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Transkript Mittelwert – Eigenschaften

Hallo! Du kennst das arithmetische Mittel, den Mittelwert und jetzt geht es um Eigenschaften des Mittelwertes. Erste Eigenschaft: Der Mittelwert hängt von allen Messwerten ab. Da denkt sich mancher, wovon denn sonst? Vom Wetter wird der ja wohl nicht abhängen. Das ist richtig, aber die Betonung liegt hier auf allen. Von allen Messwerten hängt er ab und das führt dazu, dass es Messreihen gibt, die durch den Mittelwert nicht sinnvoll beschrieben werden. Zum Beispiel könnten wir in einem korrupten Staat Leute fragen, wie viel sie verdienen. Dann werden wir viele Leute finden, die fast überhaupt nichts verdienen und wir werden sehr wenige sehr reiche Leute finden. Wenn wir jetzt den Mittelwert bilden, also das Durchschnittseinkommen, dann liegt das vielleicht in einer Höhe, mit der man dann ganz gut leben kann. Real aber ist die Situation aber so, dass fast alle fast nichts zum Leben haben und von daher ist der Mittelwert hier vielleicht nicht geeignet, um die Gesamtsituation adäquat zu beschreiben. Nächste Eigenschaft: Der Mittelwert muss kein Messwert sein. Ich bleibe bei der Einkommenssituation. Nehmen wir einen Bettler. Der hat gar kein Einkommen und nehmen wir einen Manager auf der mittleren Managementebene. Mittlerweile verdient man dann ja auch eine Millionen pro Jahr oder so habe ich glaube ich gehört. Dann sagt der Volksmund im Schnitt haben beide 500000 Euro im Jahr, was natürlich nicht stimmt. Keiner von denen verdient 500000 Euro im Jahr. Nächste Eigenschaft ist: Wir können zu den Messwerten jeweils eine Zahl addieren, eine Konstante addieren und uns dann fragen: Was passiert mit dem Mittelwert? Wie sieht der dann aus? Ich habe hier noch mal hingeschrieben, wie man den Mittelwert bildet. Man hat also die Messwerte x1 bis xn. Die addiert man alle und teilt dann durch n. Ich habe also ×1/n geschrieben, damit das hier besser hinpasst. Wenn wir jetzt zu jedem Messwert eine bestimmt Konstante, die ich hier a genannt habe, addieren, dann hat man diese Messwerte hier und muss wieder durch n teilen. Dann habe ich hier die as alle zusammengefasst. Wir haben ja n-Mal a addiert. Das steht hier hinten. Wir müssen noch durch n teilen. Und hier habe ich noch die ganzen x zusammengefasst. Die stehen dann hier.  Dann müssen wir natürlich auch noch durch n teilen. Das, was hier steht, ist das arithmetische Mittel, als x quer. Hier kann man n kürzen. Wir haben also x quer + a und das ist das, was hier steht. Das bedeutet, wenn man zu jedem Messwert eine bestimmte Konstante addiert, dann kann man den Mittelwert bilden, indem man den Mittelwert der Messwerte bildet, zu denen nichts addiert wurde und dann die Konstante zum Mittelwert einfach hinzuaddiert. Eine weitere Eigenschaft sieht ähnlich aus. Ich habe hier wieder den Mittelwert hingeschrieben, wie du ihn kennst. Wir können jeden Messwert mit einer Zahl b multiplizieren und uns dann fragen, wie sieht der Mittelwert aus? Hier habe ich es ein bisschen in einer anderen Reihenfolge aufgeschrieben. Also erst einmal die ganzen Messwerte, die werden alle mit b multipliziert und am Ende wird dann noch durch n geteilt, also mit 1/n multipliziert. Dann kann ich das b ausklammern und dann besteht ab hier, von da bis da, besteht dann einfach nur noch der Mittelwert, also x quer und da habe ich mich verschrieben. Hier steht der Mittelwert x quer und der wird einfach mit b multipliziert. Also b mal x quer ist dann der Mittelwert der neuen Messreihe. Noch eine Eigenschaft gibt es, und zwar die Folgende. Wenn wir den Mittelwert bilden und dann den Mittelwert von jedem Messwert abziehen und dann alle diese Differenzen addieren, also wir addieren von i=1 bis n, das heißt die Differenzen aller Messwerte, dann erhalten wir 0. Wie kann man das verstehen? Wenn man das einmal nach der Reihe hinschreibt, was hier eigentlich addiert wird, dann hat man hier den Messwert x1 und von dem ziehen wir den Mittelwert x quer ab. Dann addieren wir x2 und ziehen den Mittelwert x quer ab und so weiter. Das machen wir bis n. Dann kann ich diese ganze Summe hier auch anders schreiben. Ich kann nämlich erst alle x zusammenfassen, x1 bis xn, die alle addieren und dann n- mal den Mittelwert abziehen. Hier steht ja n-Mal der Mittelwert. Der wird n-Mal abgezogen. Und wenn ich n-Mal den Mittelwert abziehe, dann sieht das also so aus, ich kann den Mittelwert ja schreiben als 1/n × Summe aller Messwerte. Wenn ich das jetzt zusammenfasse zu 1. n×1/n ist ja 1. Das heißt mit 1 brauche ich nicht weiter zu multiplizieren, dann steht hier schlicht und ergreifend alle Messwerte - alle Messwerte und das ist gleich 0. So damit ist das auch abgehakt. Die letzte Eigenschaft, die ich dir zeigen möchte, sieht so aus. Wir nehmen einen Messwert und ziehen den Mittelwert x quer davon ab. Diese Differenz können wir quadrieren und alle diese Differenzen, die sich so ergeben, addieren. Dann kommt eine minimale Zahl heraus. Jetzt möchte ich ein bisschen erklären, was das bedeutet. Wir können uns folgende Situation vorstellen. Wir haben hier irgendeine Skala. Interessiert mich jetzt überhaupt nicht, was die genau bedeutet. Wir nehmen irgendwelche Messwerte. Hier einen, hier einen und da und da zum Beispiel einen noch einen. Dann schlage ich vor, dass der Mittelwert x quer hier ist, vielleicht. So da ist der Mittelwert als schwarzes Quadrat. Nun können wir die Differenzen bilden zum Mittelwert. Also Messwert minus Mittelwert, Messwert hier minus Mittelwert. Das ist noch eine Differenz hier. Messwert minus Mittelwert. Das wird jetzt negativ sein hier, wenn man mal sich vorstellt, dass hier die kleineren Zahlen sind und da die größeren. 4 Differenzen haben wir. Die können wir jetzt alle quadrieren. Die Quadrate der Differenzen sind dann positiv. Wenn die Differenz 0 ist, dann ist das Quadrat auch 0. So diese Quadrate können wir jetzt alle addieren und dann kommt eine Zahl raus. Die müssen wir jetzt vergleichen mit einer anderen Zahl, die herauskommen könnte, wenn wir nämlich einen anderen Punkt nehmen. Wir können zum Beispiel hier einen Punkt nehmen. Das ist ein anderer Punkt. Das ist nicht der Mittelwert. Und wir bilden die Differenzen. Messwert minus dieser Wert, Messwert minus dieser Wert, dann haben wir diese Differenz hier und da noch eine und da noch eine Differenz. Wir erhalten wieder 4 Differenzen. Die 4 Differenzen können wir alle quadrieren und die Quadrate alle addieren. Dann wird Folgendes passieren, wenn das hier ein anderer Punkt ist, als der, dann wird die Summe der Quadrate der Differenzen hier größer sein als hier. Insofern ist also die Summe der Quadrate der Differenzen der Messwerte zum Mittelwert minimal. Das ist diese Eigenschaft. Den Beweis gibt es noch im nächsten Film. Da steht er schon. Viel Spaß! Tschüs!

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