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Transkript Aufgabe 6: Kern und Bild einer Matrix

Hallo, ich bin Sergej. In dieser Aufgabe ist eine Matrix gegeben. Sie heißt A und hat diese Besetzungsstruktur. Wir werden ausführlich ihren Kern und ihr Bild diskutieren. Wir werden alles machen, was sich überhaupt mit diesen Begriffen machen lässt. Genauer: Wir bestimmen explizit das Bild der Matrix A, das ist bekanntlich ein Unterraum. In diesem Unterraum geben wir explizit eine Basis an und berechnen seine Dimension. Dasselbe machen wir in Bezug auf den Kern der Matrix A. Wir bestimmen den Kern explizit, wir geben dort eine Basis an und berechnen die Dimension des Kernes. Das ist der eigentliche Teil der Aufgabe. Vorbereitend dazu betrachten wir aber die folgende Fragestellung: Hier sind 4 Vektoren vorgegeben. y, z, v und w. Wir werden entscheiden, welche dieser Vektoren zum Kern und welche zum Bild der Matrix A gehören. Diese vorbereitende Fragestellung wird uns langsam aber sicher zum eigentlichen Teil der Aufgabe führen. Zunächst erinnern wir uns an die Definitionen von Kern und Bild. Ein Vektor x ist genau dann im Kern der Matrix A enthalten, wenn das Matrixvektorprodukt A × x gleich dem Nullvektor ist. Dabei muss man den Vektor x als Spalte von rechts an die Matrix A heranmultiplizieren. Ein Vektor b ist genau dann ein Element des Bildes der Matrix A, wenn es einen anderen Vektor gibt, sagen wir mal u, sodass das Matrixvektorprodukt A × u gleich dem Vektor b ist.Also damit ein Vektor x im Kern der Matrix liegt, muss man ihn sinnvollerweise mit der Matrix A multiplizieren können. Und hier ist unsere Matrix A. Lass uns mal anschauen, mit welchen Vektoren sie sich multiplizieren lässt. Damit ich die Matrix A mit einem Vektor mit den Komponenten x1, x2, usw. multiplizieren kann, muss der Vektor genauso viele Komponenten haben, wie es Spalten in der Matrix gibt. Nur unter diesen Umständen ist die Matrix-Vektor-Multiplikation sinnvoll. Wenn ich die Multiplikation ausgeführt habe, kommt welcher Vektor raus? Genauer will ich fragen: Wie viele Komponenten wird dieser Vektor haben? Der Vektor, der da herauskommt, wird so viele Komponenten haben, wie es Zeilen in der Matrix gibt. Das sind einfach nur die Regeln der Matrix-Vektor-Multiplikation. Also, damit ein Vektor im Kern der Matrix liegen kann, muss er so viele Komponenten haben, wie es Spalten in der Matrix gibt. Damit ein Vektor im Bild der Matrix liegen kann, muss er so viele Komponenten haben, wie es Zeilen in der Matrix gibt. Also bei der Matrix A haben wir die folgende Situation: Sie hat 4 Spalten, deswegen hat jedes Element des Kernes 4 Komponenten. Der Kern ist eine Teilmenge von R4. Die Matrix A hat 3 Zeilen, deswegen hat jedes Element des Bildes 3 Komponenten. Das Bild ist eine Teilmenge, sogar ein Unterraum von R3. Das sind also allgemeine Gegebenheiten zu Kern und Bild. Nun schauen wir uns die 4 Vektoren an, die von der Aufgabenstellung her im ersten Teil gegeben sind. Die Vektoren y und z haben jeweils 4 Komponenten, deswegen kommen nur sie aufgrund dieser Überlegungen als Elemente des Kerns infrage. Die Elemente v und w scheiden aus, die haben zu wenige Komponenten. Und umgekehrt, nur die Vektoren v und w haben jeweils 3 Komponenten, deswegen kommen nur sie als Elemente des Bildes infrage. Nun haben wir die Suche sozusagen lokalisiert. Jetzt werden wir entscheiden, welcher von den Vektoren y und z tatsächlich im Kern liegt und welcher von den  Vektoren v und w tatsächlich im Bild liegt. Um nachzuprüfen, ob der Vektor y und der Vektor z im Kern der Matrix A liegen, müssen wir die unmittelbare Matrix-Vektor-Multiplikation mit dem jeweiligen Vektor ausführen. Kommt als Ergebnis der Nullvektor heraus, so wird der entsprechende Vektor im Kern der Matrix A liegen. Und das machen wir jetzt ganz schnell. Wir haben unmittelbar nachgerechnet, dass A × y gleich dem Nullvektor ist, also liegt der Vektor y per Definition im Kern der Matrix A. y liegt im Kern von A. Das Produkt A × z ist aber nicht gleich dem Nullvektor und deswegen ist der Vektor z nicht im Kern der Matrix A enthalten. z liegt nicht im Kern. Und das ist unser Ergebnis in Bezug auf die Vektoren y und z. Nun möchten wir klären, ob die Vektoren v und w im Bild der Matrix A liegen. Wir haben dafür bereits ein Kriterium besprochen. Danach liegt ein Vektor b im Bild der Matrix A genau dann, wenn es einen anderen Vektor gibt, sagen wir diesmal x, sodass das Matrix-Vektor-Produkt A × x gleich dem Vektor b ist. Diese Gleichung A × x = b lässt sich als ein lineares Gleichungssystem interpretieren mit der Koeffizientenmatrix A und dem und der rechten Seite b. Es ist also der Vektor b genau dann im Bild der Matrix A enthalten, wenn dieses lineare Gleichungssystem lösbar ist. Und für die Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen haben wir den Algorithmus von Gauß und das dort enthaltene Rangkriterium. Nach dem Rangkriterium ist dieses System genau dann lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix  mit dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix übereinstimmt. Und diese Tatsache nutzen wir in Bezug auf die Vektoren von v und w. Wir müssen also die 3 Zeilen berechnen, den Rang der Matrix A, den Rang der Matrix A | v und den Rang der Matrix A | w. Wenn der Rang A mit der Matrix A | v übereinstimmt, so liegt der Vektor v im Bild der Matrix A. Und Entsprechendes gilt in Bezug auf den Vektor w. Um die drei Zeilen zu berechnen, verfahren wir folgendermaßen: Wir schreiben die Matrix A auf und nach dem Strich stellen wir stellen wir die Komponenten der Vektoren v und w zusammen. Wir erhalten eine größere Matrix und diese Matrix bringen wir auf die Zeilenstufenform. An der Zeilenstufenform lassen sich die drei Ränge ablesen. Für die 2 Vektoren v und w machen wir also keine 2 Rechnungen, sondern nur die eine und sparen dabei Zeit.

Durch elementare Zeilenumformungen haben wir die Zeilenstufenform unserer Matrix berechnet. Hier ist sie. Wir interessieren uns für die Pivotelemente. Hier ist das eine Pivotelement, dann kommt das zweite Pivotelement und das dritte Pivotelement ist hier. Nun berechnen wir die Ränge. Wir brauchen den Rang der Matrix A, dazu decken wir alles, was nach dem Strich kommt, zu und zählen die Pivotelemente. Es gibt offenbar 2 Stück, also der Rang der Matrix A ist gleich 2. Dann geben wir eine Spalte frei. Das ist die Zeilenstufenform der Matrix A | v. Es kommen keine neuen Pivotelemente hinzu, also hat die Matrix A | v ebenfalls den Rang 2. Nun streichen wir alles, was dem Vektor v entspricht, und es ergibt sich die Zeilenstufenform der Matrix A | w. Die enthält 3 Pivotelemente, also ist der Rang dieser Matrix ist 3. Wir vergleichen die Ränge miteinander. Rang A = Rang A || v, hier haben wir Gleichheit. Rang A < Rang A | w, hier haben wir Ungleichheit. Und für diese Verhältnisse haben wir uns ja interessiert. Diese Zahlen brauchen wir nicht mehr. Nach der Äquivalenz, die auf einer der vorangegangenen Tafeln stand, folgt nun aus der Gleichheit der Ränge, dass der Vektor v im Bild der Matrix A liegt. Also der Vektor v ist im Bild enthalten von A. Im Bezug auf den Vektor w haben wir die Ungleichheit, also liegt der Vektor w nicht im Bild der Matrix A. w liegt nicht im Bild der Matrix A. Und das ist unser Ergebnis im Bezug auf die Vektoren v und w. Auch diese Frage haben wir jetzt geklärt. Im zweiten Teil der Aufgabe sollen wir ein möglichst umfassendes Bild der Matrix A beschreiben. Die Vorgehensweise in diesem Aufgabenteil wird sich aus der vorbereitenden Rechnung erschließen, die bereits an der Tafel steht. Lass uns diese Rechnung besprechen. Die Spalten der Matrix A bezeichnen wir hier mit den Buchstaben a1, a2, a3, a4. Das sind also Spaltenvektoren. Lasst uns das Bild der Matrix A durch diese Spaltenvektoren ausdrücken. Zuerst schreiben wir die Definition des Bildes auf. Das Bild besteht per Definition aus den Produkten Matrix A × Vektor x, wobei Vektor x beliebig wählbar ist, frei wählbar im Raum R4. Dieses Produkt wollen wir in der nächsten Zeile etwas ausführlicher aufschreiben. Matrix A besteht ja aus ihren Spalten, das haben wir hier aufgeschrieben und der Vektor x aus dem Raum R4, das ist nichts anderes als 4 reelle Zahlen, die wiederum frei wählbar sind. Die Regel der Matrix-Vektor-Multiplikation ist so, dass man die Zeile mit der Spalte multiplizieren soll. Wenn wir die Multiplikation ausgeführt haben, bekommen wir die Linearkombination von den Spalten a1, a2, a3, a4, wobei die Koeffizienten dieser Linearkombination beliebig wählbare reelle Zahlen sind, also frei wählbare reelle Zahlen. Und dieser etwas längliche Ausdruck in der letzten Zeile kommt in der linearen Algebra sehr oft vor und hat auch einen prägnanten Namen. Das ist die lineare Hülle der Vektoren a1, a2, a3, a4. Lasst uns das aufschreiben: Also wir haben hier den Span der Spaltenvektoren der Matrix A: a1, a2, a3, a4. Und das ist eine sehr wichtige Beziehung. Das Bild der Matrix A ist eine lineare Hülle ihrer Spalten. Das soll man sich merken. Nun, von linearen Hüllen wissen wir Folgendes: Es tragen nur linear unabhängige Elemente zur linearen Hülle bei. Und das ist einerseits. Andererseits haben wir gerade den Rang der Matrix A errechnet. Der Rang der Matrix = 2. Das heißt, die Matrix A besitzt genau 2 linear unabhängige Spalten. Es tragen also wesentlich nur 2 Spalten zu dieser linearen Hülle bei. Unsere Aufgabe ist nun, die 2 linear unabhängigen Spalten zu bestimmen und alle übrigen wegzuwischen. Dadurch verändert sich der Span nicht. Und das Ergebnis wird sein, das Bild der Matrix A = der linearen Hülle von 2 unabhängigen Spalten. Es bleibt nur noch die 2 unabhängigen Spalten herauszusuchen. Um linear unabhängige Spalten der Matrix A zu bestimmen, müssen wir sie auf die Zeilenstufenform bringen. Dies haben wir bereits im vorbereitenden Teil der Aufgabe getan. Hier ist das Ergebnis. Nun nutzen wir die Früchte unserer Arbeit.  Es ist gar nicht so schwer, die linear unabhängigen Spalten zu bestimmen. Wir schauen auf die Zeilenstufenform und merken uns die Spalten, wo die Pivotelemente stehen. Hier sind sie markiert. Die entsprechenden Spalten der Matrix A sind dann garantiert unabhängig. Das ergibt sich aus dem Algorithmus von Gauß. Nun haben wir alles, um unser Ergebnis in Bezug auf das Bild der Matrix A aufzuschreiben. Also, daraus folgt: Das Bild der Matrix A ist die lineare Hülle ihrer linear unabhängiger Spalten, also Span von, wir haben Pivotelemente in den ersten 2 Spalten, also nehmen wir getrost die Spalte 1, 0, 3 und die Spalte 3, 1, 7. Alle anderen Spalten sind überflüssig, weil sie linear abhängig von diesen ersten 2 sind. Ich bemerke, dass diese 2 Spalten nicht die einzig möglichen sind. Man sieht mit bloßem Auge, dass die erste Spalte und die vierte Spalte ebenso linear unabhängig sind. Auch die erste Spalte und die dritte Spalte sind auch linear unabhängig. Also der Algorithmus von Gauß, die Zeilenstufenform, liefert uns nicht alle mögliche Kombinationen. Aber die Kombination, die uns der Algorithmus von Gauß liefert, ist zweifelsohne richtig und die nehmen wir. Die ist aber nicht die einzig Mögliche, das ist manchmal nützlich zu wissen. Das Bild der Matrix A haben wir bestimmt. Wir sehen, das Bild ist ein Unterraum, der von 2 linear unabhängigen Vektoren aufgespannt wird, also hat dieser Unterraum die Dimension 2, weil wir hier 2 Vektoren unter Span haben. Das beantwortet unsere nächste Frage: Dimension des Bildes = 2. Dann sollen wir noch eine Basis des Bildes angeben, die steht hier aber schon unter dem Span. Also die Vektoren, die unter dem Span stehen, bilden eine Basis. Die Vektoren, diese ersten 2 Spalten, 1, 0, 3 und 3, 1, 7 bilden eine Basis des Bildes. Das ist nicht die  einzig mögliche Wahl, denn wir können meinetwegen wie bereits besprochen auch die erste und die vierte Spalte nehmen, das wird auch eine Basis des Bildes sein. Auf diese Weise sind alle Fragen in Bezug auf das Bild beantwortet. Wir wenden uns der Berechnung des Kernes zu. Wir erinnern uns wieder an die Definition des Kerns. Ein Vektor x liegt genau dann im Kern der Matrix A, wenn er das homogene Gleichungssystem mit der Matrix A löst. Ein Gleichungssystem heißt übrigens homogen, wenn die rechte Seite gleich 0 ist und das ist hier der Fall. Um den Kern zu bestimmen, sollen wir also dieses Gleichungssystem lösen und wie geht das? Natürlich mit dem Algorithmus von Gauß. Die entsprechende Rechnung haben wir schon für die Aufgabe in den vorbereitenden Teilen angefangen. Wir haben die Matrix A auf die Zeilenstufenform gebracht. Hier ist das Ergebnis. Wir haben 2 Pivotelemente hier herausgebildet, nun sollen wir diese Rechnung fortsetzen. Oberhalb vom zweiten Pivotelement sollen wir die 3 eliminieren und dann die allgemeine Lösung des homogenen Gleichungssystems aufschreiben. Wir haben gezeigt, dass eine beliebige Linearkombination von diesen beiden Vektoren die homogene Gleichung mit der Matrix A löst. Damit ist der Kern der Matrix A vollständig beschrieben. Wir brauchen nur noch zusammenzufassen. Aus den obigen Überlegungen folgt, dass der Kern der Matrix A von den beiden Vektoren aufgespannt wird. Das ist die lineare Hülle der beiden Vektoren. Diese Vektoren sind übrigens auch linear unabhängig, das sieht man sofort. das erkennt man an der vorteilhaften Abfolge der Elemente. Wir haben hier 1, 0 und 0, 1 . Diese Kombination gewährleistet die lineare Unabhängigkeit. Da der Kern von 2 linear unabhängigen Vektoren aufgespannt wird, ist seine Dimension gleich 2 und die beiden Vektoren dienen auch als eine Basis des Kernes der Matrix A. Somit sind alle Fragen innerhalb dieser Aufgabe beantwortet. Wir haben den Kern und das Bild der Matrix A umfassend beschrieben und liebe Leute, geht nicht in die Klausur, ohne diese Rechentechnik zu beherrschen. Ich danke Euch für die Aufmerksamkeit. Tschüss!

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1 Kommentar
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    Das ist echt super erklärt!! Vielen Dank!

    Von Z Bettina, vor etwa 2 Jahren