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Transkript Quadratische Ergänzung – Aufgabe (1)

Hallo! Hier ist eine quadratische Gleichung und die möchte ich jetzt lösen, und zwar mithilfe der quadratischen Ergänzung. Die Gleichung lautet x2+8x-20=0. Was die quadratische Ergänzung ist, habe ich in einem anderen Film schon erklärt, deshalb möchte ich sie einfach hier nur ausführen. Quadratisch ergänzen bedeutet ja, das Quadrat der Hälfte der vorzahl von x addieren und subtrahieren. Das war jetzt ein bisschen schnell, das kann ich auch langsam sagen. Hier von dieser vorzahl vor dem x, davon bildet man die Hälfte, also man teilt durch 2, das Ergebnis wird quadriert und hier hinzu addiert und auch gleichzeitig wieder abgezogen. Das mache ich jetzt einfach mal vor. Bevor ich es noch mal erkläre. Hier steht also x2+8x. Die Hälfte von 8 die muss ich jetzt bilden, das ist 4. Die Hälfte wird quadriert, also 42. Dieses Quadrat wird addiert und auch wieder subtrahiert, hier -42 und der Rest wird einfach abgeschrieben, also -20=0. So sieht das jetzt aus. Warum haben wir das gemacht? Weil wir nämlich jetzt eine binomische Formel anwenden können, und zwar die erste binomische Formel. Das möchte ich kurz vormachen. Hier das ist ja die erste binomische Formel. Nicht wahr, hier ist das = Zeichen dazwischen. Ich kann jetzt hier eintragen x2+2×x×4+42. Wenn ich das also so hier hinschreibe, dann kannst du leicht erkennen, dass diese 3 Summanden das Gleiche sind wie das hier. Nur das hier eben, hier steht 8x und hier steht 2×x×4. Aber 2×x×4=8x und deshalb kann ich dann also hier auf diese 3 Summanden diese erste binomische Formel anwenden, indem ich nämlich hier schreibe, (x+4)2. Das ist ja das Gleiche wie das hier. Und dann möchte ich das auch mal machen. Es kommt hier jetzt also hin (x+4)2. Diese 3 habe ich zusammengefasst, den Rest muss ich noch hinschreiben. Nun -42, also man rechnet ja erst die 42 und dann kommt das - Zeichen davor, das ist also -16, -20=-36 und soll =0 sein und ich möchte die 36 auf die andere Seite bringen, damit hier das Quadrat alleine steht und ich hinterher die Wurzel ziehen kann. Denn aus Summen kann man ja keine Wurzeln ziehen, das weißt du ja. Deshalb kommt also mithilfe dieser Äquivalenzumformung die 36 auf die andere Seite. So, das haben wir bisher. Jetzt möchte ich aus dieser Gleichung hier die Wurzel ziehen und dann bekomme ich 2 Gleichungen. Nämlich die eine lautet dann \sqrt(x+4)2 ist nun x+4 und da wir jetzt alle -ach nein, das sage ich gleich- \sqrt36=6. Jetzt suchen wir aber alle Lösungen, alle Zahlen, die man für x einsetzen kann, sodas also diese Gleichung hier richtig ist und da könnte es also noch folgendes geben -das ist das Oder Zeichen- x+4=-6. Denn, wenn ich eine Zahl finde, für die gilt das x+4=-6 ist, dann ist ja diese Gleichung auch richtig. Wenn ich jetzt hier -6 quadriere, kommt ja +36 raus und das mache ich dann hier auf der anderen Seite auch und dann kommt da also (x+4)2 raus. Ja, wir suchen alle Lösungen entstehen jetzt hier 2 Gleichungen. Die sind aber auch schnell gelöst. Ich kann jetzt hier 4 auf die andere Seite bringen, indem ich nämlich -4 auf beiden Seiten rechne und dann steht hier also x=2, das ist die eine Möglichkeit. Die andere Möglichkeit ist, hier kann ich auch -4 auf beiden Seiten rechnen, dann steht auf der rechten Seite -10, damit ist also x=-10, die andere Möglichkeit. Die beiden Zahlen 2 und -10 kann man hier in diese Gleichung einsetzen und dann wird die richtig. Für alle anderen Zahlen wird diese erste Gleichung hier falsch. Damit ist das hier gelöst mit der quadratischen Ergänzung. Viel Spaß damit, bis bald. Tschüs!

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7 Kommentare
  1. Default

    ich kann das video nicht abspielen hab schon neu eingeloggt,seiten geschlossen etc :( vll schaff ich die übungen auch so.

    Von Claudia Gerloff, vor 29 Tagen
  2. Felix

    @Lupo0211: Das ist womöglich ein technisches Problem. Bitte logge dich bei sofatutor aus und schließe deinen Browser (Firefox, Safari, Internet Explorer ...). Stelle sicher, dass alle Fenster deines Browser auch wirklich geschlossen sind. Öffne ihn dann erneut und logge dich wieder bei sofatutor ein und versuche es erneut.
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    Von Martin Buettner, vor 2 Monaten
  3. Img 0001

    Hallo das Video lässt sich nicht abspielen

    Von Lupo0211, vor 3 Monaten
  4. Default

    danke! Erinnere mich jetzt auch, dass ich das im letzten Jahr gelernt habe

    Von Iukirschef, vor etwa 2 Jahren
  5. Giuliano test

    @lukirschef:
    Bei der quadratischen Ergänzung steht nicht (-4)², sondern -4².
    Die Klammersetzung ist hier sehr wichtig.
    [-4]²=[-4]*[-4]=+16
    -4²=-16
    Wenn eine Klammer um die Minus 4 wäre, lautet das Ergebnis, wie du es richtig gesagt hast, + 16 (nicht 36). Hier subtrahieren wir aber 4², da wir vorher 4² addiert haben. Die + 4² brauchen wir zur Vervollständigung der binomischen Formel. Da wir aber nicht einfach 4² addieren dürfen, müssen wir gleichzeitig 4² wieder abziehen. Also - 4².
    Hier noch einmal die Umformung im Detail:
    x²+8x+0-20=0 |+4²-4² (also wurde die Gleichung nicht verändert)
    x²+8x+4²-4²-20=0
    (x+4)²-16-20=0 (Hier entsteht nun die -36)
    (x+4)²-36=0
    (x+4)²=36
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor etwa 2 Jahren
  1. Default

    Hallo, wieso ist minus 4 mal minus 4= 36? Eigentlich ist doch minus mal minus= plus?

    Von Iukirschef, vor etwa 2 Jahren
  2. Default

    Mit dir macht Mathe Spaß! :D

    Von Selma Reinhold, vor mehr als 3 Jahren
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