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Transkript Vollständige Induktion – Beispiel (1)

Hallo, hier hab ich mal eine arithmetische Reihe vorbereitet, um zu zeigen, wie man diese Formel hier, mit der vollständigen Induktion beweisen kann. Worum gehts? Wenn man rechnet 1+2+3 usw., bis zu irgendeiner Zahl n, dann ist diese Summe n=n(n+1)÷2. Oder anders gesagt, die Summe der ersten n-Zahlen=n(n+1)÷2. Was ist damit gemeint? Ich schreibe ein paar Beispiele auf, damit wir klar sehen, was wir hier meinen. Wenn ich für n eine 1 einsetze, dann hab ich hier nur eine 1 stehen. Mehr nicht, denn weitere Zahlen folgen nicht. Dann behaupte ich aber, dass 1 diese Formel erfüllt, wenn ich für n eine 1 einsetze. Dann steht hier 1=1×2÷2. Da müssen wir nicht diskutieren, das ist 1, das ist klar. Wenn ich die ersten beiden Zahlen addiere, jetzt beginnt ja erst die eigentliche Addition. Aber auch das geht mit der 1, auch wenn man bis dahin nichts addiert. Dann kann ich für n eine 2 einsetzen, das müsste dann auch richtig sein, wenn ich mit dem richtig liege, was ich behauptet habe. Dann ist n+1=3. Und wenn wir das durch 2 teilen, sehen wir beide, dass da 3 raus kommt. Ist auch klar. Ich zeig es noch für 1+2+3=3×4÷2=6. Das hier ist auch 6, das ist klar. Das ist relativ einfach, aber die Frage ist ja jetzt, gilt das für alle Zahlen? Kann ich für n irgendeine beliebige Zahl einsetzen? Das kann ich ja jetzt so nicht weiter machen, da es ja viel zu viele Zahlen gibt. Das heißt, wir müssen uns also eine Methode überlegen, wie man das tatsächlich für alle Zahlen zeigen kann. In dem Fall geht das ganz gut mit der vollständigen Induktion. Wir wissen ja, Prinzip der vollständigen Induktion ist, wir zeigen, dass eine Aussage für eine Anfangszahl gilt. Punkt Nummer 1, das ist die Induktionsvoraussetzung bzw. der Induktionsanfang. Punkt 2, wir zeigen, wenn es für irgendeine Zahl gilt, dann gilt es auch für die darauf folgende Zahl. Punkt Nummer 1, das ist die Induktionsvoraussetzung bzw. der Induktionsanfang. Wie immer man da auch sagen will. Wenn wir das beides gezeigt haben, können wir sicher sein, die Behauptung gilt für alle Zahlen, für alle natürlichen Zahlen. Induktionsanfang haben wir hier schon stehen, das ist da. Für n=1 ist diese Behauptung richtig. Das haben wir hier schon gezeigt. Fehlt noch der Induktionsschritt bzw. die Induktionsbehauptung, und das hab ich hier einmal vorbereitet. So sieht sie aus. Wir nehmen mal an, die Summe der ersten n-Zahlen ist n(n+1)÷2 und wir wollen jetzt daraus folgern, dass es ebenfalls richtig ist, wenn wir hier zu der Summe der ersten n-Zahlen noch die darauf folgende Zahl addieren, nämlich n+1, dann können wir in dieser Formel hier, statt n einfach n+1 schreiben. Wir nehmen mal an, die Summe der ersten n-Zahlen ist n(n+1)÷2 und wir wollen jetzt daraus folgern, dass es ebenfalls richtig ist, wenn wir hier zu der Summe der ersten n-Zahlen noch die darauf folgende Zahl addieren, nämlich n+1, dann können wir in dieser Formel hier, statt n einfach n+1 schreiben. Das hab ich hier gemacht, da steht n+1. Und wenn man hier für n n+1 einsetzt, dann steht da natürlich im Ganzen n+2. Und das ist das, was hier steht. Durch 2 wird beides mal geteilt. Das sind viele Zeichen und da ist am Anfang immer die Schwierigkeit, sich daran zu gewöhnen, diese Behauptung darin zu sehen. Also der Schluss von n auf n+1, bzw. wenn es für eine Zahl gilt, dann gilt es auch für die darauf folgende Zahl, n+1. Wenn wir das beweisen können, dann sind wir fertig. Und wie beweist man das? Mit etwas Bruchrechnung. Ich hab das hier mal Folgendermasen aufgeschrieben. Ich gehe mal davon aus, die Summe der ersten n-Zahlen =n(n+1)÷2, das steht hier. Dann kommt noch n+1 dazu. Dann kann ich n+1 mit 2 erweitern. Ich hab hier einen Bruch, wenn ich die addieren möchte, muss ich den gleichen Nenner haben. Jetzt kommt die Bruchrechnung wieder. Das hab ich mit 2 erweitert. Und jetzt hab ich das auf einen Bruchstrich geschrieben und man kann jetzt das Distributivgesetz anwenden, indem man n+1 ausklammert. n+1 hab ich nach vorne geschrieben. Wenn man n+1 ausklammert, bleibt n+2 übrig. Das steht da. Und die 2 da unten bleibt selbstverständlich erhalten. Auch das Distributivgesetz kommt immer wieder. Das ist jetzt die Formel, die hier steht. Und das wollten wir erreichen. Also wir wissen, wenn das für die ersten n-Zahlen gilt und wir die darauf folgende addieren, dann ist die Summe gleich dieser Formel, wenn wir für n n+1 einsetzen.  Und deshalb können wir sicher sein, dass diese Behauptung hier, für diese Ausgangsbehauptung, für alle natürlichen Zahlen gilt. Das wars, viel Spaß damit, tschüss.

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2 Kommentare
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    Geniales Video!!!

    Von Slysonnenseele, vor mehr als einem Jahr
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    solche videos sollten öfters gemacht werden, denn leider lernt man in der schule nicht wirklich etwas von beweistechniken. das an der uni zu lernen ist nicht grad einfach.

    Von Unlogisch, vor fast 7 Jahren