. Das ist kein Problem. Die Funktion g1 ist einfach nur von y unabhängig; das ist normal. Manche Studenten sind dadurch verunsichert. Also, wir haben diese 2 Funktionen ... (Und dann habe ich vergessen, etwas hinzuzuschreiben: x2+y2-1, das wird die 2. Funktion sein.) Wir wollen uns anschauen, welche Menge durch diese 2 Funktionen als Nebenbedingung gegeben wird. Also, Nebenbedingung ... (Ja, wie soll ich das machen?) Nebenbedingungsmenge, das sind alle Punkte (x, y, z), wo diese beiden Funktionen, g1 und g2, 0 sind. Also ich setze diese Funktionen ein. Ich benutze dann die konkrete Formel, die ich in diesem Beispiel angegeben hatte. Also, die Menge, die durch die Nebenbedingung bestimmt wird, wird formal so durch diese 2 Gleichungen beschrieben. Nun wollen wir diese Menge sehen. x+z=0: Aus der analytischen Geometrie ist bekannt, dass diese Gleichung eine Ebene vorgibt. Das ist eine Ebene im dreidimensionalen Raum. Und der Normalenvektor dieser Ebene hat die x-Koordinate 1, z-Koordinate 1, und y-Koordinate 0, weil in dieser Gleichung y nicht vorhanden ist. Der Normalenvektor zu dieser Ebene wird ungefähr so aussehen. Seine Projektion auf die x-Achse ist 1, seine Projektion auf die z-Achse ist auch 1, und er steht halt senkrecht auf der y-Achse. So, und ihr sollt euch eine Ebene vorstellen, sodass dieser Vektor senkrecht auf dieser Ebene steht. Und diese Ebene enthält die y-Achse in sich. Diese Ebene ist die Nullstellenmenge der Funktion g1. Dann die 2. Gleichung: x2+y2-1=0. Da sieht ja jeder, wie das geometrisch aussieht, hoffe ich. Man kann 1 auf die rechte Seite bringen, und dann hat man hier eine Kreisgleichung. In der xy-Ebene hat man einen Kreis um den Ursprung mit dem Radius 1. Das hat schon jeder mindestens 5 mal gesehen, der Analysis I und Analysis II gemacht hat. (Jetzt habe ich hier wenig Platz. Wo soll ich etwas wegwischen?) Also, in der xy-Ebene hat man einen Einheitskreis. Und über die z-Koordinate ist in der 2. Gleichung nichts gesagt. Die z-Koordinate ist egal. Das heißt, unabhängig von der z-Koordinate verhalten sich die x- und y-Koordinate in dieser Weise zueinander. Das heißt, wir können unsere Kreislinie rauf und runter bewegen, und die Spur, die bei dieser Bewegung entsteht, das ist eben die Menge, die von der 2. Funktion vorgegeben ist. Das ist ein Zylinder mit dem Radius 1, symmetrisch zur z-Achse. Wenn diese 2 Nebenbedingungen gleichzeitig erfüllt werden sollen, dann bedeutet dass geometrisch, dass wir die Ebene, die durch die 1. Funktion gegeben ist, und den Zylinder, der durch die 2. Funktion gegeben ist, miteinander schneiden sollen. (Und wie soll ich das jetzt zeichnen? Am besten mache ich ein neues Bild.) Vielleicht schreibe ich hier ordnungshalber, dass dieser Zylinder - das ist die Menge der Punkte, wo die 2. Funktion ... (Moment mal. So.) Das ist die Menge der Punkte, wo die 2. Funktion verschwindet. (Nun habe ich das gesagt. Jetzt kann ich das wegwischen.) Okay. Und nun wollen wir uns anschauen, was diese 2 Gleichungen zusammen definieren. Die eine Gleichung definiert eine Ebene, die andere Gleichung definiert einen Zylinder. Wenn diese beiden Gleichungen gleichzeitig erfüllt sein sollen, dann muss man den Zylinder mit der Ebene schneiden. Also, ich habe hier den Zylinder. (Die Achsen will ich nicht mehr einzeichnen. Die Zeichnung wird dann unübersichtlich.) Und stellt euch vor, ich schneide diesen Zylinder mit einer Ebene, die dann schräg verläuft. Das heißt, die Ebene wird aus dem Zylinder eine Ellipse herausschneiden. Das ist so eine schräge Ellipse. Ihr könnt es euch ungefähr vorstellen, wie die Achsen verlaufen. Die z-Achse kann ich vielleicht sogar noch einzeichnen. Also, die z-Achse. Die x/y-Achsen will ich nicht mehr einzeichnen. Das hier ist der Ursprung, das ist 0. So. Und im Raum schwebt irgendwo ... (Vielleicht nehme ich eine bunte Farbe.) Im Raum schwebt halt irgendwo eine Ellipse. Und das ist die Menge, die durch die Nebenbedingungen vorgegeben wird. Wir sehen in diesem Fall, das ist eine Kurve in R3. Das ist keine offene Menge.   Vielleicht machen wir bei diesem Stand der Diskussion eine kurze Pause. Ich schreibe in rot: Das ist die Menge, die durch die Nebenbedingung g1 und g2 vorgegeben ist. Also: "Die Menge, die durch die Nebenbedingung ("Nebenbedingung" kürzt man mit "NB" ab.) vorgegeben ist." Das ist diese schräge Ellipse. Nun Folgendes: Nun interessiert man sich für irgendwelche Funktionen. Man nimmt eine Funktion f(x,y,z)= ... Jetzt kann ich schreiben, was ich will. Es ist einfach nur ein Beispiel. x2-y2+ meinetwegen cos(z). Das heißt, diese Funktion f ordnet jedem Punkt dieser roten Ellipse eine Zahl zu. Das heißt, für jeden Punkt dieser Ellipse wird eine Zahl berechnet. Und man fragt sich: In welchem Punkt wir die berechnete Zahl am größten sein? In welchem Punkt wird die durch die Funktion f berechnete Zahl am kleinsten sein? Und das ist die Aufgabenstellung bei diesem Thema. Man sucht Extrema der Funktion f unter den Nebenbedingungen g1 und g2. Das heißt, man sucht den größten und den kleinsten Wert von Funktion f auf der roten Linie, die durch die 2 Nebenbedingungen vorgegeben ist. So soll man die Fragestellung bei diesem Thema verstehen. Und die formale Vorgehensweise, wie man diese Frage beantwortet, die gibt es im nächsten Beitrag.  

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