Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Einführung in Zylinderkoordinaten

Hallo! In diesem Beitrag wollen wir über Zylinderkoordinaten reden. Gut, dann fangen wir einfach nur an. Wir haben die vertraute Situation: 3 Achsen x, y, z, in unserem 3-dimensionalen Raum. Und dann fixieren wir einen Punkt P irgendwo im Raum. Es ja üblich, dass wir den Punkt P analytisch beschreiben möchten. Also wir wollen den Punkt P beschreiben und das Übliche, was da einfällt, das sind die kartesischen Koordinaten. Das habt ihr schon mehrfach gesehen. Also die Lage des Punktes P wird durch die Angabe von 3 Zahlen beschrieben, x, y, z. Und diese Zahlen x, y, z entstehen dadurch, dass wir den Punkt P auf die Achsen projizieren. Und dann schauen wir uns an, wo landen denn die Projektionspunkte, also an welcher Stelle der Achsen die Projektionspunkte landen. Die Lage von diesen Punkten auf den Achsen notieren wir, und das alles ergibt die kartesischen Koordinaten des Punktes P. Nun ist es nicht die einzig mögliche Art und Weise, den Punkt P im Raum zu beschreiben. Es gibt da alternative Beschreibungen und eine Möglichkeit davon sind die Zylinderkoordinaten. Jetzt wollen wir darüber reden, wie die Zylinderkoordinaten entstehen und wie sie mit kartesischen Koordinaten zusammenhängen. Also Folgendes: Ich brauche ein bisschen mehr Notation. Den Projektionspunkt von P in der x-y-Ebene bezeichne ich mit A, und den Projektionspunkt von P auf die z-Achse bezeichne ich mit B. Dann brauche ich eine Strecke, die Strecke vom Ursprung bis zum Punkt A, die liegt komplett in der x-y-Ebene. Und dann betrachte ich den Winkel zwischen der positiven Richtung der x-Achse und der Strecke OA in der x-y-Ebene. Und diesen Winkel nenne ich mit φ. Jetzt haben wir zu viel schwarz auf dem Bild, jetzt mache ich was Grünes, das ist der Winkel φ. Also wir sehen, wenn wir den Abstand zwischen dem Ursprung und dem Punkt A festlegen und den Winkel φ festlegen, dann ist durch diese 2 Sachen die Lage des Punktes A eindeutig beschrieben in der x-y-Ebene. Das ist nichts anderes als Polarkoordinaten in der Ebene, die haben wir gesehen, beim Thema komplexe Zahlen zumindest. Wenn man den Punkt A festgelegt hat in der x-y-Ebene, kann man auch die Höhe des Punktes P angeben. Die bezeichnet man natürlich durch z. Und dadurch ist dann die Lage des Punktes P eindeutig festgelegt. Ich wiederhole noch einmal. Also wenn man die Länge der Strecke von O bis A durch r bezeichnet, den Winkel zwischen der positiven Richtung der x-Achse und der Strecke OA in der x-y-Ebene durch φ bezeichnet und die Höhe des Punktes P durch z, dann ist durch die Angabe von diesen 3 Zahlen Winkel φ, die Länge r und die Höhe z, die Lage des Punktes P eindeutig beschrieben. Diese Art und Weise, den Punkt P zu beschreiben durch diese 3 Zahlen r, φ und z, die nennt sich Zylinderkoordinaten. Und diese 3 Zahlen nennt man auch zugleich die Zylinderkoordinaten des Punktes P. Also halten wir mal fest, was wir jetzt bis hier haben. Die Lage des Punktes P, seine Adresse sozusagen im Raum, kann man einerseits durch die Zahlen x, y, z angeben, das sind ja seine rechtwinkligen Projektionen auf die Achsen. Andererseits kann man die Lage, die Adresse des Punktes P im Raum durch eben 3 andere Zahlen beschreiben: r, φ und z. Und die geometrische Deutung von diesen r, φ und z, die steht halt in diesem Bild. Okay. Das sind die Zylinderkoordinaten. Und dann, damit wir halt etwas Festes schwarz auf weiß haben, schreibe ich kurz die Definition von den Zylinderkoordinaten. Also sage ich mal Definition: Zylinderkoordinaten des Punktes P sind Zahlen, genauer gesagt Zahlentripel (r,φ,z), die folgendermaßen definiert sind. Und ich beziehe mich nun auf die Zeichnung, die ich gemacht habe. r ist die Länge der Strecke OA in der x-y-Ebene. φ ist, a nun, wie soll ich das machen? Ich wiederhole, φ ist der Winkel zwischen der positiven Richtung der x-Aches und der Strecke OA. Und diesen Winkel bezeichne ich so: Ich schreibe hier halt so ein Zeichen, sieht wirklich wie ein Winkel aus, dann gebe xOA. Damit meine ich halt diesen Winkel zwischen der O-x-Achse, der positiven Richtung der x-Achse, und der Strecke OA. Und z muss ich ja auch definieren irgendwie. z ist die Koordinate des Punktes B auf der z-Achse. Das kann man als Definition betrachten. Was heißt, das kann man als Definition betrachten, das ist die Definition der Zylinderkoordinaten, das meine ich so.  Ich möchte meine Zeichnung noch einmal präzisieren. B ist der Projektionspunkt des Punktes P auf die z-Achse, also hier ist der rechte Winkel. Und A ist der Projektionspunkt von P auf die x-y-Ebene, hier ist auch der rechte Winkel. Gut, genug gezeichnet. Nun wollen wir mal eine bestimmte Formel angeben. Und wenn wir das altvertraute Koordinatensystem x-y-z haben, die kartesischen Koordinaten, und nun die neuen Zylinderkoordinaten, da entsteht natürlich die Frage, wie diese Koordinatensysteme zusammenhängen. Diese Frage ist nicht schwer zu beantworten, indem wir schon wissen, dass die Zahlen r, φ eigentlich die Polarkoordinaten sind. Und die Beziehungen von kartesischen Koordinaten in der Ebene und Polarkoordinaten in der Ebene sind bekannt. Die übernehmen wir hier einfach nur. Und konkret schreibt es sich so: Also sind (x,y,z) die kartesischen Koordinaten und (r,φ,z) die Zylinderkoordinaten desselben Punktes P, so gilt Folgendes, so hängen sie folgendermaßen zusammen. Die kartesischen Koordinaten (x,y,z) lassen sich durch die Zylinderkoordinaten ausdrücken. Das Einfachste ist die Koordinate z, die Koordinate z ist ja unverändert. Man projiziert einfach nur den Punkt P auf die z-Achse und fixiert dann auf die Koordinate des Projektionspunktes, und deswegen passiert bei z nichts, z=z. Und ich habe ja gesagt, die Zahlen r und φ, das sind einfach nur Polarkoordinaten des Punktes A in der y-Ebene. Die haben dann die altvertrauten Formeln: rcosφ und rsinφ. Das ist einfache Trigonometrie von dem rechtwinkligen Dreieck. Also jetzt muss ich das Dreieck irgendwie bezeichnen. Die Projektion des Punktes P auf die x-Achse bezeichne ich mit H. Und die Formel x=rcosφ, y=rsinφ, das ist einfache elementare Trigonometrie des rechtwinkligen Dreiecks AOH. Hier ist der rechte Winkel. Das ist klar. Wenn es halt ein bisschen ungewöhnlich oder sogar neu ist, schlagt beim Thema Polarkoordinaten nach, das ist ja exakt dasselbe. So sind die Sachen definiert, so hängen sie halt miteinander zusammen. Nun wollen wir damit ein bisschen spielen, damit wir uns daran gewöhnen. Als Nächstes schlage ich Folgendes vor. Diese 3 Formeln, diese 3 Gleichungen will ich als eine Abbildung auffassen, und ich sage dann wie genau. Also ich betrachte folgende Abbildung. Ich nenne sie dann ziemlich fantasielos f, und sie hängen ja von (r,φ,z) ab. Sie wird dann folgendermaßen abbilden, das wird dann ein Vektor sein mit den Komponenten (rcosφ;rsinφ;z). Wie soll man das interpretieren? Die Abbildung f nimmt die Zylinderkoordinaten eines Punktes und berechnet für diese Koordinaten die kartesischen Koordinaten desselben Punktes. Man nennt es halt technisch, die Abbildung f ist die Transformation zwischen Zylinderkoordinaten und kartesischen Koordinaten. Und manchmal nennt man die Abbildung f die Transformation auf Zylinderkoordinaten, obwohl es ja nicht so ganz genau ist. Also die Abbildung f bildet Zylinderkoordinaten auf kartesische Koordinaten ab. Aber man nennt sie, um sich kurz auszudrücken, der Einfachheit halber nennt man sie Transformation auf Zylinderkoordinaten. Also wir betrachten dann diese Abbildung, mit ihr wollen wir spielen, und zwar folgendermaßen. Wir wollen die sogenannten Koordinatenflächen von Zylinderkoordinaten studieren. Was bedeutet eine Koordinatenfläche? Stellt euch vor, wir haben dann in diesem Vektor, in dieser Abbildung f(r,φ,z), 3 Variablen: r, φ und z. Und wir wollen untersuchen, was passiert denn, wenn wir eine Variable fixieren, zum Beispiel r, und die anderen Variablen φ und z frei laufen lassen. Bei solcher Bewegung der Variablen φ und z wird der Punkt f(r,φ,z) ebenfalls eine Bewegung ausführen. Aber die ist nicht komplett frei, weil wir eine Koordinate r fixiert haben. Und wir wollen mal schauen, wie wird dann diese Bewegung aussehen. Es wird so sein, dass dieser Punkt, ich nenne diesen Punkt P. Also wenn eine Koordinate fixiert ist und die anderen Koordinaten frei laufen, dann wird der Punkt P bestimmte Bewegungen ausführen. Er wird im Raum eine Spur hinterlassen, und diese Spur nennt sich Koordinatenfläche der Zylinderkoordinaten. Das, was ich gesagt habe, ist ja ein bisschen verwirrend. Am besten schreibe ich einfach nur hin, was ich da unter Koordinatenfläche meine. Wenn man das schwarz auf weiß sieht, dann ist es vielleicht verständlicher. So, die Definition haben wir ja verstanden, die brauchen wir nicht mehr. Okay. Also nun Koordinatenfläche: Sei r fixiert bei r0, r0 ist irgendeine feste Zahl, meinetwegen 1, dann heißt die Menge der Punkte f(r0,φ,z)=(r0cosφ;r0sinφ;z), Menge der Punkte in 3-dimensionalem Raum, mit der Eigenschaft, dass der Winkel φ in seinem natürlichen Definitionsbereich läuft, das heißt im Intervall von 0 bis 2φ, und z macht dasselbe, z läuft frei in seinem natürlichen Definitionsbereich. Dieser Menge gebe ich einen Namen, meinetwegen Kr0. Diese Menge heißt die r-Koordinatenfläche von Zylinderkoordinaten. Wir wollen diese Menge zeichnen, wir wollen erst mal nachvollziehen, wie diese Menge aussieht. Also wir haben den Radius r bei r0 fixiert und alle anderen Variablen lassen wir laufen. Jetzt schaut mal auf dieses Bild. Hier haben wir den Punkt P mit Zylinderkoordinaten (r,φ,z). Wir halten erst mal den Radius r bei r0 fest und bewegen erst mal den Winkel φ. Wenn ich den Winkel φ bewege, dann bewegt sich der Punkt A in der x-y-Ebene. Aber er bewegt sich nicht frei, weil der Abstand zum Ursprung fixiert ist. Wenn der Abstand zum Ursprung r0 ist, dann bewegt sich der Punkt A auf einer Kreislinie. Das passiert, wenn ich den Winkel φ bewege. Wenn ich dann zusätzlich die Koordinate z bewege, dann entspricht die Bewegung von z auf der z-Achse der Bewegung des Punktes P, rauf und runter. Der Punkt P läuft rauf und runter, aber eben der Abstand zur z-Achse bleibt immer derselbe, r0. Das heißt, der Punkt P läuft dann im Endeffekt auf dem Zylindermantel; auf dem Zylindermantel eines Zylinders, dessen Symmetrieachse die z-Achse ist und dessen Radius r0 ist. Okay. Das wird dann die Koordinatenfläche r0 sein, sie wird dann so aussehen. Das ist aber nicht so geschickt, die Zeichnung, wir machen eine bessere Zeichnung. Man hat einen Zylinder. Eigentlich ist z die Symmetrieachse. Das, was ich jetzt gezeichnet habe, das ist nicht richtig in der Mitte. So sieht es besser aus, das ist die z-Achse. Und um die z-Achse herum haben wir einen Zylinder. Ich habe die Ränder, den oben und den unteren Rand des Zylinders, so halt in einer gerissenen Linie gezeichnet. Ich meine, der Zylinder erstreckt sich unendlich nach oben und unendlich nach unten. Hier ist die z-Achse und hier sind die übrigen Achsen x und y. Und das ist die r-Koordinatenfläche der Zylinderkoordinaten. Entsprechend definiert man die φ-Koordinatenfläche der Zylinderkoordinaten und die z-Koordinatenfläche. Ich brauche jetzt nicht die Definition neu zu schreiben. Ich hoffe, jetzt haben wir begriffen, was versteht man denn unter den Koordinatenflächen. Nun wollen wir es kurz besprechen. Ich werde das nicht mehr so formal definieren für die φ-Koordinatenfläche und die z-Koordinatenfläche. Okay. φ-Koordinatenfläche: Wir fixieren den Winkel φ bei einem bestimmten Wert und lassen die übrigen Variablen in ihrem natürlichen Definitionsbereich frei laufen. Wenn der Winkel φ fixiert ist bei φ0 (jetzt wische ich hier bei r die 0 weg und zeichne den Index 0 bei φ), dann läuft der Punkt A immer auf der Strecke, die ich jetzt halt mit gestrichelten Linien markiere. Also Punkt A läuft so, dass der Winkel zwischen der positiven Richtung der x-Achse und der Strecke OA fest bleibt. Das passiert, wenn ich den Abstand von O bis A, das heißt die Variable r laufen lasse, dann wird der Winkel A auf diesem Strahl laufen, den ich ja hier andeute. Wenn ich die Variable z variiere, dann bewegt sich der Punkt P rauf und runter. Auf diese Weise entsteht die Bewegung des Punktes P, die dann auf einer Halbebene verläuft; auf einer Halbebene, deren Rand genau die z-Achse ist und die mit der positiven Richtung der x-Achse den Winkel φ0 einschließt. Und das zeichne ich kurz. Also hier sind die Achsen und hier ist die Halbebene. Die Halbebene erstreckt sich nach oben, nach unten und nach rechts ins Unendliche. Hier ist die y-Achse, hier ist die x-Achse, hier ist die z-Achse. Diese Halbebene steht auf der z-Achse. Hier ist der Winkel φ0. Der Winkel φ0 ist fest. Die ganze Ebene nennt sich dann die φ-Koordinatenfläche. Als Nächstes machen wir dasselbe Spiel mit der Variablen z. Wir fixieren die Koordinate z bei z0, bei einem bestimmten festen Wert, und lassen r und φ laufen. Welche Spur der Punkt P dann im Raum hinterlässt bei dieser Bewegung, das finden wir auf dieselbe Art und Weise heraus. Also wir schauen jetzt erst mal auf unser ursprüngliches Bild. Wenn ich den Winkel φ variiere und den Abstand r festhalte, dann bewegen sich der Punkt A und mit dem Punkt A auch der Punkt B auf einer Kreislinie. Das ist die Änderung des Winkels φ. Wenn ich dann den Abstand r variiere, dann verändert sich der Radius des Kreises. Und wenn dann der Radius einfach nur eine beliebige positive Zahl sein darf, dann erreiche ich ja beliebige Radien. Im Endeffekt kann der Punkt A einen beliebigen Punkt der x-y-Ebene erreichen. Wenn ich dabei aber die Höhe z fixiere, dann erfolgt diese Bewegung auf der festen Höhe z, z0. Und auf diese Weise erhalten wir als die z-Koordinatenfläche eine Ebene parallel zur x-y-Ebene und auf der Höhe z0. Und das zeichne ich hier mal kurz. Hier ist wieder die z-Achse, hier ist z0. Und dann hat man eine Ebene, die parallel zur x-y-Ebene verläuft und die z-Achse bei z0 schneidet. Das ist die z0-Koordinatenfläche. Okay. Ich habe hier einfach nur ein Rechteck eingezeichnet. Gemeint ist, dass diese Ebene sich unendlich streckt nach links, nach rechts, nach vorne und nach hinten fort. Das sind die Koordinatenflächen. Als Nächstes wollen wir ein bisschen rechnen mit Zylinderkoordinaten. Als gute Übung ist es, dass wir meinetwegen einen Punkt in kartesischen Koordinaten vorgeben und dann fragen und dann die Zylinderkoordinaten von diesem Punkt ausrechnen. Das wird der nächste Teil von diesem Beitrag sein. Okay. Brauche ich dieses Bild oder brauche ich das Bild nicht? Ich riskiere und ich wische dieses Bild weg. Jetzt haben wir eine kurze Miniaufgabe: Bestimme die Zylinderkoordinaten des Punktes P mit kartesischen Koordinaten. Was habe ich mir da überlegt: -\sqrt3, 3 und -6. Also ich möchte es nicht voll ausschreiben: des Punktes P mit kartesischen Koordinaten soundso, ich schreibe P=das hier. Gemeint ist, dass der Punkt P einfach nur koordinatenunabhängig ist und diese 3 Zahlen sind seine kartesischen Koordinaten. Da sollen wir diese 3 Zahlen r, φ und z ausrechnen. z brauchen wir gar nicht ausrechnen. Also ich erinnere euch: Wir haben ja folgende Beziehungen zwischen x, y und z. z war einfach nur z, x war rcosφ und y war rsinφ. Wir sehen dann, die z-Koordinate bleibt unverändert. Die z-Koordinate in Zylinderkoordinaten ist nach wie vor -6. Da brauchen wir nicht zu rechnen. Jetzt die r-Koordinate. Durch elementare Trigonometrie sehen wir, wenn ich x und y quadriere und dann beides summiere, dann kommt eben r heraus. Und wir haben die Beziehung zwischen x, y und r, dieselbe Beziehung, die wir bei Polarkoordinaten gehabt haben. Noch einmal: Wenn ich halt in diesen Ausdruck statt x rcosφ und statt y rsinφ einsetze, quadriere, summiere, wegen der trigonometrischen Identität, aufgrund von trigonometrischem Pythagoras, dann kommt hier r heraus. Okay, dann mache ich das. Also x ist bei mir(-\sqrt3 und y ist bei mir 3. Also ich habe hier 3+9, das ist 12, und \sqrt12 macht =2\sqrt3. Das ist die r, mit r bin ich fertig. Also ich wiederhole noch einmal. r und φ sind einfach nur Polarkoordinaten von x und y. Die Formeln für Polarkoordinaten sind bekannt. Wenn man den Winkel φ aus den Zahlen x, y ausrechnen möchte, dann kann man es unterschiedlich machen. Man kann es mit arctan, man kann es mit arcsin und arccos machen, also ich schreibe jetzt die Formel für arccos. Die Formeln für arccos sehen so aus: Das ist arccos(x/\sqrt(x2+y2)), falls y ≥ 0, und -arccos(x/\sqrt(x2+y2)), falls y < 0. So waren die Formeln für arccos. Für arctan sehen sie dann ein bisschen anders aus, da gibt es 4 Fallunterscheidungen oder 3, je nachdem, wie man es ausschreibt. Für arcsin gibt es wieder etwas anderes. Ich benutze hier arccos. Also φ=arccos, x sehen wir hier, x=-\sqrt3, und \sqrt(x2+y2) haben wir berechnet, das ist 2\sqrt3. Also das ist =arccos(-1/2). arccos(-1/2): Minus unter arccos wird uns natürlich verwirren, manche von uns. Dazu gibt es eine allgemeine Formel. Ich erinnere euch: arccos(-α)=π-arccosα, für ein positives α, für α > 0. Und diese Formel nutze ich hier an dieser Stelle: also arccos(-1/2)=π-arccos(1/2). Nun wissen wir, dass cos(π/3)=1/2. Das heißt, arccos(1/2)=π/3. Also wir haben hier π-π/3, und der Winkel φ=(2π)/3. Diese Rechnung ist ja eigentlich nichts Neues, das ist Analysis 1, das sind ja Polarkoordinaten im Grunde. Okay. Gut, dann haben wir alles beisammen. Vielleicht wische ich diese Formel weg. Und im Ergebnis haben wir: Die Zylinderkoordinaten des Punktes P lauten: r haben wir berechnet, das ist 2\sqrt3, φ haben wir gerade berechnet, das ist (2π)/3, und z ist -6. Fürs Erste reicht das vielleicht. Im Anschluss sage ich dann, wozu man das alles braucht. Die Zylinderkoordinaten sind oft bequem, wenn man mit Objekten zu tun hat, die bezüglich der z-Achse symmetrisch sind, zum Beispiel Zylinder. Der Zylindermantel ist bezüglich der z-Achse symmetrisch. In der Zukunft werden wir dann mit solchen Sachen zu tun haben, wie Oberflächenintegrale oder Volumenintegrale. Wenn die Objekte, mit denen wir da arbeiten werden, Oberflächen- oder Volumenelemente, symmetrisch bezüglich der z-Achse sind, dann arbeitet man mit Zylinderkoordinaten, das ist der Vorteil. In diesem Fall werden viele Rechnungen dann sich vereinfachen. Also an dieser Stelle vielleicht, es ist nicht so ganz schlüssig, was ich sage. Ich versuche, es zusammenzufassen. Noch einmal: Bestimmte Rechnungen beim Thema Volumenintegrale und Oberflächenintegrale werden sehr viel einfacher sein, wenn man sie in geeigneten Koordinaten durchführt. Und wenn die Objekte, mit denen man zu tun hat, bezüglich der z-Achse symmetrisch sind, dann werden alle Rechnungen in Zylinderkoordinaten wesentlich einfacher sein. Das möchte ich noch einmal mit einem Detail belegen. Zum Beispiel der Ausdruck \sqrt(x2+y2) in kartesischen Koordinaten ist nicht so ganz angenehm. Wenn wir das integrieren sollen oder das ableiten sollen, dann ist das alles hässlich. Nicht wahr? Also beim Ableiten sollen wir die Kettenregel benutzen. Beim Integrieren kennt keiner die Formel aus dem Kopf, wenn wir das nach x integrieren sollen. Das ist alles schrecklich. Aber wenn wir diesen Ausdruck in Zylinderkoordinaten angeben, das ist einfach nur r. Und r kann man super ableiten, die Ableitung von r=1, das Integral von r=(r2)/2. Ihr seht, was ich meine. Also bestimmte Ausdrücke werden sich ungemein vereinfachen, wenn man mit geeigneten Koordinaten arbeitet. Und das ist der Sinn, eben halt neue Koordinatensysteme einzuführen. Das werden wir alles noch bestätigt sehen beim Thema Kurvenintegrale und Oberflächenintegrale, Volumenintegrale. Das kommt noch.  

Informationen zum Video
2 Kommentare
  1. Default

    ziemlich gut!

    Von Martin Schurr, vor etwa 3 Jahren
  2. Default

    Nicht so ganz schlüssig? Es reicht vollkommen. Ihr 2 seid spitze. Danke!! ^^

    Von Roger, vor etwa 7 Jahren