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Transkript Aufgabe 1: Beispiele für lineare Abbildungen

Hallo, ich bin Sergej, in diesem Video befassen wir uns mit zwei Abbildungen, F und G, zwischen dem Vektorraum der reellen 2X2 Matrizen und dem Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 2, mit reellen Koeffizienten. Die Abbildungen sind durch diese Formel hier gegeben. Wir werden entscheiden, welche von den beiden Abbildungen linear ist. Dabei ist es sehr wichtig, die Definition der linearen Abbildungen zu kennen. Ich habe sie sicherheitshalber noch einmal hier an die Tafel geschrieben, in der blauen Box. Eine lineare Abbildung L, zwischen 2 Vektoren V und W, heißt linear, falls sie diese zwei Eigenschaften besitzt. Die Additivität und Homogenität. Wir haben diese 2 Eigenschaften im Video "Theorie Linearer Abbildungen, Definition und erste Eigenschaften" erläutert. Wenn wir also der Meinung sind, dass eine gegebene Abbildung linear ist, so müssen wir diese 2 Eigenschaften allgemein nachrechnen. Das heißt, für alle Vektoren v, v1, v1 und alle Zahlen λ, sollen wir diese 2 Gleichungen beweisen. Sind wir aber der Meinung, dass eine gegebene Abbildung nicht linear ist, so müssen wir keine allgemeinen Beweise führen, sondern nur 1 Beispiel angeben. Sozusagen ein Gegenbeispiel. Es reicht 1 Zahl λ und ein Vektor v zu finden, sodass zum Beispiel die Homogenitätsgleichung nicht erfüllt ist. Damit wird bewiesen sein, dass eine gegebene Gleichung nicht linear ist. Das ist alles gut und schön, bloß es ist nicht das, womit man wirklich eine solche Aufgabe anfangen muss. Zu Anfang soll man auf die Formeln schauen, durch die, die Abbildungen gegeben sind. Hier werden die Koeffizienten der 2X2 Matrix a, b, c, d, auf die Koeffizienten der Polynome abgebildet. Die Faustregel ist die Folgende: Sind die Ausdrücke in den Koeffizienten a, b, c, d, die hier rechts Vorkommen linear, so handelt es sich höchstwahrscheinlich um eine lineare Abbildung. Sind aber einige der Ausdrücke nicht linear, so hat die Abbildung schlechte Chancen. Hier habe ich demonstrativ geschrieben b+c. b+c ist ein linearer Ausdruck, also wird die Abbildung F linear sein, weil a ein linearer Ausdruck, 2c-d ebenfalls ein linearer Ausdruck ist. Also bei der Abbildung F haben wir keine Probleme. Bei der Abbildung G habe ich hier ein Produkt, bc, b×c. Ein Produkt ist kein linearer Ausdruck. Deswegen vermuten wir an dieser Stelle, indem wir die Formel anschauen, dass die Abbildung G nicht linear ist und die Abbildung F linear ist. Nachdem wir diese Vermutung angestellt haben, sollen wir zur Definition gehen, für die Abbildungen, für die wir vermuten, dass sie linear sind, müssen wir dann diese 2 Eigenschaften allgemein nachweisen. Für die Abbildungen, wo wir der Meinung sind, dass sie nicht linear sind, müssen wir Gegenbeispiele finden. Um das Gesagte zu verdeutlichen, werde ich gleich noch ein paar Beispiele für lineare Ausdrücke und für nicht lineare Ausdrücke angeben, damit wir das Augenmaß trainieren können. Hier sind noch ein paar Beispiele für lineare Ausdrücke in den Variablen a, b, c, d und nicht lineare Ausdrücke in den Variablen. Ein linearer Ausdruck hat grundsätzlich die folgende Gestalt: Man hat die Summen oder die Differenzen von den Variablen und vor jeder Variablen darf eine feste Zahl stehen. Zum Beispiel 2a-b+11c-5d, das ist ein hervorragend linearer Ausdruck. Es muss nicht vor jeder Zahl ein Koeffizient stehen. Zum Beispiel a+b+c, ist ein linearer Ausdruck. Es müssen auch nicht alle Variablen präsent sein. Zum Beispiel einfach nur b, das ist auch ein linearer Ausdruck, oder c-d ist ein linearer Ausdruck. Nicht linearer Ausdrücke sind zum Beispiel die, wo Quadrate drin vorkommen. a2 ist kein linearer Ausdruck. Wo Produkte vorkommen, ab ist kein linearer Ausdruck, ad-bc ist kein linearer Ausdruck. Wo irgendwelche Funktionen vorkommen, das sieht schon total schlecht aus. Also Wurzel vom Betrag von a, plus cosb, mit Nichten ein linearer Ausdruck. Wenn wir eine Abbildung auf Linearität beurteilen sollen, dann sollen wir vor allem daran denken. Hier bei der Abbildung F ist alles im grünen Bereich. a ist linear, b+c ist linear, 2c-d ist auch linear. Bei der Abbildung G haben wir Probleme hier an dieser Stelle, hier haben wir ein Produkt. Produkt ist nicht linear. Deswegen vermuten wir, dass die Abbildung F linear ist, und die Abbildung G nicht linear ist. Das wollen wir jetzt noch beweisen. Wir behaupten, dass die Abbildung F linear ist, um das zu beweisen, nehmen wir beliebige Matrizen X, X1 und X2, mit entsprechenden Koeffizienten und eine beliebige Zahl &labda; und müssen zeigen, dass die 2 Eigenschaften der linearen Abbildungen erfüllt sind. Die Additivität, das heißt, F(x1+x2)=F(x1)+F(x2), und die Homogenität, F(λx)=λF(x). Die beiden Gleichungen müssen wir nachrechnen. Zuerst rechnen wir die Additivität nach. Ich habe die Rechnung schon angefangen, F(X1+X2), hier setzen wir die beiden Matrizen von X1 und X2 ein, mit entsprechenden Koeffizienten, und führen die Addition der Matrizen aus. Die Matrizen werden komponentenweise addiert. Am Ende bekommen wir in Klammern die Matrix mit den Koeffizienten a1+a2, b1+b2 usw. Nun müssen wir die Summenmatrix in die Formel für die Abbildungsvorschrift einsetzen. Wir sehen, dass der Koeffizient a, in der Vorschrift vor dem x landet. In der aktuellen Situation haben wir an der Stelle des Koeffizienten a, die Summe a1+a2. Also schreiben wir das hin, a1+a2 landet vor dem x2. Dann schreiben wir +(, hier steht Summe b+c und ganz entsprechen, statt b setzten wir ein b1+b2, statt c setzen wir c1+c2 ein. Wir bekommen ((b1+b2)+(c1+c2))x. Ganz entsprechend verfahren wir bei dem ersten. +(1(c1+c2)-(d1+d2)). Am Ende wollen wir erreichen, dass hier der Ausdruck F von der Matrix X1 + F von der Matrix X2 steht. Darauf hin wollen wir arbeiten. Deswegen fassen wir alle Koeffizienten mit dem Index 1 zusammen. Also hier ist der Index 1, hier ist der Index 1, hier 1, hier 1, hier 1. Also das ist =(a1x2)+(b1+c1)x+(2c1-d1). Dasselbe tun wir mit den Koeffizienten, wo der Index 2 steht. Das ist hier a2, usw. Vielleicht fassen wir das alles in Klammern zusammen und wir haben ganz analog: ((a2x2)+(b2+c2)x+(2c2-d2))=. Jetzt schauen wir noch einmal auf die Formel für die Abbildungsvorschrift. Wenn wir hier überall den Index einsetzen bei den roten Koeffizienten, so bekommen wir F von der Matrix a1, b1, c1, d1. Genau das haben wir hier im 1. Term. Das ist F von der Matrix mit den Koeffizienten a1, b1, c1, d1. Entsprechend haben wir in der 2. Klammer absolut dasselbe, bloß mit dem Index 2. Also F von der Matrix a2, b2, c2, d2. Ja und das ist F von (X1) und der 2. Term, das ist F von groß (X2). So haben wir angefangen, so haben wir aufgehört, und diese Gleichheit war zu zeigen. Wir sind fertig mit der Additivität. Die Homogenität rechnen wir völlig analog nach. Wir müssen zeigen, dass F(λX)=λF(X) ist. Wir setzten die Matrix X ein, den Koeffizientenansatz, a, b, c, d. Dann führen wir die Multiplikation der Matrix mit der Zahl Lambda aus, es wird komponentenweise gemacht, wir haben die Matrix mit den Einträgen &labda;a, λb, λd. An dieser Stelle setzen wir diese Matrix in die Abbildungsvorschrift ein. Statt a wird λa eingesetzt, statt b wird λ b eingesetzt, usw., und sofort. Wir bekommen diesen Ausdruck hier, aus dem wir nun λ ausklammern können. Das tun wir im nächsten Schritt. Wir klammern λ aus und in Klammern bleibt genau das stehen, was wir hier oben haben. Das ist aber F von der Matrix a, b, c, d. Das schreiben wir hier an der Stelle auf und ersetzen diesen Koeffizientenansatz durch die Matrix X. Am Ende haben wir λF(X). Hier haben wir angefangen, hier haben wir aufgehört, und das war zu zeigen. Damit ist allgemein gezeigt, dass die Abbildung F linear ist. Jetzt beschäftigen wir uns mit der Abbildung G, von dieser haben wir bereits vermutet, dass sie nicht linear ist. Schuld daran war dieser Term hier, bc. bc ist ein Produkt, Produkte sind nicht linear und das wird uns die ganze Linearität verderben. Wir behaupten also offiziell, G ist nicht linear und das müssen wir jetzt auch offiziell beweisen. Am besten erfinden wir eine Matrix Z und eine Zahl μ, sodass an diesen Daten die Homogenitätsgleichung nicht erfüllt ist. Also ist die Gleichung nicht homogen wegen dieser Zahl, so ist sie erst recht nicht linear. Wie machen wir das? Wir schauen uns die Formel für die Abbildungsvorschrift an. Dort gibt es auch unproblematische Terme. A ist völlig unproblematisch, harmlos, linear. 2c-d ist auch völlig unproblematisch. Deswegen sollten wir diese Terme bei der Suche nach einem geeigneten Gegenbeispiel ausschalten. Wir setzten a=0, a ist ausgeschaltet, und d setzen wir auch =0. Der Term b×x ist problematisch, also wir sollen das auch ausschlachten, deswegen dürfen wir diese Terme auf keinen Fall =0 setzen. Wir setzen sie =1. Also auch was einfaches, aber von 0 verschieden. Wie finden wir die Zahl μ? Wenn μ=1 ist, und hier eingesetzt wird,  dann nützt uns das nichts. Wenn μ=1 ist, dann steht auf der linken Seite G(Z) und auf der rechten Seite G(Z). Damit ist der Sache nicht geholfen. Wir brauchen Ungleichheit. μ=0 passt auch nicht, aus demselben Grund. Deswegen, irgendwas außer 0 und 1, aber auch was Einfaches. Also, was kommt als Nächstes nach 0 und 1, ja 2. Da sage ich, μ=2. Jetzt versuchen wir unser Glück. Wir rechnen einfach nur die linke Seite aus, und die rechte Seite aus  und hoffen, dass sie nicht übereinstimmen. Also G(μZ)= wir setzten Z und μ ein. μ war gleich 2, Z war die Matrix 0, 1, 1, 0. Jetzt multiplizieren wir die Zahl in die Matrix hinein, und bekommen die Matrix 0, 2, 2, 0. Nun werten wir die Abbildung G an dieser Matrix aus. Also a landet bei x2, hier ist a=0, wollten wir auch so. 0×x2. Dann weiter haben wir den Term bcx, b=2, c=2, also haben wir hier 2×2×x. Dann haben wir 2c, c ist =2, also 2×2, Minus d, d=0. 2×2 ist bekanntlich 4, 4x+4. So diese Rechnung ist erst mal fertig. Nun beschäftigen wir uns mit der rechten Seite. μG(Z). Ja und dann die selbe Fleißarbeit. μ=2×G von der Matrix 0, 1,1, 0. Jetzt setzen wir die Koeffizienten ein in unsere Formel. Also 2, große Klammer auf, (0×x2)+bcx, also bc ist 1 in diesem Fall. Also haben wir 1×1×x+2c-d, c=1 und d=0. Klammer zu, Klammer zu. Ausrechnen. 2×(x+2), und noch einmal ausmultiplizieren, 2x+4. Und es hat geklappt, wir haben auf der linken Seite 4x+4 und auf der rechten Seite haben wir 2x+4. Diese Polynome sind voneinander verschieden. Also haben wir das Gewünschte erreicht. G(μZ) ist ungleich μG(Z). Damit ist 1 Gegenbeispiel erbracht, 1 Gegenbeispiel ist in diesem Fall ausreichend. Die Abbildung G ist nicht homogen, und deswegen ist sie erst recht nicht linear. Damit ist diese Aufgabe vollständig behandelt. Wir haben ja gesehen, diese Aufgabe ist mehr oder weniger eine Routine Aufgabe. Im nächsten Video behandeln wir ein weiterführendes Beispiel, ein fortgeschrittenes Beispiel. Dort behandeln wir die Drehungen im physikalischen 3-dimensionalen Raum. Da muss man schon einiges Wissen für, man braucht Determinanten, man braucht Bild und Kern usw. und sofort. Aber es wird auf jeden Fall interessant sein, schaut es euch an. Ich danke euch. Tschüss.

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