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Transkript Extrema von Funktionen mit Nebenbedingung – das Vorgehen

In diesem Beitrag möchte ich besprechen, wie man formal vorgehen muss, wenn man die Extrema einer Funktion f unter den Nebenbedingungen g1 bis gm finden möchte. Die inhaltliche Fragestellung habe ich erläutert, in vorangegangenem Beitrag. In diesem Beitrag sage ich, wie man das rechnet. Ich gebe das Kochrezept an. Also, Vorgehensweise: Ja, in der Aufgabenstellung habe ich einfach nur gesagt, es sind Extrema von f gesucht unter den Nebenbedingungen g1=0, gm=0. Eigentlich ist ja gemeint, dass g's von allen Veränderlichen abhängig sind, x1,x2 usw. bis xm=0. Aber um Kurs zu halten, ich habe die Abhängigkeit von Variablen unterdrückt, das ist üblich so und f ist natürlich auch von x1 bis xm abhängig. Vorgehensweise ist die Folgende: Wir sollen 1. eine gewisse Funktion aufstellen, diese heißt Lagrange-Funktion. Also die Lagrange-Funktion aufstellen. Sie wird mit L bezeichnet und sie hängt von unseren Variablen x1-xn ab, das sind die Variablen von und f, g, usw. Und jetzt ist wichtig, es kommen neue Variablen hinzu. Für jede der Nebenbedingungen, jedes g bekommt in der Lagrange-Funktion eine Variable. Diese nennt man Lambdas (λ). λ1 für g1, λ2 für g2 usw. bis λm für gm. Diese Lambda's nennt man Lagrange Multiplikatoren. Die Lagrange-Funktion sieht so aus, zu der Funktion f addiert man die Summe. Die Summe sieht folgendermaßen aus die erste Funktion g1,die die erste Gleichung der Nebenbedingungen vorgibt, multiplizieren wir mit dem 1. Lagrange-Faktor. Den 2. Lagrange-Faktor multiplizieren wir mit der Funktion g2 usw. Wir summieren das alles auf und dann bekommen wir zusammen mit der Zielfunktion die Lagrange-Funktion. Formal sieht das so aus, ok. In den meisten Büchern steht hier statt + (plus), -(minus). Macht euch keine Sorgen, es ist wirklich egal, ob hier + oder - steht. Wenn später das ganze Schema an der Tafel steht, macht euch Gedanken darüber. Es ist wirklich egal. 2. Wir sollen ein Gleichungssystem aufstellen und lösen. Das Gleichungssystem sieht so aus: Löse das Gleichungssystem. Wir leiten die Lagrange-Funktion nach allen möglichen Variablen ab, nach x1, nach x2 usw. bis xn. Wir berechnen die partiellen Ableitungen in der Lagrange-Funktion und setzen sie gleich 0. Ich habe hier wenig Platz und setze es in der 2. Spalte fort. Als nächstes setzen wir die Funktionen, die die Nebenbedingungen vorgeben gleich 0 und schreiben sie auf. Das ist das Gleichungssystem, es besteht aus n plus m Gleichungen, n-Gleichungen für partielle Ableitungen der Lagrange-Funktion und m-Gleichungen für die Nebenbedingungen. Und sie sind bezüglich der Variablen x1 bis xn und λ1 bis λm zu lösen. Man hat n plus m Gleichungen bezüglich m plus n Variablen. Die Lösung dieser Gleichung wird eine Anzahl von Punkten sein. Es wird keine Gerade und keine Fläche, sondern eine Anzahl von Punkten sein. Also löse dieses Gleichungssystem bezüglich der Variablen x1 bis xn und λ1 bis λm. Also man hat dann mehrere Lösungspunkte. Aus diesen Lösungspunkten schmeißt man λ heraus. λ sind einfach nur Hilfsvariablen, deswegen ist es wirklich egal ob das Vorzeichen ein + oder ein - ist. Es sind nur Hilfsvariablen, sie werden nicht weiter differenziert. Die Lösung des Gleichungssystems bezüglich x1 bis xn, sie ergeben dann die Daten für Extrema der Funktion f und der Nebenbedingungen. Leider habe ich hier keinen Platz mehr, ich wische alles weg und ich setze dann meine Kommentare zum Punkt 2 fort. Weiter zu 2. Also man erhält die Lösung des Systems, ich nenne das x1× mit Stern oben usw. bis xn×, λ1× bis λ1× bis λm×. Dieser Vektor, diese Ansammlung von Variablen, ich nehme an das ist die Lösung des Gleichungssystem, das ich im Punkt 2 angeschrieben habe. In den praktischen Situationen gibt es in der Regel mehrere Lösungen. Es gibt meinetwegen 3, 4, 5 solcher Vektoren. Als nächstes soll man die Lambdas wegschmeißen. Das was verblieben ist, diese x'e werden dann Punkte sein, die wir weiter diskutieren wollen. Also der Punkt x1× usw. bis xn× aus Rn ohne Lambda's dieser Punkt ist Kandidat für Extremmum der Funktion f unter den Nebenbedingungen, die durch g's vorgegeben sind. Ob in diesem Punkt tatsächlich ein Extremum vorliegt, kann das Verfahren leider nicht sagen. Es gibt keine bestimmten Regeln, die hier bereitgestellt wären. Ob dieser Punkt Maximum oder Minimum ist, das weiß man nicht. Das muss man sozusagen vor Ort beurteilen. Mit vor Ort meine ich, aus der Spezifik der vorliegenden Aufgabe ausgehend. Dieses Verfahren liefert einfach nur Kandidaten, ob diese wirklich Extrema sind, muss man noch speziell untersuchen. Das war der 2. Schritt. Der 3. Schritt ist Folgender. Der 2. Schritt liefert leider nicht alle Kandidaten für lokale Extrema. Weitere Kandidaten für Extrema der Funktion f unter Nebenbedingungen sucht man aus folgender Situation. Also man stellt eine bestimmte Matrix auf. Diese hängt von den Punkten x1 bis xn also von den Variablen x1 bis xn ab. Die Punkte, bei denen die Matrix nicht den vollen Rang hat, sind weitere Kandidaten für Extrema der Funktion f unter den Nebenbedingungen. Das hört sich alles sehr kompliziert an, ich schreibe das alles an, und wenn man das sieht, dann wird es verständlicher. Und nun schreibe ich die Matrix auf. Ich nehme die Funktionen g's, die die Nebenbedingungen vorgeben und  bilde die funktionale Matrix damit. Also dg1 nach dx1, dg1 nach dx2 bis dg1 nach dxn usw. Bis dgm nach dx1 also die übliche Funktionalmatrix, das haben wir schon gesehen in diesem Kurs, dgm nach dxn. Ich habe hier die Abhängigkeit von Punkt x1 bis Punkt xn unterdrückt. Das schreibe ich deutlichkeitshalber rechts von der Matrix. Also alle Punkte, in denen diese Matrix nicht den vollen Rang hat, sind ebenfalls Kandidaten für Extrema von f unter den Nebenbedingungen, die unter den Funktionen g1 bis gm vorgegeben sind. Jetzt noch eine gute Nachricht, Schritt 3 wird kaum irgendwann durchgeführt. Alle praktischen Aufgaben, die ihr als Hausaufgabe oder Klausuraufgabe lösen sollt, sind so gemacht, dass Schritt 3 kaum relevant ist. Man kann den Schritt 3 prüfen und bekommt dann Bonuspunkte aber das ist schon ziemlich subtil. Also womit ihr euch richtig auseinander setzen sollt, ist die Lagrange-Funktion und was man mit der Lagrange-Funktion machen soll und wie man die Kandidaten x1× bis xn× bekommt. Das solltet ihr gut verstehen. Schritt 3 ist optional. Beispiele zu dieser Vorgehensweise gibt es auf dieser Seite.

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2 Kommentare
  1. Default

    Hallo ... Habe im Netz ein anschauliches Beispiel gefunden,was ich mir unter "Extremum unter NB" vorstellen kann: dabei bildete die Funktion f(x,y) ein Gebirge und die NB g(x,y) meinen Wanderweg ( z.b. Kreisförmig ) und nun will ich wissen, wo auf MEINEM Wanderweg die höchsten,tiefsten ( Extrempunkte ) liegen ... dieses Bild finde ich sehr eingänglich .... Danke Euch Jeannette

    Von Jeannette, vor fast 7 Jahren
  2. Default

    Was ist mit der Hesse-Matrix? Damit könnte man überprüfen, ob die Hesse-Matrix tatsächlich ein lokales Extremum ist.

    Von Deleted User 2550, vor mehr als 7 Jahren