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Kreise und die Kreiszahl Pi (π)

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Team Digital
Kreise und die Kreiszahl Pi (π)
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Grundlagen zum Thema Kreise und die Kreiszahl Pi (π)

Die Kreiszahl Pi in Mathe

Kennst du den „Pi Day”? Ob du es glaubst oder nicht, einmal im Jahr, nämlich am 14. März, feiern alle Mathematik-Begeisterten die Kreiszahl Pi! Was diese Zahl so besonders macht, dass ihr ein mathematischer Feiertag gewidmet wurde, erklären wir dir in diesem Text. Zuerst sollten wir uns zunächst an einige Größen im Kreis wie zum Beispiel den Radius und den Durchmesser erinnern. Der Radius verbindet einen beliebigen Punkt der Kreislinie mit dem Kreismittelpunkt. Der Durchmesser hingegen verbindet einen beliebigen Punkt der Kreislinie mit dem genau gegenüberliegenden Punkt, wobei die Verbindungsstrecke immer durch den Mittelpunkt verläuft. Der Durchmesser ist somit doppelt so lang wie der Radius eines Kreises. Und dann gibt es noch den Umfang eines Kreises, also die Länge seiner Kreislinie. So weit, so gut. Aber was hat die Kreiszahl Pi mit diesen Größen zu tun?

Was ist die Kreiszahl Pi?

Wenn wir uns Kreise mit unterschiedlich großen Durchmessern anschauen, fällt etwas auf: Je größer der Durchmesser eines Kreises ist, desto größer ist auch sein Umfang. Könnte es da einen Zusammenhang geben? Den gibt es tatsächlich, und zwar in Form eines bestimmten Verhältnisses. Um herauszufinden, in welchem Verhältnis Umfang und Durchmesser zueinander stehen, teilen wir sie für jeden Kreis durcheinander.

Kreiszahl Pi Einführung

Wir erhalten ein erstaunliches Ergebnis: Das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser ist für jeden Kreis gleich, und zwar ungefähr $3{,}14$. Diese Zahl ist ein Näherungswert für die Kreiszahl $\pi$ (Pi), die gerade über dieses Verhältnis von Umfang und Durchmesser definiert ist.

Kreiszahl Pi – Definition

$\pi = \dfrac{U}{d} = 3{,}14159...$

Die Kreiszahl Pi hat unendlich viele Nachkommastellen, die sich nicht nach einem bestimmten Muster wiederholen oder vorhersagen lassen. Man kann Pi also nicht vollständig aufschreiben oder bestimmen. Außerdem ist $\pi$ nicht rational, d. h. die Zahl kann nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen angegeben werden. Es gibt aber Mathematikerinnen und Mathematiker, die Computerprogramme entwickeln, die nur dafür da sind, immer mehr Nachkommastellen der Kreiszahl zu berechnen. In der Schule und in den meisten Anwendungsfällen reicht es aber, einen gerundeten Wert zu benutzen. Man nutzt häufig die Näherungswerte $\pi \approx 3{,}14$ oder $\pi \approx \frac{22}{7}$.

Die Kreiszahl Pi – Näherungsverfahren von Archimedes

Der griechische Mathematiker und Physiker Archimedes von Syrakus (287-212 v. u. Z.) hat mit Hilfe eines Näherungsverfahrens die Zahl $\pi$ bereits in der Antike ziemlich präzise abschätzen können.

Zur näherungsweisen Berechnung von $\pi$ verwendete Archimedes einen Kreis mit Radius $r = 1$ und regelmäßige Vielecke:

  • Ein Vieleck umschreibt den Kreis und ein weiteres Vieleck ist dem Kreis eingeschrieben.
  • Das bedeutet, dass der Umfang des kleineren Vielecks kleiner ist als der Umfang des Kreises und der Umfang des Kreises wiederum kleiner als der Umfang des größeren Vielecks.
  • Archimedes begann mit dem regelmäßigen Sechseck.

1140_Kreis_Sechseck.jpg

  • Die Anzahl der Ecken verdoppelte Archimedes jeweils, so dass er ein $12-$, $24-$, $48-$ bis hin zu einem $96-$Eck für das Näherungsverfahren nutzte.

So gelangte er zu der folgenden Abschätzung:

$3,1408540\approx 3+\frac{10}{71}<\pi<3+\frac{10}{70}\approx 3,1428571$.

$\pi$ war damit bereits auf zwei Nachkommastellen genau bestimmt.

Die Kreiszahl Pi – Ludolphsche Zahl

Der Mathematiker Ludolph van Ceulen (* 28. Januar 1540 in Hildesheim; † 31. Dezember 1610 in Leiden) führte das Näherungsverfahren nach Archimedes fort. Es gelang ihm mit Hilfe eines $262-$Ecks die ersten $35$ Stellen von $\pi$ zu berechnen. Als Belohnung für seine Arbeit wurde $\pi$ auch die Ludolphsche Zahl genannt. Auf von Ceulens Grabstein ist $\pi$ mit den $35$ Nachkommastellen eingraviert:

$\pi\approx 3{,}14159265358979323846264338327950288$.

Die Kreiszahl Pi – Umfang und Flächeninhalt eines Kreises

  • Der Umfang eines Kreises lässt sich wie folgt berechnen: $U=\pi\cdot d=2\cdot \pi\cdot r$.
    Dabei ist $r$ der Radius des Kreises.
  • Auch für den Flächeninhalt eines Kreises brauchst du $\pi$: $A=\pi\cdot r^2=\frac14\cdot \pi\cdot d^2$.

Die Kreiszahl Pi – Oberfläche und Volumen einer Kugel

  • Hier siehst du die Formel für die Oberfläche einer Kugel: $O=4\cdot \pi\cdot r^2$.
  • Das Volumen lässt sich berechnen mit: $V=\frac43\cdot \pi\cdot r^3$.

Die Kreiszahl Pi – Mantelfläche und Volumen eines Zylinders

1140_Zylinder.jpg

Bei einem Zylinder sind sowohl die Grund- als auch die Deckfläche jeweils ein Kreis. Auch hier kommt in den verwendeten Formeln wieder die Kreiszahl $\pi$ vor:

  • Die Mantelfläche, wobei $h$ die Höhe des Zylinders ist: $M=2\cdot \pi\cdot r\cdot h$.
  • Das Volumen: $V=\pi\cdot r^2\cdot h$.

Du siehst, $\pi$ ist für die Berechnung vieler geometrischer Körper und Figuren wichtig.

Die Kreiszahl Pi ($\pi$) – Zusammenfassung

Die Kreiszahl $\pi$ ist durch das Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises definiert:

$\pi=\dfrac{U}{d}=3{,}14159…$

Man nutzt häufig die Näherungswerte $\pi \approx 3{,}14$ oder $\pi \approx \frac{22}{7}$. Für viele Rechnungen im Zusammenhang mit Kreisen ist die Kreiszahl unverzichtbar. Die Formel für den Umfang eines Kreises lautet zum Beispiel: $U=2 \cdot \pi \cdot r$.

Häufig gestellte Fragen zur Kreiszahl Pi ($\pi$)

Was ist die Kreiszahl Pi?
Wie beginnt die Kreiszahl Pi?
Wer hat die Kreiszahl Pi entdeckt?
Als was ist die Kreiszahl Pi auch bekannt?
Wie berechnet man die Kreiszahl Pi?

Transkript Kreise und die Kreiszahl Pi (π)

Wie jeden Morgen genießt Bauer Johnson eine Tasse Kaffee, bevor er sich an die Arbeit macht. Da bemerkt er dort in der Ferne etwas Seltsames. Heiliger Strohsack! Was ist denn das? Kornkreise überall! Nur eine Art von Tunichtgut kann solche Spuren hinterlassen haben Außerirdische! Bauer Johnson misst die geheimnisvollen Markierungen sorgfältig aus und flitzt zurück in sein Gehöft, um der Sache auf den Grund zu gehen. Während er versucht, die Kornkreise zu verstehen und zu beweisen, dass Außerirdische existieren, wird Bauer Johnson viel über Kreise und die Kreiszahl Pi lernen. Zuerst nimmt er sich den größten Kreis vor. Er schaut sich den Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu verschiedenen Punkten auf der Kreislinie an. Fällt dir etwas auf? Egal wie viele Geraden Johnson zeichnet, sie sind immer genau 120 Meter lang. Da brat mir doch einer 'nen Storch! Ist das etwa der Beweis, dass die Markierungen von Außerirdischen stammen? Nun ja, leider nicht, Bauer Johnson. Diese Regel trifft auf alle Kreise zu. Wir nennen den Abstand vom Mittelpunkt des Kreises bis zu einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie "Radius". Üblicherweise stellt man ihn mit dem Buchstaben r dar. Egal, welchen Punkt auf der Kreislinie man auswählt, der Radius ist immer gleich. Tatsächlich ist das sogar die Eigenschaft, die den Kreis zum Kreis macht. Er ist eine geometrische Figur, die durch unendlich viele Punkte gebildet wird, die alle den gleichen Abstand zu seinem Mittelpunkt haben. Johnson schaut sich seine Tafel ganz genau an. Es muss doch einen Weg geben zu beweisen, dass diese Kreise von außerirdischen Invasoren stammen. Dieses Mal misst er nicht nur den Abstand zwischen Kreismittelpunkt und Kreislinie, sondern auch die Strecke einmal quer durch den Mittelpunkt von einer Seite des Kreises zur anderen. Fällt dir ein Zusammenhang zwischen diesen beiden Abständen auf? Was zum Hafer! Der Abstand von einer Seite des Kreises zur anderen ist genau doppelt so groß wie der Radius. Ja, 240 Meter sind genau 2 mal 120 Meter. Und das trifft auch auf alle anderen Kreise zu. Das kann ja wohl kein Zufall sein. Das ist doch jetzt sicher der Beweis, dass Außerirdische hinter den Kreisen stecken. Nö, Bauer Johnson. Das ist einfach nur Mathematik. Diese Strecke nennt man den Durchmesser. Er verläuft durch den Kreismittelpunkt und berührt einander gegenüberliegende Punkte auf der Kreislinie. Und er ist immer doppelt so groß wie der Radius. Und warum ist das wohl so? Weil der Durchmesser entsteht, wenn man zwei Radien zusammensetzt. Bauer Johnson ist immer noch darauf aus, seine schrullige Theorie über Außerirdische zu beweisen. Er braucht dafür einfach nur einen großen Durchbruch, etwas, das sich mit Mathematik allein nicht erklären lässt. Dieses Mal misst er die Strecke um den Kreis herum. Dabei folgt er der kompletten Kreislinie. Dieses Maß nennen wir den Umfang. Hm, Moment mal, da gibt es doch einen Zusammenhang zum Durchmesser. Ja, je größer der Durchmesser, desto größer auch der Umfang. Das schauen wir uns mal etwas genauer an, indem wir das Verhältnis zwischen Umfang und Durchmesser berechnen. 754 Meter geteilt durch 240 Meter ergibt näherungsweise 3,14. Und wie sieht das bei den beiden anderen Kreisen aus? Scheibenkleister! Siehst du, was Bauer Johnson sieht? Das Verhältnis ist gerundet immer gleich. Das kann doch nur das Werk dieser vermaledeiten Außerirdischen sein. Immer schön langsam mit den jungen Pferden, Bauer Johnson. Wie es aussieht, muss Frau Johnson ihrem Mann das eine oder andere erklären. Dieses "geheimnisvolle" Verhältnis, das Bauer Johnson so ausflippen lässt, kennen Mathematiker schon seit Jahrhunderten. Man nennt diese Zahl Pi – nach diesem griechischen Buchstaben hier. Sie beschreibt das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser von jedem Kreis. Richtig gehört: Ganz egal wie groß ein Kreis ist, das Verhältnis ist immer gleich. Pi hat den Wert 3,14159265358979 und so weiter. Pi ist eine unendliche Dezimalzahl, sie hat also unendlich viele Stellen nach dem Komma. Die Zahl ist auch nicht periodisch. Pi ist also eine irrationale Zahl. Wenn wir mit der Zahl rechnen wollen, können wir als Näherungswert entweder die Dezimalzahl 3,14 oder den Bruch 22/7 nutzen. Wenn wir ganz präzise sein müssen, können wir auch einfach das Symbol Pi verwenden. Wenn wir die Formel Pi = U durch d nach U umstellen, erhalten wir die Formel für den Umfang eines Kreises. Der Umfang ist gleich Pi mal der Durchmesser. Da der Durchmesser dem doppelten Radius entspricht, können wir die Formel auch wie folgt schreiben: Der Umfang ist gleich 2 mal Pi mal r. Bauer Johnson ist am Boden zerstört, weil die Kreise wohl doch nicht von Außerirdischen stammen. Fassen wir also noch mal zusammen. Alle Kreise, ganz egal wie groß, haben ein paar gleiche Eigenschaften. Der Radius, also der Abstand vom Kreismittelpunkt zu einem beliebigen Punkt der Kreislinie, ist immer gleich lang. Der Durchmesser ist eine gerade Strecke, die von einem Punkt der Kreislinie zum gegenüberliegenden Punkt verläuft und dabei den Mittelpunkt schneidet. Er ist immer doppelt do groß wie der Radius. Und zuletzt haben wir noch den Umfang des Kreises. Das ist die Strecke UM den Kreis herum. Das Verhältnis zwischen Umfang und Durchmesser beschreibt die Kreiszahl Pi, die man mit dem Symbol Pi darstellt. In Rechnungen verwendet man für Pi oft die Näherung 3,14 oder 22/7 und die Zahl wurde garantiert nicht von Außerirdischen erfunden. Bauer Johnson steigt wieder auf seinen Wasserturm, ganz niedergeschlagen, weil es doch keine Außerirdischen gibt.

10 Kommentare
10 Kommentare
  1. Den Umfang errechnet man durch Durchmesser mal Pi

    Von Phi Long, vor mehr als einem Jahr
  2. Das Video ist echt gut. Nur in 3:10 wird gesagt, dass man den Umfang durch den Durchmesser rechnen soll. Nur wie berechnet man denn den Umfang?

    Von Marvin, vor fast 3 Jahren
  3. Super Video👍🏽👍🏽

    Von Tijana Kosoric2007, vor fast 3 Jahren
  4. Sehr gutes Video

    Von Kusnecik, vor etwa 3 Jahren
  5. Sehr gutes Video ! 👍 Aber ich habe ein Frage: Das geht doch gar nicht mit den unendlich vielen Zählen man kann das doch nicht alles merken !!! Und wie rechnet man mit Pi wenn es gerundet 3,14 ist. Dann ist ja das Ergebnis nicht immer genau ! Danke für das tolle Video !

    Von Renata K., vor mehr als 3 Jahren
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Kreise und die Kreiszahl Pi (π) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kreise und die Kreiszahl Pi (π) kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die korrekten Aussagen zu den Eigenschaften von Kreisen.

    Tipps

    Der Durchmesser ist die Länge der Verbindungsstrecke zweier Punkte auf der Kreislinie, die durch den Mittelpunkt verläuft.

    Per Definition haben alle Punkte auf der Kreislinie den gleichen Abstand vom Mittelpunkt.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch.

    „Der Radius eines Kreises ist immer doppelt so lang wie der Durchmesser.“

    • Der Radius ist definiert als der Abstand zwischen Kreismittelpunkt und einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie. Der Durchmesser ist die Länge der Verbindungsstrecke zweier Punkte auf der Kreislinie, die durch den Mittelpunkt verläuft. Per Definition muss der Durchmesser also doppelt so lang wie der Radius sein.
    „Die Kreiszahl $\pi$ ist eine irrationale Zahl und beträgt näherungsweise $4,13$.“

    • Die Kreiszahl $\pi$ beträgt auf zwei Nachkommastellen gerundet $3,14$.
    Diese Aussagen sind richtig.

    „Der Abstand zwischen Kreismittelpunkt und einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie heißt Radius und ist immer gleich.“

    • Definitionsgemäß haben alle Punkte auf der Kreislinie den gleichen Abstand vom Mittelpunkt.
    „Das Verhältnis zwischen Umfang und Durchmesser aller Kreise ist immer gleich.“

    • Dieses Verhältnis ist immer gleich der Kreiszahl $\pi \approx 3,14$.
    „Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel $U=2 \pi r$ bestimmen.“

  • Bestimme die Eigenschaften von Kreisen.

    Tipps

    Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers.

    Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel $U=2 \pi r$ berechnen.

    Lösung

    Mit folgenden Überlegungen kannst du die Tabelle vervollständigen.

    Der Durchmesser $d$ ist immer das Doppelte des Radius $r$. Also gilt für den ersten Kreis:

    $d=2r=2 \cdot 120=240$.

    Umgekehrt ist der Radius die Hälfte des Durchmessers. Beim zweiten Kreis gilt also:

    $r=\frac{d}{2}=\frac{120}{2}=60$.

    Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel $U=2 \pi r= \pi d$ berechnen. Dann erhältst du für den ersten Kreis:

    $U=2 \pi \cdot 120 \approx 754$.

    Das Verhältnis aus Umfang und Durchmesser ist in jedem Kreis gleich der Kreiszahl $\pi$. Also gilt für alle Kreise:

    $\frac{U}{d}=\pi \approx3,14$.

    Die vollständige Tabelle lautet also:

    $\begin{array}{c|c|c|c} \text{Radius} ~r~ \text{in Meter} & \text{Durchmesser} ~d~ \text{in Meter} & \text{Umfang} ~U ~\text{in Meter} & \frac{U}{d}\\ \hline 120& 240 & 754 & 3,14\\ 60 & 120 & 377 & 3,14\\ 11 & 22 & 69 & 3,14\\ \end{array}$

  • Entscheide, ob dies die Maße eines Kreises sind.

    Tipps

    Du kannst bestimmen, ob die Maße wirklich einen Kreis ergeben, indem du den gegebenen Umfang durch den Durchmesser teilst.

    Ist der Durchmesser nicht gegeben, kannst du ihn aus dem Radius wie folgt berechnen:

    $d=2r$.

    Lösung

    Du kannst bestimmen, ob die Maße wirklich einen Kreis ergeben, indem du den gegebenen Umfang durch den Durchmesser teilst. Das sollte immer die Kreiszahl $\pi$ ergeben.

    $\frac{U}{d}=\pi$

    Ist der Durchmesser nicht gegeben, kannst du ihn aus dem Radius berechnen.

    $d=2r$

    Dann erhältst du, dass folgende Maße keinen Kreis ergeben können:

    „$d=3~\text{m}$ und $U=8,85~\text{m}$“.

    • Hier ergibt sich: $\frac{8,85}{3}=2,95 \neq \pi$
    „$r=5~\text{m}$ und $U=29,43~\text{m}$“.

    • Hier erhältst du: $\frac{U}{2r}=\frac{29,43}{10}=2,94 \neq \pi$.
    Diese Maße ergeben Kreise:

    „$r=3~\text{m}$ und $U=18,85~\text{m}$“

    „$r=0,5~\text{m}$ und $U=3,14~\text{m}$“

    „$d=8~\text{m}$ und $U=25,13~\text{m}$“

  • Ermittle den Umfang der Kreise.

    Tipps

    Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel $U= \pi d$ berechnen.

    Lösung

    Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel $U=d \pi = 2 \pi r$ bestimmen. Dann erhältst du:

    • $U=2 \pi \cdot 2,24~\text{m} \approx 14,07~\text{m} $
    • $U=\pi \cdot 5,26~\text{m} \approx 16,52~\text{m} $
    • $U=2\pi \cdot 8,78~\text{m}\approx 55,17 ~\text{m}$
    • $U= \pi \cdot 6,5~\text{m} \approx 20,42~\text{m}$
  • Benenne die Eigenschaften von Kreisen.

    Tipps

    Der Durchmesser verläuft durch den Mittelpunkt und verbindet zwei Punkte auf der Kreislinie.

    Der Umfang beschreibt die Länge der Kreislinie.

    Lösung

    So kannst du das Bild vervollständigen:

    • Der Radius verläuft vom Mittelpunkt eines Kreises zu einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie.
    • Der Durchmesser verläuft durch den Mittelpunkt und verbindet zwei Punkte auf der Kreislinie. Damit ist er doppelt so lang wie der Radius, also $d=2r$.
    • Der Umfang beschreibt die Länge der Kreislinie. Du kannst ihn berechnen durch $U=2 \pi r$.
    • Das Verhältnis zwischen Umfang $U$ und Durchmesser $d$ eines Kreises ist immer konstant. Es ergibt die Kreiszahl $\pi$, also $\frac{U}{d}=\pi$.
  • Ermittle den Rollweg eines bremsenden Autos.

    Tipps

    Ein Rad, das auf der Straße eine volle Umdrehung macht, legt einmal seinen vollen Umfang zurück.

    Hast du eine Strecke $s$ gegeben, die das Rad zurücklegt, kannst du diese durch den Umfang $U$ teilen, um die Anzahl der Umdrehungen $n$ zu erhalten. Man rechnet also:

    $n=\frac{s}{U}$.

    Lösung

    Ein Rad, das auf der Straße eine volle Umdrehung macht, legt einmal seinen vollen Umfang zurück. Hast du eine Strecke $s$ gegeben, die das Rad zurücklegt, kannst du diese durch den Umfang $U$ teilen, um die Anzahl der Umdrehungen $n$ zu erhalten. Du berechnest also zunächst den Umfang und rundest auf die Einerstelle:

    $U= \pi \cdot d= \pi \cdot 35 ~\text{cm} \approx 110~\text{cm}$.

    Und für die Anzahl der Umdrehungen erhältst du:

    $n=\frac{s}{U}=\frac{330~\text{cm}}{110~\text{cm}}=3$.