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Transkript Aufgabe zu Kugelkoordinaten

Nun wollen wir mit den Kugelkoordinaten ein wenig rechnen, und die naheliegendste Aufgabe, auf die man kommen kann, ist: Wir haben einen Punkt P mit den kartesischen Koordinaten so und so und wir sollen die Kugelkoordinaten r, θ, φ von diesem Punkt P berechnen. Dann los. Also. Die r-Koordinaten hängt mit dem kartesischen Koordinaten wie folgt zusammen: Das ist die \sqrt(x2+y2+z2). Also wir denken daran, das r ist der Abstand zwischen dem Punkt P und dem Ursprung. Wenn die kartesischen Koordinaten des Punkte P x, y, z sind, dann berechnet sich der Abstand anhand dieser Formel. In unserer Rechnung, ich schreibe es noch deutlich, x ist -\sqrt3, y ist 3 und z ist -6. Nun, diese Daten setze ich in die Formel ein und bekomme -\sqrt((\sqrt32)+32+-62), das macht \sqrt(3+9+36). Das ist \sqrt48 und da kann man 16 ausklammern, 48 ist 16×3 und \sqrt16 ist 4, also ich habe 4\sqrt3. Mit dem r, das ist einfach.   Dann sollen wir als nächstes den Winkel θ ausrechnen und es ist ja gar nicht verkehrt, wenn ich den Winkel θ veranschauliche. Wir erinnern uns, der Winkel θ, ist der Winkel zwischen der positiven Richtung der z-Achse und dem Radiusvektor des Punktes P.  Also hier ist meine z-Achse, hier ist der Ursprung. xy-Achse zeichne ich nicht ein. Und dann hier ist ungefähr der Winkel P, hat die negative z-Koordinate. Hier ist der Winkel P. Ich betone, das Bild spielt sich nicht in einer Koordinatenebene, nicht in xz-Ebene oder yz-Ebene. Das Bild spielt sich in der Ebene, die durch die positive Richtung der z-Achse und dem Vektor P aufgespannt wird. Der Winkel θ ist hier, also zwischen der positiven Richtung der z-Achse und dem Radius-Vektors des Punktes P. Das ist der Winkel θ. Wir haben gerade berechnet, dass der Abstand zwischen dem Ursprung und dem Punkt P 4\sqrt3 beträgt. Und nach der Aufgabenstellung ist die z-Koordinate des Punktes -6. Jetzt berechnen wir den roten Winkel θ. Dazu haben wir eine Formel, a+cos, ja wir haben ja dieses geometrische Bild und da können wir geschickt mit diesem Bild arbeiten und dann auf den Winkel θ kommen. Also es gibt meinetwegen einige Möglichkeiten. Aber ich will das nicht machen, wir wollen das nicht so chaotisch, wir wollen uns nicht verzetteln. Ich benutze die fertige Formel Arkuskosinus z/\sqrt(x2+y2+z2). Und ich empfehle euch, ein bisschen mit dieser Trigonometrie zu spielen, findet bitte eine andere Methode um den Winkel θ zu berechnen, indem ihr ausnutzt, dass wir da ein rechtwinkliges Dreieck haben und θ ist ein Außenwinkel und so weiter. Man kann diese Aufgabe ohne die vorgeschriebene Formel alternativ lösen. Spielt damit, gewöhnt euch daran. Also Arkuskosinus+z durch das hier. Also Arkuskosinus und z ist -6 und die Wurzel, die da unten steht, ist gerade der Radius r, also hab ich 4\sqrt3, also ich habe a+cos von minus und dann ein bisschen kürzen, also \sqrt3 kann ich kürzen und 2 kann ich kürzen, dann bekomm ich -\sqr(t3/2). Und ich erinnere euch daran, hat man a+cos von negativen Zeichen, hat man spezielle Formel. Arkuskosinus von -α = π-a+cos α für α >=0. Da hat man diese Formel, die nutze ich jetzt. Also ich hab π-Arkuskosinus\sqrt(3/2). Nun schauen wir in der Tabelle nach oder wir denken selber ein bisschen nach. Also was heißt nachdenken, das kann man nicht durch nachdenken lösen, man lernt halt diese Zeilen auswendig und dann kommt man drauf. Also cos von π/6 ist \sqrt(3/2), also Arkuskosinus von \sqrt(3/2) ist π/6. Also π-π/6, das macht 5π/6. Ja und auf diesem Bild, ist es auch plausibel, das ist ja 5π/6. Das war der Winkel θ. Nun der Winkel φ. Das behandeln wir alles ähnlich. Also wir haben ein Bildchen, der Winkel φ, der Winkel φ liegt in der xy-Ebene. Also hier die xy-Ebene, und unsere Koordinaten x ist negativ -\sqrt3, y ist positiv 3 und hier ist eine bestimmte Strecke. Wer denkt, dass das der Winkel P ist, der liegt falsch. Der Winkel P liegt dann unterhalb, also liegt dann tief unter der Tafel. Also die z-Koordinate von Winkel P ist -6. Stopp mal, hier ist die positive Richtung der z-Achse, und der Winkel P liegt unter der Tafel. Das ist nicht der Winkel P, sondern die Projektionen des Winkels P auf die xy-Ebene. Und der Punkt P, ich habe einiges durcheinandergebracht. Hier ist die positive Richtung der z-Achse und der Punkt P liegt unterhalb der xy-Ebene, unterhalb der Tafel. Also im negativen Bereich der z-Achse. Und dieser Punkt hier ist die Projektion des Punktes P auf die xy-Ebene. Nun habe ich glaub ich alles richtig gesagt. Und hier ist der Winkel φ, den wir berechnen können. Das ist ja einfache Trigonometrie, man kann es geometrisch, trigonometrisch lösen. Ich nutze aber die fertige Formel. φ ist dann Arkuskosinus von x/\sqrt(x2+y2). Nun berechne ich dies Arkuskosinus x ist -\sqrt3/\sqrt(32) und 32 ist 9, nun wird ein bisschen gerechnet, da habe ich Arkuskosinus-\sqrt(3/12). Je länger ich das mache, desto weniger gefällt mir das. Moment mal, also das ist 3/12, ist 1/4. Also \sqrt(1/4) ist dann 1/2, also Arkuskosinus von -1/2. Nun nutze ich die Formel für das negative Argument im Arkuskosinus. Arkuskosinus im negativen ist π-Arkuskosinus von 1/2 und dann denken wir an die Standardwerte von trigonometrischen Funktionen: cos von π/3 ist 1/2, also Arkuskosinus von 1/2 ist -π/3, also π-π/3, das macht 2π/3 und unsere Zeichnung ist auch plausibel, also das ist 2π/3.   Nun, dann haben wir unsere Aufgabe gelöst. Ergebnis: Die r-, θ-, φ-Koordinaten des Winkels P sind r ist 4\sqrt3, θ ist 5π/6, haben wir berechnet, und φ ist 2π/3. Gut, das ist die Aufgabe.   Nun will ich eine weitere Aufgabe daran anschließen. Jetzt haben wir mit einem Punkt gearbeitet, nun will ich mit einer Menge von Punkten arbeiten. Ich will eine Menge hier definieren und wir wollen diese Menge in Kugelkoordinaten beschreiben. Die Menge habe ich mir da überlegt, auf dem Zettel. Also beschreibe die Menge, die nenne ich natürlich M, wie sonst soll man eine Menge nennen? Die besteht aus den Punkten x, y, z, die kartesischen Koordinaten, mit folgenden Eigenschaften: x2+y2+z2≤3, x ist positiv, y ist negativ und z ist auch negativ. Beschreibe die Menge im Kugelkoordinaten. Das ist die Aufgabenstellung und es läuft Standard, also wenn wir irgendwelche Menge sehen, versuchen wir zuerst die Menge zu veranschaulichen. Die erste Ungleichung ist einleuchtend, x2+y2+z2=3, also wenn es die Gleichung wäre, =3, dann wäre ist es eine Sphäre um den Ursprung mit dem Radius \sqrt3. Wenn wir eine Ungleichung ≤3, dann definiert die Ungleichung das Innere der Sphäre, also die Vollkugel mit dem Ursprung Radius \sqrt3. Nun muss die Vollkugel her, an die Tafel. So sieht sie aus: x, y, z. Dann schauen wir mal, was es mit der Ungleichung, also diese Ungleichungen sind sehr einfach, x≥0, dann haben wir mit dem positiven Bereich der x-Achse zu tun. Das möchte ich dann am Besten markieren. Der positive Bereich der x-Achse, also hier. Dann y≤0, der negative Bereich der y-Achse hier und z≤0, negativer Bereich der z-Achse hier. Also wir haben es mit einem bestimmten Segment der Kugel zu tun. Stellt euch vor, ich zerschneide diesen Apfel in 8 Teile. Mit 2 senkrechten Querschnitten, von oben nach unten und dann mit einem waagerechten Querschnitt. Dann zerfällt der Apfel in 8 Teile, und ich nehme dann 1/8. Ich kann dieses 1/8 nicht beim Namen benennen, ich weiß nicht, wie ich das sinnvoll benennen soll, aber ich schraffiere dieses Achtel und ich hoffe das ist eindeutig. Das ist der Teil der Kugel, den ich dann mit dem Buchstaben M bezeichnet habe, das ist M. Nun sollen wir diesen Teil der Kugel in Kugelkoordinaten beschreiben. Ich fixiere einen Punkt P innerhalb der Menge M und ich erinnere euch daran, dass der Abstand zum Ursprung durch r bezeichnet wird. Der Winkel zwischen der positiven Richtung der Zeitachse und des Radiusvektors und des P werden mit θ bezeichnet, hier ist der Winkel θ. Und der Winkel φ lebt in der xy-Ebene. Ich will den Winkel φ gar nicht einzeichnen, die Zeichnung wird dann sehr unübersichtlich. Das wollen wir später machen. Um die Menge r zu beschreiben, das bedeutet, dass wir die Werte für r und θ angeben, die dann zulässig sind, sodass der Punkt P im rot markierten Bereich bleibt und jeden Punkt des rot markierten Bereich erreicht. Also die Menge M = Menge der Punkte der Struktur von r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ aus R3 und dann, es ist ein bisschen unglücklich, eigentlich soll ich hier die Eigenschaften von r θ φ schreiben, also das passt nicht alles. Damit ich mit dem Punkt P jeden Punkt des roten Bereichs erreiche, dann muss der Radius r alle Werte zwischen 0 und \sqrt3 annehmen. \sqrt3, ich erinnere euch, das war der Radius der Kugel. Damit wir alles erreichen können, muss r zwischen 0 und \sqrt3 variieren. Wenn einfach nur r Radius zwischen 0 und \sqrt3 läuft, ist es nicht genug, wir erreichen dann nicht jeden Punkt in diesem rot markierten Bereich. Dazu muss ich Winkel θ ändern. Es ist hoffentlich klar, welche Werte der Winkel θ annehmen soll. Ich will dies aber noch verdeutlichen, indem ich einen Querschnitt betrachte. Ich betrachte einen Querschnitt, ich betrachte die xz-Ebene und der rot markierte Bereich wird dann hier landen. Wir haben den positiven Abschnitt der x-Achse und den negativen Abschnitt der z-Achse zu tun. Also hier ist der rot markierte Bereich. Hier ist unser Punkt P, also imaginär, also imaginär nicht im Sinne der komplexen Zahlen. Ich meine jetzt den Laufpunkt P, nicht imaginärer Punkt, dies ist ein schlechter Ausdruck, Laufpunkt, ja, das ist besser. Und hier ist der Winkel θ. Also wir sehen, dass der Winkel θ muss mindestens π/2 sein, da liege ich waagerecht und dann höchstens π sein, dann überstreich ich das ganze rot markierte Segment. Also θ liegt zwischen π/2 und π. So, ich betone noch einmal, diese Beziehungen, diese ungleichen Kugelkoordinaten, leite ich ohne Formeln für die Kugelkoordinaten. Ich leite es, weil ich anschauliche Vorstellungen von den Kugelkoordinaten habe. Also ohne anschauliche Vorstellungen helfen keine Formeln weiter bei dieser Aufgabe. Dann Winkel θ. Vom Winkel θ wissen wir, dass er in der xy-Ebene liegt. Ich zeichne jetzt die xy-Ebene. Wenn ich dann die Kugel mit der xy-Ebene schneide, dann bekomm ich natürlich einen Vollkreis, eine Kreisscheibe nennt man das, und dann schauen wir, wo unser rot markierter Bereich liegt. Also x>0 und y< 0. Also wir sind dann hier. Nun schreibe ich den Laufpunkt P, er ist hier, und wir denken daran, dass der Winkel φ ist der Winkel zwischen der positiven Richtung der x-Achse und dem Radiusvektors des Punktes P. Habe ich gesagt und da manche von euch, also ich kann es mir, Entschuldigung für die Arroganz, also manche werden dann sagen: φ ist hier. Das ist falsch. Ich betone φ ist der Winkel, der Winkel φ wird in der positiven Richtung gerechnet, das habe ich nie ausdrücklich gesagt, aber stets gemeint, der Winkel φ wird in der positiven Richtung gerechnet und in der Mathematik in der Richtung gegen den Uhrzeiger wird bei Konventionen als positiv betrachtet. Also ich habe hier, wenn man den Winkel so misst, dann bewegt man sich im Uhrzeigersinn. Das ist nicht zulässig, bei Konventionen bewegt man sich nur gegen den Uhrzeiger. Also der Winkel φ muss man so messen. Das ist ein kleiner Umweg, aber die Konvention ist Konvention. Da habe ich meine Markierung irgendwie beschädigt. Wir sehen, dass der Winkel φ darf mindestens 3π/2 sein, dann bin ich senkrecht. Und um jeden Punkt des rot markierten Bereiches zu erreichen, muss ich mich bewegen zwischen 3π/2 und 2π. Das ist der 4. Quadrant der xy-Ebene. Also der Winkel φ bewegt sich zwischen 3π/2 und 2π. So beschreibt sich dann das Kugelsegment M. Ich betone, man macht es anschaulich und ohne Formel. Das war's.

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3 Kommentare
  1. Default

    Hallo Ice World! Dass der Winkel \theta ab der z-Achse gezählt wird, ist im Theorie-Video zu Kugelkoordinaten vereinbart worden :-)
    Gruß Sergej.

    Von Sergej Schidlowski, vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    Man hätte ruhig dazu sagen können, dass bei θ ab der z-Achse gezählt wird.

    Von Ice World, vor mehr als 2 Jahren
  3. Default

    Insgesamt gut vorgetragen mit zeichnerischem Talent bis auf den 2.Teil, der das räumliche Vorstellungsvermögen schon ganz schön strapaziert

    Von Sperling Ploen, vor mehr als 3 Jahren