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Transkript Einführung in Kugelkoordinaten

Hallo. In diesem Beitrag wollen wir die Kugelkoordinaten besprechen. Es ist übrigens ein sehr wichtiges Thema, wird immer wieder vorkommen bei der Integration und bei, ja, bei Volumen und Oberflächen. Na gut. Das Problem ist ja bekannt. Wir haben einen Punkt P im Raum und wollen seine Adresse angeben. Eine Möglichkeit sind seine kartesischen Koordinaten X, Y, Z. Wir wissen, wie sie zustande kommen. Und eine andere Möglichkeit wären Zylinderkoordinaten, sie sind ja besprochen auf dieser Seite. Nun wollen wir uns mit Kugelkoordinaten auseinandersetzen. Es ist halt eine Art, die Adresse des Punktes P anzugeben. Und wir machen folgende Konstruktionen. Ich betrachte erst mal eine Strecke, die Strecke vom Ursprung zum Punkt P und die Länge dieser Strecke nenne ich r. Dann projiziere ich den Punkt P in die xy-Ebene. Den Projektionspunkt nenne ich A. Und als nächstes projiziere ich den Punkt P auf die z-Achse. Den Projektionspunkt auf die z-Achse nenne ich B. Dann ist es ein bisschen verwickelt, was folgt, denn nun kommen die Winkel. Ich verbinde in der xy-Ebene den Punkt A mit dem Punkt O, mit dem Ursprung, und betrachte den Winkel zwischen der positiven Richtung der x-Achse und der Strecke OA^-. Diesen Winkel nenne ich φ. Als nächstes betrachte ich den Winkel zwischen der positiven Richtung der z-Achse und der Strecke OP^-. Und diesen Winkel nenne ich θ. Ich habe jetzt die Bezeichnung für r ungünstig eingezeichnet, eine kleine Korrektur. Also ich schreibe es hier unterhalb der Strecke, das ist r. Ja und hier oben also der Winkel θ. Also es kam einiges dazwischen, ich wiederhole: Der Winkel θ ist der Winkel zwischen der positiven Richtung der z-Achse und der Strecke OP^-. Na und, ja, das ist klar, wenn wir die Zahlen r, φ und θ festhalten, dann ist damit die Position des Punktes P eindeutig beschrieben und dann bekommen wir eine weitere Möglichkeit, die Lage des Punktes P im Raum zu beschreiben. Ja dann... die Definition. r, die Zahl r ist der Abstand zwischen dem Ursprung und dem Punkt P. Also die Länge der Strecke OP^-, das ist r. θ ist der Winkel, so, so, so bezeichne ich Winkel, das sieht wirklich wie Winkel aus, nicht wahr, das ist der Winkel zwischen der positiven Richtung der z-Achse und der Strecke OP^-, so bezeichne ich das. Und φ ist wieder ein Winkel, diesmal zwischen der positiven Richtung der x-Achse, das bezeichne ich so, und der Strecke OA^-. Das ist Definition, und das Zahlentripel (r, θ, φ) heißt die Kugelkoordinaten des Punktes P. Das Zahlentripel, das Tripel (r, θ, φ) heißt die Kugelkoordinaten - oder man benutzt auch gerne ein lateinisches Wort, die sphärischen Koordinaten, oder auch die räumlichen Polarkoordinaten, meistens aber das eingedeutschte Kugelkoordinaten, ja, das schreib ich auch, Kugelkoordinaten - des Punktes P. Und das ist die Definition. Natürlich, wie es so oft in der Mathematik ist, mit Definition kann man wenig anfangen. Wir müssen schon schauen, was diese Definition impliziert und wie hängen die neu definierten Begriffe mit den alten Begriffen zusammen. Ja, und die alten Begriffe in diesem Zusammenhang, das sind die kartesischen Koordinaten. Nun wollen wir uns anschauen, wie sich diese (r, θ, φ), die Größen (r, θ, φ) zu den kartesischen Koordinaten (x, y, z) verhalten. Ja und das ist einfache Trigonometrie. Ich betrachte das Dreieck BPO, weil der Punkt B der Projektionspunkt des Punktes P ist. Dann haben wir hier bei B einen rechten Winkel und somit bekommen wir ein rechtwinkliges Dreieck. Und da die Hypotenuse ist OP^-, die hat die Länge r. Und wir haben zwischen der Kathete OB^- und der Hypotenuse OP^- den Winkel θ. Einfache Trigonometrie sagt uns, dass die Kathete OB^- die Länge r cosθ hat. Gut, und dann machen wir dasselbe Spiel, aber mit einem anderen Dreieck. Punkt A war die Projektion des Punktes P in die xy-Ebene. Also der Winkel, den ich hier markiere, der ist auch ein rechter Winkel, und ich habe mit dem rechtwinkligen Dreieck OAP zu tun. Dann aus der Konstruktion folgt, dass der Winkel OPA ebenfalls =θ ist. Naja, wem das nicht klar ist dann vielleicht, der zeichne das Rechteck OBPA separat. Hier ist das Rechteck, also OBPA, und hier ist die Strecke OP. Wir haben dann den Winkel BOP als θ definiert. Ja und das ist anschaulich klar. Aus einfachen trigonometrischen Überlegungen sieht man, dass der Winkel entgegen, also sozusagen entgegengesetzte Winkel OPA ebenfalls =θ ist. Und das habe ich hier gezeichnet. Also für die Leute, für die es zu schnell war am Anfang, ich hoffe, das ist schon ausreichende Erklärung. Nun ja. Also das hier, die Hypotenuse OP^-, hat die Länge r, so, und was kann ich. Mein Ziel ist, ich will die Länge der Strecke OA^- ausrechnen, ja, durch r und θ. Dann, was kann ich da machen, was kann ich da machen. Also in diesem Zusammenhang OA^- ist die Gegenkathete und deswegen ihre Länge =r sinθ. Gut. Also die Strecke OA^- hat die Länge r sinθ. Also ich werde das nicht in unser ursprüngliches Bild einzeichnen, das würde das Bild überstrapazieren. Und nun kommen wir zu einem anderen Dreieck. Also ich projiziere den Punkt A auf die x-Achse und bekomme den Punkt, den nenne ich den Punkt, Q, ja,  und ich projiziere den Punkt A auf die y-Achse und bekomme den Punkt R. So. Nun wollen wir dieses Dreieck noch mal ausschreiben. OQA. Also ich will dieses Dreieck, wie will ich das Dreieck kriegen. Hier ist das Dreieck. Hier ist der Punkt Q, hier ist der Punkt A, hier ist der Punkt O. Ja? Gut. Und den Winkel QOA habe ich als φ definiert. Hier ist der Winkel φ. Und die Strecke OA^- hab ich ja gerade berechnet, das ist r sinθ, so. Und mein Ziel ist, ich will jetzt die Länge der Strecke OQ^- ausrechnen. Und das ist wieder einfache Trigonometrie. Die Länge der Strecke OQ^- ist dann r sinθcosφ. Ja und ich vermute, ich habe den roten Faden jetzt verloren, also ich möchte jetzt an dieser Stelle klarstellen, was hier passiert. Ich möchte die kartesischen Koordinaten des Punktes P, sie lauten (x, y, z), in Zusammenhang mit den Kugelkoordinaten (r, θ, φ) bringen, und deswegen mache ich diese Rechnungen, ja? Ja und aufgrund derselben Überlegung, derselben Überlegung sieht man, dass die Strecke OR^-, also wenn man sich zeichnet wieder ein Dreieck, das Dreieck mit den Ecken R, A und O, ja, man zeichnet sich wieder den Winkel, den Winkel OAR =φ. Dann der Winkel φ, und OA^- ist bekannt, OA^- hat die Länge r sinθ, und wir wollen die Länge der Strecke OR^- bestimmen. Und dann die Länge der Strecke OR^- ist dann r sinθsinφ. Na also, was hab ich denn gemacht. Die Länge der Strecke OQ^- ist die x-Koordinate des Punktes P, und OQ^- hab ich ja berechnet, ja? Hier ist sie. Das ist die x-Koordinate. Die Länge der Strecke OR^-, das ist die y-Koordinate des Punktes P, und ich hab sie hier berechnet. Das ist y-Koordinate. Ja und die Länge der Strecke OB^-, das ist die z-Koordinate des Punktes P, und die habe ich hier berechnet. Das ist sie, hier ist z. Okay. Also ich habe hier die Beziehung zwischen den kartesischen Koordinaten des Punktes P (x, y, z) und den Kugelkoordinaten (r, θ, φ) hergestellt. So kommen sie zustande. Nun will ich das zusammenfassen. Wie wir sehen, das ist einfach die Trigonometrie, Trigonometrie der rechtwinkligen Dreiecke. Also nun fasse ich es zusammen. Also: Sind (x, y, z) die kartesischen Koordinaten von P, so gelten folgende Beziehungen. Und nun schreibe ich sauber die von mir hergeleiteten Beziehungen aus. Also x= r, was war denn da, sinθ, das war die Länge der Strecke OA^- ×cosφ, das ist ja die Länge der Strecke OQ^-. y=r sinθ, das ist wieder die Länge der Strecke OA^-, ×sinφ, also mit sinφ, dann lande ich bei der Länge der Strecke OR^-. Und z=, steht noch auf dem Bild, das ist r cosθ. So. Die Formeln sehen relativ kompliziert aus, aber es macht schon Sinn, sie sich zu betrachten, also in bestimmten Situationen sind sie wirklich sehr viel bequemer als die kartesischen Koordinaten. Nun will ich aus meinem Bild die Dinger wischen, die ich ja nicht brauche, die Dinge entfernen, die ich nicht brauche. Ich hoffe, so. Da hab ich ja zu viele Winkel θ, das brauch ich nicht mehr, und zu viele Winkel φ. Okay. Ansonsten bleibt alles so. Das sind ja die Beziehungen. So kann man die kartesischen Koordinaten aus den Kugelkoordinaten berechnen und dann natürlich kann man diese Formel umkehren. Man kann sich dann interessieren, wenn man die kartesischen Koordinaten vorgibt, man kann sich für die Kugelkoordinaten interessieren. Und ich schreibe fertige Formel hin, also ich verzichte auf Herleitung, sonst, sonst dauert es zu lange, aber zumindest wie man r, wie man den Radius r aus (x, y, z) berechnet, das ist klar. Also das ist Abstand zwischen dem Ursprung und dem Punkt P, und der Abstand, der berechnet sich nach der vertrauten Formel, das ist \sqrt(x2+y2+z2). Ja, die, nun können wir θ schreiben, also wir sehen cosθ hier auf dem Bild, also cosθ=z/r, ja? Das heißt, θ=Arkuskosinus(z/r). Also θ=arccos (z/r), und r ist eben diese Wurzel. Gut, und bei φ? Die gute Nachricht ist die, dass φ ist einfach nur Polarwinkel des Punktes A. Deswegen hier brauchen wir nichts Neues zu machen, hier übernehmen wir die fertige Formel aus dem Thema Polarkoordinaten. Also φ ist der arccos von x/(x2+y2), falls y > 0 ist oder =0, und -arccos von demselben Ausdruck, falls y < 0 ist. Gut. Also das sind die Kugelkoordinaten, wie sie definiert sind, und das sind die Beziehungen zwischen, wechselseitige Beziehungen zwischen Kugelkoordinaten und kartesischen Koordinaten. Nun, das sind einfach nur Formeln. Nun wollen wir mit diesen Begriffen ein bisschen spielen und ich schlage vor, dass wir uns die Koordinatenflächen von Kugelkoordinaten anschauen. Diejenigen von euch, die sich den Beitrag Zylinderkoordinaten angesehen haben, sie können schon ahnen, was passiert dann, wenn wir Koordinatenflächen konstruieren. Vielleicht mach ich doch kurz Zusammenfassung davon, was ich damit meine. Also in den nächsten 5 Minuten beschäftigen wir uns mit Koordinatenflächen und das passiert wie folgt. Die Formeln, die (x, y, z)/r detailliert ausdrücken, fasse ich als eine Abbildung auf. Also ich betrachte die Abbildung f von (r, θ, φ) und sie hat als Wert einen Vektor. Ach, wenn man möchte, kann man hier Vektor schreiben, Pfeil, aber man macht es oft, ja, aber ich verzichte diesmal darauf, ja? Also ich will da andeuten, also man kann es lässig handhaben. Also ich mag Pfeile z. B. nicht, also schreib ich sie nicht. Okay. Also x war r sinθcosφ. Leider muss man diese Formeln auswendig lernen. Ihr seht, ich habe diese Formeln auswendig gelernt, das heißt, weil man sie immer wieder nutzt. Ich empfehle auch euch, diese Formeln auswendig zu lernen. So, wir betrachten eine solche Abbildung und nun, unter der r-Koordinatenfläche der Kugelkoordinaten verstehen wir Folgendes: Ich fixiere r bei einem festen Wert und bewege die Winkel θ und φ in ihrem natürlichen Definitionsbereich. Ja das bewirkt natürlich Bewegen des Punktes P. Und der Punkt P wird sich auf einer bestimmten Fläche im Raum bewegen, ja und diese Fläche heißt dann die r-Koordinatenfläche. Also die Menge, also vielleicht sollte ich da andeuten, also: Fixiere r bei r0. r0 ist eine Konstante, das schreibe ich auch klar hin, Konstante. Und die Menge, die Menge K(r0) definiert durch folgende Bedingung. Das ist Menge der Punkte im Raum von (r, θ, φ), das sind, ja, Punkte im dreidimensionalen Raum, r von r0 wohlgemerkt, sodass θ und φ sich in ihrem natürlichen Definitionsbereich bewegen. Ja und das habe ich ja bisher leider gar nicht angesprochen, das sollte ich aber. Der Punkt φ läuft im Kreis, ja? Der Winkel φ läuft so, dass der Punkt A und Punkt P sich im vollständigen Kreis... ach, was sag ich denn, also dass der Punkt P oder A vollständige Umdrehungen auf einer Kreislinie vollführen können. So. Ja. Und natürlich der Winkel φ muss sich aus dieser Überlegung zwischen 0 und 2π ändern, variabel sein. Und das verleitet viele dazu, dass man auch den Winkel θ zwischen 0 und 2π variieren soll. Das ist aber nicht wahr. Also 2π ist ja zu viel, ja? Wenn der Winkel θ π ist, dann landet der Punkt P ganz unten im negativen Bereich der z-Achse. Wenn der Winkel θ 2π ist, dann macht der Punkt eine vollständige, dann vollführt der Punkt P eine vollständige Umdrehung auf einer Kreislinie und landet dann wieder zurück im positiven Bereich der z-Achse, ja? Das ist aber zu viel, ja? Wenn wir einen Punkt meinetwegen halt hinter der z-Achse erreichen wollen, ja, da drehen wir den Winkel φ, sodass der Punkt A dann hinter der z-Achse liegt, so, und belassen dann den Winkel θ bei dem selben Wert, ja? Also was ich dann umständlich damit sagen möchte: Wenn ich den Winkel θ von 0 bis π variiere, nicht bis 2π, sondern von 0 bis π und den Winkel φ von 0 bis 2π, dann erreiche ich mit P jeden Punkt im Raum, ja? Aus diesem Grund variiert man θ nicht bis 2π, sondern lediglich bis π, das reicht, ja? Mit diesen Grenzen ist jeder Punkt im Raum erreichbar, ja? Gut. Das ist jetzt im natürlichen Definitionsbereich der Kugelkoordinaten, das musste ich natürlich vorher sagen. Nun haben wir es. Ja. Und in dieser Situation, wir waren bei Koordinatenflächen. Also die Menge, wo r0 fixiert ist und die Winkel in ihrer natürlichen Definition laufen, also diese Menge heißt die r-Koordinatenfläche, r-Koordinatenfläche der Kugelkoordinaten. Gut. Und das ist ja sehr einfach. Wenn der Radius r fixiert ist, ja, der Punkt P einen festen Abstand vom Ursprung hat und die Winkel φ und θ ändern sich beliebig, ja, dann kann der Punkt P jeden Punkt im Raum erreichen, der den Abstand r, den festen Abstand r0 zum Ursprung hat. Und das ist natürlich eine Sphäre mit dem Radius r0. Und das ist offensichtlich, das ist anschaulich klar, und bitte, bitte versucht es nachzuvollziehen. Macht es euch klar, ja, dass die r-Koordinatenfläche der Kugelkoordinaten eben eine Kugel ist, eine Sphäre, ja? Und daher hat man auch noch den Namen Kugelkoordinaten. Also das ist die r-Koordinatenfläche. Das ist eher ein Ei als eine Kugel, aber ich will das nicht neu malen, nicht neu zeichnen, so ist gut. So, und hier waren die Achsen dadraus. So, und die Kugel dann schneidet die Achsen jeweils bei r0. Das ist 0, das ist (x, y, z). Und diese Kugeloberfläche, die ist eben die Menge K(r0), die r-Koordinatenfläche. Gut. Als nächstes betrachten wir die θ-Koordinatenfläche, und die entsteht dann auf ähnliche Art und Weise. Also ich fixiere θ bei einem festen Wert, aber den Radius und den Winkel φ variiere ich. So, und dann schauen wir, schauen wir auf das Bild. Wenn θ fest ist und, sag ich mal, und r fest ist, vorübergehend, und φ variabel. Wenn φ variabel ist, dann läuft der Punkt P im Kreis. Im Kreis auf derselben Höhe. Ja? So. Und wenn ich, stellt euch vor, die Strecke OP^- rotiert um die z-Achse, also das der Winkel zwischen der Strecke OP^- und der z-Achse immer der Gleiche ist, θ, ja, dann läuft Punkt P auf einer Kreislinie. Ja. Wenn ich die Länge r, den Radius r variiere, dann rutscht der Punkt P rauf und runter auf dem gestrichelten Strahl, den ich jetzt andeute, ja? So. Wenn wir diese beiden Bewegungsarten kombinieren, also Umlauf auf Kreis und das Rutschen auf diesem Strahl, der mit der z-Achse einen festen Winkel θ bildet, dann bekommen wir einen Kegel, ja, der sich unendlich nach oben erstreckt und symmetrisch bezüglich der z-Achse ist. So. Gut. Und der Winkel zwischen, der Winkel zwischen dem beliebigen Strahlenkegel vom Ursprung aus und der positiven Richtung der z-Achse beträgt θ0. Und θ0, das heißt fixierter Wert von θ. Hier sind irgendwie unsere x- und y-Achsen, ja und das, was ich hier gezeichnet habe, das ist die Koordinatenfläche K(θ0). So, und wir sehen, dieser Kegel kann auch entarten. Wenn ich den Winkel θ bei π/2 fixiere, dann bewegt sich der Punkt P ausschließlich in der xy-Ebene, und dann bei θ, speziell bei θ=π/2, haben wir keinen Kegel, sondern wir haben eine Ebene, und zwar die xy-Ebene. Das ist ein Spezialfall, sozusagen entarteter Kegel, ja? So, das ist (x, y, z), und das ist Koordinatenfläche θ0=π/2. Und ihr könnt euch vorstellen, was passiert denn, wenn der Winkel θ... Ach ja. Ich habe ja auf dem ersten Bild vorausgesetzt, dass θ zwischen 0 und π/2 sich befindet, ja? Hier ist θ, θ0 zwischen 0 und π/2, ja, und ihr könnt euch vorstellen, was passiert, wenn der Winkel θ zwischen π/2 und π fixiert ist. Dann hat man wieder Kegel, aber der schaut mit der Spitze nach oben, ja? Im Ursprung ist die Spitze und ist nach unten unendlich fortgesetzt. Also leider habe ich nicht mehr Platz, deswegen kommt hier was weg. Also die θ-Koordinatenfläche für θ zwischen π/2 und π, die sieht dann so aus. Das ist ein Kegel, ja, der nach unten unendlich ausgedehnt ist, sich nach unten, sich nach unten, nach unten sich unendlich erstreckt, ja, das ist K(θ0) für θ zwischen π/2 und π. Gut. Und ich möchte betonen, ich habe die Koordinatenflächen gezeichnet ohne Benutzen der Formeln, ja? Also das ist sehr wichtig, dass man die Koordinatenflächen ohne Formeln zeichnen kann. Also in diesem Fall Formeln sind verwirrend, in diesem Fall Formeln, sie geben keine Auskunft. Es ist ja sehr wichtig, dass man auf dem Bild klar und deutlich sieht, wo sitzen denn die Winkel φ und θ und wo ist denn die Strecke r. Wenn man diese anschauliche Information hat, wenn man das verstanden hat, dann kann man diese Koordinatenflächen zeichnen und verstehen, wie sie zustande kommen. Das ist sehr wichtig, dass man nicht nur mit Formeln arbeitet, sondern auch die Dinge anschaulich, begrifflich im Griff hat. Gut. Und als Letztes, als Letztes präsentiere ich die φ-Koordinatenfläche, das ist aber, ja, da machen wir dasselbe Spiel, ja? Wenn der Winkel φ fixiert ist und der Radius sich ändert, ja, dann rutscht der Punkt A entlang des Strahles, den ich jetzt hier andeute, ja? Gut. Und dann, wenn der Winkel θ variiert, dann läuft der Punkt P nach oben und nach unten. Ja? So. Aber die ganze, wenn der Winkel φ fixiert ist, dann läuft die Bewegung halt, findet die Bewegung in der Ebene statt. Die xy-Ebene senkrecht, die senkrecht auf der xy-Ebene steht, ja, und dann die xy-Ebene entlang des Strahles OA^- auch schneidet. Also es entsteht folgendes Bild. Eigentlich dasselbe Bild wie bei Zylinderkoordinaten. Und außerdem ich hab mich da ein bisschen versprochen, also ich sage die ganze Zeit Ebene, ich meine natürlich Halbebene, die die z-Achse als Rand enthält, ja? Gut. So. Und hier ist der Winkel φ0. Gut. Und das ist die Koordinatenfläche beim fixierten Winkel φ0, das ist (x, y, z). Fortsetzung folgt.

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1 Kommentar
  1. Default

    sehr lang..........................................................

    Von Deleted User 7038, vor fast 7 Jahren