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Transkript Aufgabe 9: Darstellende Matrix und Basiswechsel

Hallo, ich bin Sergej. In dieser Aufgabe berechnen wir mit verschiedenen Methoden die darstellenden Matrizen einer linearen Abbildung. Der besondere Augenmerk gilt dabei der Berechnung der darstellenden Matrix mithilfe der Transformationsmatrix beim Basiswechsel. Nun, alles der Reihe nach: Wir arbeiten im Raum der Polynome vom Grad höchstens 2 mit reellen Koeffizienten. Dort sind zwei Basen gegeben, die Basis P und die Basis Q, bestehend aus jeweils 3 Polynomen: P1, P2, P3 und Q1, Q2, Q3. Wir betrachten die lineare Abbildung L, die durch die Ableitung gegeben ist, die Ableitung, wie man sie in der Analysis hat. Jedes Polynom lässt sich bekanntlich als eine Funktion auffassen, und die lineare Abbildung L ordnet jedem Punkt P seine Ableitung P' zu. Für diese lineare Abbildung L wollen wir die darstellende Matrix berechnen, einmal bezüglich der Basis P und einmal bezüglich der Basis Q. Die Basis P ist sehr einfach und die lineare Abbildung L ist auch ziemlich übersichtlich, deswegen lässt sich die darstellende Matrix von L bezüglich der Basis P sehr einfach berechnen, durch bloßes Hinschauen. Die Basis Q ist etwas komplizierter, verwickelter, deswegen ist die Berechnung der darstellenden Matrix bezüglich der Basis Q aufwendiger. Wir berechnen die darstellende Matrix bezüglich der Basis Q mit zwei Methoden. Einmal mithilfe der Koordinatenabbildung bezüglich der Basis Q, und zum anderen aus der darstellenden Matrix bezüglich der Basis P mithilfe der Transformationsmatrix beim Basiswechsel von P nach Q. Die Berechnung der darstellenden Matrix mithilfe der Transformationsmatrix, das wird der Höhepunkt dieser Aufgabe sein, der Schwerpunkt dieser Aufgabe sein, deswegen heißt die Aufgabe auch 'darstellende Matrix und Basiswechsel'. So, das alles haben wir vor. Die Berechnung der darstellenden Matrix bezüglich der Basis P ist ganz einfach. Sie erfolgt direkt nach der Definition der darstellenden Matrix. Falls euch die Definition der darstellenden Matrix noch nicht geläufig sein sollte, schlagt bitte nach im entsprechenden Theorievideo, das Video heißt buchstäblich so, 'die darstellende Matrix einer linearen Abbildung'. Gut, nach Definition sollen wir die Elemente der Basis, P1, P2, P3, in die lineare Abbildung einsetzen, die Elemente L(P1), L(P2), L(P3) berechnen und dann diese nach der Basis P entwickeln. Die Entwicklungskoeffizienten ordnen wir in einer Matrix an, und das ist schon die darstellende Matrix. Gut, das erste Polynom P1 ist konstant, das ist 1. Die Ableitung von 1 ist 0, also das ist das Element L(P1). Das Polynom P2 ist =x, Ableitung von x nach x ist 1, also L(P2)=1. Das dritte Polynom ist x2, Ableitung von x2 ist 2x, also ist L(P3)=2x. Das sind die Elemente L(P1), L(P2), L(P3), nun entwickeln wir sie in der Basis P. 0 entwickelt in der Basis P, das ist ja ganz einfach, also alle Entwicklungskoeffizienten sind 0. Dann: Das Polynom P1 ist = konstant 1, und L(P2)=1, das ist einfach nur das Polynom P1. Wir haben 1× das Polynom P1 und sonst nichts. 0×P2, 0×P3. Das Polynom P2 lautet x und hier unten haben wir 2x. Wir haben hier 2× das Polynom P2, und sonst nichts. P1 ist nicht dabei, P3 ist nicht dabei. Und die Basisentwicklung ist fertig, wir sehen, die Basis P ist besonders einfach, deswegen geht das alles so schnell. Nun können wir die darstellende Matrix der Abbildung L bezüglich der Basis P aufstellen. Dazu lesen wir einfach nur die Entwicklungskoeffizienten ab. Die erste Spalte hier lautet 0,1,0, die Spalte sozusagen im gleichen System. So, und wenn man weiter so macht, dann ist das falsch. Bitte begeht nicht diesen Fehler, das ist falsch. Die Koeffizienten, die in diesem Gleichungssystem untereinander stehen, gehen zeilenweise in die darstellende Matrix ein, bitte merkt euch das. Also 0,1,0, hier untereinander, stehen in der Matrix nebeneinander. Das kann man auch anders auffassen, die Entwicklungskoeffizienten von L(P1) landen in der ersten Spalte. Auf jeden Fall, beim Übergang vom gleichen System zur Matrix werden Zeilen und Spalten vertauscht. Ja, und so weiter. Also 0,1,0, das ist die 1. Zeile, dann 0,0,2, das ist die 2. Zeile, und 0,0,0, das ist die 3. Zeile. Und schon sind wir fertig mit dem Aufgabenteil 1, das ist die darstellende Matrix der Abbildung L vom Ableitungsoperator bezüglich der Basis P. Die Berechnung der darstellenden Matrix bezüglich der Basis Q erfolgt im Grunde genommen genau so wie bezüglich der Basis P. Das heißt, wir sollen die Elemente der Basis, in diesem Fall die Polynome q1, q2, q3, in die lineare Abbildung L einsetzen, die Werte L(q1), L(q2), L(q3) berechnen und sie in der Basis Q entwickeln. Dann nehmen wir die Entwicklungskoeffizienten und stellen sie in einer Matrix zusammen, das wird dann die darstellende Matrix sein. Also genau so wie auf der vorangegangenen Tafel, aber: Die Basis Q ist komplizierter als die Basis P, die Rechnungen werden aufwendiger sein, und damit wir bei den Rechnungen nicht durcheinander kommen, ist es sinnvoll, alles in 3 Schritte zu unterteilen. Im Schritt 1 berechnen wir die Koordinatenabbildung bezüglich der Basis Q. Im Schritt 2, wie gesagt, berechnen wir die Werte der linearen Abbildung L auf den Elementen der Basis, L(q1), L(q2), L(q3). Und im 3. Schritt setzen wir die Werte L(q1) bis L(q3) in die Koordinatenabbildung KQ ein. Es entstehen dadurch 3 Spaltenvektoren, und diese 3 Spaltenvektoren stellen wir zu einer Matrix zusammen, und das wird schon die gesuchte darstellende Matrix bezüglich der Basis Q sein. Das ist der Plan, nach dem wir jetzt rechnen werden. Im 1. Schritt von unserem Rechenschema soll die Koordinatenabbildung bezüglich der Basis Q bestimmt werden, und das ist eine routinierte Rechnung. Ich empfehle euch, führt diese Rechnung alleine durch. Wenn ihr richtig rechnet, werdet ihr diese Formel bekommen, die Koordinatenabbildung bezüglich der Basis Q hat diese explizite Formel. Solltet ihr irgendwelche Probleme dabei haben, dann gibt es auf dieser Seite ein Video, die Aufgabe 'Koordinatenabbildung im Raum der Polynome'. Dort ist diese Rechnung ausführlich in allen Einzelheiten durchgeführt; schlagt bei Bedarf nach. Wie auch immer ihr das tut, entweder selbst berechnen oder im Video nachschlagen, wir werden jetzt mit dieser Formel weiter rechnen. Jetzt berechnen wir die Werte der linearen Abbildung L auf den Elementen der Basis. Wir erinnern uns daran, dass die lineare Abbildung L durch die Ableitung der Polynome wirkt, und die Elemente der Basis, q1, q2, q3, die Polynome, sind auch gegeben, hier sind sie. Wir müssen sie also ableiten. L(q1)=(q1)', und die Ableitung von x2+x+1 l nach x lautet 2x+1. Dann sollen wir q2 ableiten, x2+x abgeleitet nach x gibt 2x+1. Wir sehen, die Werte der linearen Abbildung L auf den Polynomen q1 und q2 sind gleich wegen dieser Konstante, die Ableitung der Konstante 1 ist 0. Dann: q3 abgeleitet, x2+1 abgeleitet, macht 2x. Gut, dann als Nächstes, in unserem Schritt 3 von unserem Rechenschema, sollen wir diese Werte, L(q1), L(q2), L(q3), in die Koordinatenabbildung einsetzen. Das tun wir jetzt. Die Koordinatenabbildung KQ bekommt jetzt den Wert L(q1). Und an dieser Stelle, um die Notation nicht zu überfrachten, schreibe ich jetzt hier nicht q(x), sondern ich lasse diese Abhängigkeit weg - es ist klar, dass q1 von x abhängig ist, wir wollen die Notation möglichst übersichtlich halten, und deswegen notieren wir das alles so. Übrigens, L(q1)=L(q2), und deswegen ist die Koordinatenabbildung auf diesen Elementen auch die gleiche, hat den gleichen Wert. Also die Koordinatenabbildung von L(q1) und die Koordinatenabbildung von L(q2) sind dieselben. Nun setzen wir die Polynome ein. L(q1) bzw. L(q2), das ist 2x+1. Nun benutzen wir die Formel für die Koordinatenabbildung, die wir aus dem 1. Schritt haben. Hier, beim Polynom 2x+1, ist der Term mit Quadrat abwesend, also der Parameter a ist =0 im Sinne dieser Formel. Der Koeffizient bei x ist 2, also b ist =2. Und der freie Koeffizient c ist =1. Das setzen wir ein in diese Formel hier und bekommen folgenden Koordinatenvektor: a=0, b=2, c=1, also 2+1=3. Dann: 0-1=-1 und 0-2=-2. Dieselbe Rechnung führen wir durch für das Element L(q3), wir setzen das in die Koordinatenabbildung ein. KQ(L(q3))=KQ(2x). Jetzt identifizieren wir die Parameter a, b und c im Kontext dieser Rechnung. x2 ist nicht präsent, also ist a=0. Bei x haben wir den Koeffizienten 2, also b=2. Und der freie Koeffizient ist auch nicht präsent, also der freie Koeffizient c=0. Das setzen wir in die Formel für die Koordinatenabbildung ein und bekommen Folgendes: Also a und c =0 und es zählt nur b, und b=2, also im 1. Eintrag haben wir einfach nur b, das ist 2, im 2. Eintrag haben wir 0 und im 3. Eintrag haben wir -b, also -2. Die Koordinaten der Werte der Basiselemente sind berechnet; nun sollen wir diese Spalten einfach nur zu einer Matrix zusammenstellen, und das wird schon unsere darstellende Matrix sein. Die ersten 2 Spalten sind hier, KQ(L(q1) und KQ(L(q2), das sind die gleichen Spalten, 3,-1,-2, und KQ(L(q3), das ist die 3. Spalte: 2, 0, -2. So sieht die darstellende Matrix vom Ableitungsoperator L bezüglich der Basis Q aus. Das war der Aufgabenteil 2a. Im Aufgabenteil 2b werden wir dieselbe Matrix ausrechnen, bloß mit einer anderen Methode, in der wir die Information über den Basiswechsel von der Basis P zur Basis Q nutzen. Der Basiswechsel in einem ähnlichdimensionalen Vektorraum wird bekanntlich durch die Transformationsmatrizen beschrieben, und für die kommende Rechnung brauchen wir die Transformationsmatrizen im Bezug auf die Basis P und Q. Ich empfehle euch, die Transformationsmatrizen alleine auszurechnen, die Ergebnisse sind hier. Das ist die Transformationsmatrix beim Basiswechsel von P zu Q, und das ist die Matrix für den Basiswechsel in die entgegengesetzte Richtung von Q zu P. So sehen die Matrizen aus, und übrigens: Die 2. Transformationsmatrix sieht man sofort, ohne jede Rechnung, weil ja die Basis P so einfach ist. Wenn man einfach nur die Polynome q1, q2, q3 ansieht, dann kann man diese Matrix sofort hinschreiben. So, das muss man können; wenn ihr Schwierigkeiten damit habt, dann schaut euch ein Video auf dieser Seite an, das Video heißt 'Basiswechsel im Raum der Polynome'. Dort werden die beiden Matrizen sehr ausführlich für diese beiden Basen P und Q ausgerechnet. Wir haben jetzt also die darstellende Matrix der linearen Abbildung L bezüglich der Basis P, hier ist sie, und die beiden Transformationsmatrizen, die zu den Basen P und Q gehören, hier sind sie. Wir suchen die darstellende Matrix der linearen Abbildung L bezüglich der Basis Q. Nun sollen wir eine richtige Formel aufstellen, die die gesuchte Matrix durch die bekannten Matrizen ausdrückt, und damit beschäftigen wir uns in den nächsten paar Minuten. Alle beteiligten Matrizen sind 3x3-Matrizen, deswegen lassen sie sich mit Abbildungen von R3 nach R3 identifizieren. Also, die darstellende Matrix LP ist eine Abbildung von R3 nach R3. Und was tut sie denn? Das hier, dieses R3, das ist der Koordinatenraum bezüglich der Basis P; hier sitzen Koordinaten bezüglich der Basis P. Und die darstellende Matrix LP bildet die Koordinaten bezüglich der Basis P auf die Koordinaten bezüglich der Basis P in der Art und Weise, die die lineare Abbildung L beschreibt. Dasselbe tut die darstellende Matrix LQ, sie bildet die Koordinaten bezüglich der Basis Q auf die Koordinaten bezüglich der Basis Q in der Art und Weise, die die Abbildung L beschreibt. O.k., hier oben sitzen die Koordinaten bezüglich der Basis P, hier unten sitzen die Koordinaten bezüglich der Basis Q, und die Koordinaten werden wiederum aufeinander mithilfe der Transformationsmatrix abgebildet. Oben ist P, unten ist Q, und von oben nach unten wirkt die Transformationmatrix SPQ. Auf der rechten Seite erfolgt dasselbe, von oben nach unten wirkt die Matrix SPQ. Außerdem weiß man, dass die inverse Matrix oder inverse Abbildung zu SPQ, die entspricht dann dem Pfeil in die entgegengesetzte Richtung. Das ist SPQ invers. Aus der Theorie ist bekannt, dass dieses Diagramm von Vektorräumen und linearen Abbildungen kommutativ ist, und das nutzen wir zur Aufstellung der richtigen Formel. Für die Abbildung LQ ist der Pfeil hier unten zuständig, der geht von der Station hier links unten nach rechts unten, von diesem R3 zu diesem R3. Und die beiden Stationen lassen sich durch einen anderen Weg verbinden. Wir können hier hochgehen, links, dann oben von links nach rechts gehen, dann hier nach rechts unten. Ja, und weil das Diagramm kommutativ ist, sollen die Ergebnisse übereinstimmen. Was bedeutet das konkret? Der Weg hier hoch auf der linken Seite, das ist die Abbildung mit der Matrix SPQ invers. Der Weg hier oben nach rechts, das ist die Wirkung oder Abbildung mit der Matrix LP. Der Weg nach hier rechts unten, das ist die Abbildung oder Wirkung mit der Matrix SPQ. Und weil dieses Diagramm kommutativ ist, muss diese Verknüpfung gleichbedeutend mit der Matrix LQ sein. Also, aufgrund der Kommutativität des Diagramms besteht hier die Gleichheit. Außerdem weiß man, dass die Matrix SPQ invers = der Matrix SQP ist, und auf diese Weise haben wir uns die nötigen Formeln zusammengestellt. SPQ ist bekannt, LP ist bekannt, SPQ invers, das ist SQP, das ist auch bekannt. Nun, wenn wir die drei Matrizen ausmultiplizieren, dann bekommen wir die gesuchte Matrix LQ. So, die richtige Formel steht da. Weil die Matrixmultiplikation eine routinierte Rechnung ist, tun wir das im beschleunigten Verfahren. Ja, wir sehen: Die Matrixmultiplikation hat gar nicht so lang gedauert, weil die Matrix LP sehr viele Nullen drin hat. Gut, hier ist das Ergebnis, das ist die gesuchte darstellende Matrix der linearen Abbildung L bezüglich der Basis Q, und natürlich haben wir hier dieselben Zahlen wie bei dem Aufgabenteil 2a. Na klar, es handelt sich um dieselbe Matrix, bloß haben wir sie hier mit einer anderen Methode berechnet. Insgesamt haben wir in dieser Aufgabe drei wesentliche Methoden zur Berechnung der darstellenden Matrix gesehen. Im 1. Aufgabenteil haben wir die darstellende Matrix der Abbildung L bezüglich einer einfachen Basis berechnet, denn wenn es einfach ist, dann sieht man sofort die zugehörigen Basisentwicklungen und da hat man keinen großen Rechenaufwand. Im Aufgabenteil 2a hatten wir die Situation gehabt, wo die Basis etwas verwickelter ist, die Basis Q, und da gab es ein Rechenverfahren mit der Koordinatenabbildung, um die darstellende Matrix zu gewinnen. Und 3., Aufgabenteil 2b: Wir haben ja gesehen, wie man die darstellende Matrix bezüglich der einen Basis gewinnen kann, indem man schon die darstellende Matrix bezüglich einer anderen Basis hat, zum einen, und zum anderen die Information zum Basiswechsel, gegeben durch die Transformationsmatrizen. Also alles in allem nach dieser Formel. Ich danke euch für eure Aufmerksamkeit!

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