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Transkript Aufgabe 12: Eine direkte Zerlegung des Vektorraumes der Funktionen

Hallo, ich bin Sergej. Im vorangegangenen Video haben wir gelernt, dass die Menge der graden Funktionen und die Menge der ungeraden Funktionen Unterräume im Vektorraum der Funktionen sind. Im Vektorraum der Abbildungen von r nach r. In diesem Video werden wir lernen, dass man den Vektorraum der Funktionen in einem gewissen Sinn vollständig durch die Unterräume G und U beschreiben kann. Und zwar in folgendem Sinn. Zu jeder realwertigen Funktion gibt es eine eindeutig bestimmte grade Funktion klein-g und eindeutig bestimmte ungerade Funktion klein-u, sodass die vorgegebene Funktion f in die Summe von g und u zerfällt. Diese Eigenschaft notiert man oft mithilfe der Formel, die hier im roten Rahmen untergebracht ist, das liest sich so: Der Vektorraum der Funktionen zerlegt sich direkt in die Summe von Unterräume g und u. Man sagt, das ist die direkte Zerlegung oder die direkte Summe. Am Ende von diesem Video werde ich diesen Begriff direkte Summe oder direkte Zerlegung gründlich erläutern, ich werde euch erklären, was dieses komische Zeichen bedeutet, also + mit einem Kringel und bringe Beispiele dazu. Bevor wir uns diesen spannenden Fragen zuwenden, wollen wir vorab eine kleine technische Frage klären, nämlich wie sieht die Schnittmenge g geschnitten u aus? Aus wie vielen Elementen besteht sie? Die Frage ist ja sehr suggestiv gestellt, aus wie vielen Elementen besteht die Schnittmenge g geschnitten u? Wenn man so fragt, das heißt, es gibt ja nicht viele Elemente in dieser Menge und lasst und das hier herausfinden. Dazu nehmen wir eine beliebige Funktion f aus der Schnittmenge und einen beliebigen Punkt x. Und wir fragen uns, was lässt sich über den Wert der Funktion f an der Stelle x aussagen? Und dazu nutzen wir unsere Voraussetzungen, f ist in der Schnittmenge enthalten von g und u, das heißt, f ist insbesondere in der Menge g enthalten. Also f ist eine gerade Funktion und für sie ist diese Formel hier erfüllt. Das heißt f(x)=f(-x). Weil die Funktion f gerade ist. Nun die Funktion f ist zugleich auch ungerade, weil sie ja in der Schnittmenge g geschnitten u enthalten ist, und für sie gilt diese hier charakteristische Formel für die ungeraden Formeln: f(-x)= -f(x). Das ist so, weil die Funktion f ungerade ist. Die Funktion f ist gerade und ungerade zugleich. Nun haben wir diese Gleichung, aus dieser Gleichungskette will ich den mittleren Term entfernen und wir bekommen Folgendes: f(x)=-f(x). Damit haben wir angefangen, damit haben wir aufgehört. Als nächstes bringe ich –f(x) auf die linke Seite, und bekomme f(x)+f(x)=0. Das heißt 2f(x)=0, ja und jetzt kann ich durch 2 dividieren und bekomme: f(x)=0. Die Stelle x war beliebig, also die Funktion f hat an einer beliebigen Stelle den Wert 0. Das heißt, die Schnittmenge g geschnitten u besteht aus einer einzigen Funktion, und zwar aus der 0 Funktion. Und das notieren wir in der folgenden Form: g geschnitten u besteht einzig und alleine aus der 0 Funktion. Das ist unser Ergebnis in diesem Schritt. In einigen Minuten werden wir sehen, warum das uns bei der Erklärung der direkten Zerlegung hilft. Nun kommen wir zu der zentralen Aussage in diesem Video, ich habe sie noch einmal hier oben zusammengefasst. Zu jeder Funktion f gibt es eine gerade Funktion klein-g und eine ungerade Funktion klein-u, beide eindeutig bestimmt, sodass die Funktion f in die Summe von klein-g und klein-u zerfällt. Und wir wollen die Funktionen g und u konkret konstruieren, und hier sozusagen die Bastelanleitung: Wir nehmen eine beliebige Funktion f, fixieren eine beliebige Stelle x und tun folgende identische Umformungen. Also die Funktion f(x), also die Zahl f(x) kann man sicherlich so darstellen. Die Hälfte von f(x) + die Hälfte von f(x), ja das gilt auf jeden Fall, dann können wir zu dieser Zerlegung noch eine schlaue 0 addieren, also der Ausdruck in den blauen Klammern ist 0, ja also ich habe da 1/2f(-x) genommen und dann das wieder subtrahiert. Also insgesamt ist das 0. Nun gruppieren wir die Terme geeignet, den 1. Term fasse ich mit dem 3. Term zusammen, hier und den 2. Term fasse ich mit dem 4. Term zusammen. Dann will ich die zusammengefassten Terme besser aufschreiben, also 1/2f(x)+1/2f(-x), ich werde 1/2 ausklammern und das in dieser Form aufschreiben. Die Summe geteilt durch 2, genau dasselbe mache ich mit den restlichen Termen, 1/2 klammere ich aus, da habe ich ja eine Differenz, und die teile ich durch 2. Gut, und das ist die geeignete Zerlegung, behaupte ich mal. So, das nenne ich hier g(x) und das nenne ich hier u(x). Also als nächstes setze g(x)=f(x)+f(-x)÷2 und u(x)=f(x)-f(-x)÷2. Nach der Konstruktion, wir haben dieses Spiel so getrieben, dass die Funktion f gleich der Summe der Funktionen g und u ist, so wie es gewünscht ist. Also offenbar f=g+u, per Konstruktion. Schon ein Teil vom Gewünschten haben wir erreicht. Nun müssen wir zeigen, dass die Funktion klein-g tatsächlich gerade ist und die Funktion klein-u tatsächlich ungerade ist. Außerdem müssen wir zeigen, dass diese beiden Funktion eindeutig bestimmt sind, also dieses Ausrufezeichen hier bedeutet die eindeutige Bestimmtheit. Nun für die Funktionen g und u, die wir durch diese Formeln konstruiert haben, müssen wir nachweisen, dass g gerade ist und u ungerade ist. Und wir müssen einfach nur die charakteristischen Gleichungen für die geraden und ungeraden Funktionen nachrechnen, hier sind sie, und ich rechne das nur für eine Funktion nach, und zwar für die Funktion u. Also ich fange dann mit der linken Seite an, u(-x)= und ich will da nachrechnen, dass da am Ende –u(x) rauskommt. Ich nehme dann da die definierende Gleichung für die Funktion u und setze dort –x ein. Also dann habe ich hier an erster Stelle f(-x) und dann f(-(-x)), ich hab –x an der Stelle von x eingesetzt. Dividiert durch 2. Gut -(-x) macht +x, das notiere ich hier mit der Wischmethode und als nächstes will ich Minus vor die Klammer setzen, Minus vor die Klammer ziehen, ich hab hier –f(x)-f(-x)/2. So, alles ist unverändert, nur das Minus steht hier vorne und dann als nächstes ziehe ich das Minus hier runter. Ich schreibe hier Minus und dafür wische ich hier – oben weg, die Klammer ist dann überflüssig. Was habe ich hier stehen? Das ist genau – und wir schauen wieder auf die Definition der Funktion u, das ist –u(x). Also wir haben gezeigt, u(-x)=-u(x). Und in dieser Überlegung, die Stelle x war völlig beliebig, wir haben nichts Spezifisches über den Punkt x vorausgesetzt, also das geht an jeder Stelle x. So und das Gewünschte ist gezeigt, genauso geht das für die Funktion g, probiert es selber hier aus. Es bleibt mir noch zu zeigen, dass die Funktion g und u mit dieser Eigenschaft hier eindeutig bestimmt sind, wir beschäftigen uns mit diesem Ausrufezeichen hier. Das Ausrufezeichen steht für die Eindeutigkeit. Dazu nehmen wir an, es gibt eine gerade Funktion g~ und eine ungerade Funktion u~, die dieselbe Zerlegung gewährleisten. Wir müssen zeigen, dass die Funktion g~ mit der Funktion g übereinstimmt. Und dasselbe für die Funktion u~ und u. In anderen Worten sollen wir zeigen, dass es keine anderen Funktionen g und u gibt, mit all diesen Eigenschaften, als diejenigen, die wir schon konstruiert haben. Also wir haben schon alles hier herausgefunden, anderes gibt es nicht. Gut, dann jetzt kommen die Einzelheiten. Ich schreibe zuerst diese beiden Zerlegungen nebeneinander auf, also die Funktion g+u, die wir schon kennen, die wir gebastelt haben, das ist in der Summe =f. Und sogleich, dass es gleich g~+u~. Hypothetische andere Funktionen, die dieselben Eigenschaften haben. Jetzt wische ich den mittleren Term weg, in dieser Gleichungskette, und bekomme die Gleichung g+u=g~+u~. Als Nächstes bringe ich alle g auf die linke Seite und alle u auf die rechte Seite. Ich bekomme dann g-g~=u~-u. Und die Funktion, die jetzt auf der einen Seite steht, bezeichne ich mit einem neuen Buchstaben, ich sage, das soll die Funktion h sein. Also ich setze h=g-g~. Ja und zwangsläufig h ist dann gleich u~-u. Nun, was lässt sich über die Funktion h aussagen? h=g-g~. Also g und g~ sind beide gerade Funktionen, die Menge der geraden Funktionen ist ein Unterraum, deswegen g-g~ wird im Unterraum bleiben. Also g-g~ ist ebenfalls ein Element des Unterraumes G, es hat eine der Unterraum Eigenschaften. Dann die Funktion h ist aber zugleich, nach der Konstruktion u~-u, wiederum die Menge der ungeraden Funktion ist ein Unterraum nach der Unterraum Eigenschaft muss u~-u ebenfalls im Unterraum U bleiben. Also wir haben gefolgert, dass die Funktion h zugleich in beiden Unterräumen enthalten ist. Daraus folgt h liegt im Schnitt der beiden Unterräume. Ja und wir erinnern uns, was wir über den Schnitt schon ausgesagt hatten, wir haben nachgewiesen, dass dieser Schnitt aus genau einer Funktion besteht, aus der 0 Funktion. Also diese Menge hat genau ein Element, die 0 Funktion, also h muss die 0 Funktion sein. h=0. Nun kommen wir wieder auf unsere Konstruktion, also wir haben ja die Funktion g-g~ gehabt, das war die Funktion h, aber über die Funktion h haben wir gerade nachgewiesen, das ist gleich 0. Dasselbe machen wir mit u, also die Differenzenfunktion u~-u, das war die Funktion h, h ist aber gleich 0. Nun bringen wir die Symbole mit der Tilde auf die eine Seite und haben das Gewünschte, g~g=0, das bedeutet das g~=g, u~-u=0, das bedeutet u~=u. Und das war zu zeigen. Wir sehen, entscheidend an dieser Stelle war, dass die Schnittmenge gu aus einem einzigen Element bestand. Das war ein sehr wichtiges Argument und wichtig waren auch die Unterraum Eigenschaften für g und u. Nun, als Nächstes werden wir mit diesem Begriff direkte Summe beschäftigen. Ich erkläre euch, was dieses Zeichen bedeutet, + im Kringel, und das werden wir noch einmal auf die Menge der geraden und ungeraden Funktionen übertragen. Am besten fangen wir mit der allgemeinen Definition an. Hier haben wir einen Vektorraum V, und dort 2 Unterräume U1 und U2 und diese sollen die folgende Eigenschaft haben: Jedes Element klein-v lässt sich als die folgende Summe schreiben v=u1+u2, wobei das Element u1 aus dem Unterraum groß-U1 kommt, und das Element u2 dementsprechend aus dem Unterraum groß-U2 kommt. Außerdem soll u1 und u2 mit dieser Eigenschaft eindeutig bestimmt sein. Wenn wir das alles haben, so sagt man, dass sich der Vektorraum V in eine direkte Summe der Unterräume U1 und U2 zerlegt. Das ist die Definition. Nun ist es manchmal sinnvoll, eine andere Fassung dieser Definition zu kennen, und die will ich jetzt euch angeben. Zuerst habe ich diese Definition noch einmal hier zusammengefasst in Zeichen, also der Vektorraum V ist eine direkte Summe von V1 und V2 genau dann, wenn jedes Element V lässt sich als Summe schreiben u1 und u2, wobei u1 und u2 in entsprechenden Unterräumen enthalten sind und eindeutig bestimmt sind, das Ausrufezeichen steht für die eindeutige Bestimmtheit. Wenn ich dieses Ausrufezeichen wegwische, wenn ich die eindeutige Bestimmtheit nicht mehr fordere, dann sind die Dinge nicht mehr äquivalent. Damit es äquivalent bleibt, füge ich eine zusätzliche Forderung hinzu, und diese zusätzliche Forderung lautet: Die Unterräume U1 und U2 sollen im Durchschnitt den trivialen Unterraum ergeben, also den 0-Unterraum. Und wenn man das zusammen betrachtet, die Eigenschaft 1 und die Eigenschaft 2, dann ist es äquivalent zu der direkten Zerlegung. Und warum ist es so, haben wir zum Teil schon gesehen. Am Beispiel von geraden und ungeraden Funktionen habe ich euch gezeigt, dass diese Zerlegung eindeutig ist, wenn man voraussetzt, dass die entsprechenden Unterräume im Schnitt den trivialen Unterraum ergeben. So und das gilt auch allgemein, nicht nur für gerade und ungerade Funktionen und der Beweis läuft genau mit derselben Technik, die ich euch vorexerziert habe, wenn ihr wollt, könnt ihr das selber noch einmal ausprobieren. Wie auch immer, hier ist der Begriff und nun wollen wir uns ein paar Beispiele anschauen. Ein einfaches Beispiel für eine direkte Summe, ist die folgende direkte Zerlegung der Ebene des Vektorraumes R2. Wir nehmen 2 linear unabhängige Vektoren W1 und W2 und betrachten ihre linearen Hüllen, ja die Spans. Das sind die Geraden durch den Ursprung, natürlich sind das Unterräume des Vektorraumes R2, und ich behaupte, dass der Vektorraum R2 eine direkte Summe von diesen beiden linearen Hüllen ist. Warum ist es so? Bekanntlich bilden beliebige 2 linear unabhängige Vektoren im Vektorraum R2 eine Basis. Deswegen kann man jeden beliebigen Vektor V von R2 nach dieser Basis entwickeln. Es gibt die Koeffizienten alpha1, alpha2, sodass der Vektor V sich als Linearkombination darstellen lässt von Vektoren W1, W2 mit Koeffizienten alpha1, alpha2. So, das weiß man so aus dem Thema Basen. Nun ist es so, dass der Term alpha1W1 ein Element der linearen Hülle von W1 ist. Entsprechend alpha2W2 ist ein Element hier, der linearen Hülle von W2. Also jeder beliebige Vektor von R2 lässt sich als Summe von 2 Elementen aus diesen Unterräumen darstellen. Das ist das eine, das andere ist, dass diese Darstellung eindeutig ist, weil, warum? Weil W1, W2 eine Basis ist, weil diese Koeffizienten alpha1 und alpha2 eindeutig sind und somit auch diese Terme sind eindeutig. Insgesamt ergibt sich daraus, dass das hier eine direkte Summe ist. Noch ein Beispiel für eine direkte Zerlegung: Im dreidimensionalem Raum R3 betrachten wir eine gerade Linie durch den Ursprung und eine Ebene, ebenfalls durch den Ursprung mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass die Linie in der Ebene nicht enthalten ist. Und mit diesen Voraussetzungen behaupte ich, dass der dreidimensionale Raum R3 eine direkte Summe von L und E ist. Na warum ist es so? Anschaulich ist völlig klar, dass jeder Vektor V im Raum R3 sich aus 2 Vektoren linear kombinieren lässt, wobei der eine in der Linie enthalten ist und der andere in der Ebene liegt. Ja, ist anschaulich völlig klar. Diese lineare Kombination wird auch eindeutig sein, warum? Weil der Schnitt der Linie und der Ebene nach Voraussetzung aus einem einzigen Vektor besteht, aus dem 0-Vektor. Deswegen ist das hier eine direkte Summe. Zum Schluss kommen wir noch einmal auf die Menge der geraden bzw. auf die Menge der ungeraden Funktionen. Oben haben wir gezeigt, dass sich jede realwertige Funktion f in eine Summe von einer geraden und ungeraden Funktion zerlegen lässt, und diese Zerlegung ist eindeutig. Also ist der Vektorraum der Funktionen eine direkte Summe der Unterräume G und U. Und diese Formel wollten wir ja am Anfang des Videos verstehen. Gut, das war es, wenn ihr bis zu dieser Stelle gebracht habt, dann seit ihr sehr geduldig, ich danke euch für eure Geduld und hoffe, wir sehen uns im nächsten Video, bis bald!

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