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Transkript Kreiszahl Pi – Veranschaulichung

Hallo! Das hier ist griechischer Buchstabe, ein Kleinbuchstabe, er ist nicht klein, ich hab ihn sehr groß geschrieben, aber es ist ein Kleinbuchstabe. Er heißt π. Und π hat man auch eine Zahl genannt, nämlich die hier, 3,141592653589 und so weiter. Da kommen noch mehr Nachkommastellen, die habe ich nicht alle hingeschrieben. Diese Zahl hat man auch π genannt. Was kann man mit dieser Zahl anfangen? Es ist die Kreiszahl, wie man so sagt. Also, das bedeutet, wenn man den Durchmesser eines Kreises kennt - also das ist ein Kreis, ja? - und man kennt den Durchmesser. Also das ist eine Strecke, die durch den Mittelpunkt des Kreises führt und quasi vom einen Ende zum anderen geht, da konnte ich nicht drauf verzichten, von einem Ende zum anderen, du weißt, was ich meine, geht durch den Mittelpunkt diese Strecke und das ist der Durchmesser. Und wenn man den Durchmesser kennt - hier ist das also ungefähr 16,7, dann kann man den Umfang des Kreises ausrechnen, und der Umfang ist einmal ganz herum. Du weißt, was der Umfang eines Kreises ist. Man muss den Durchmesser also nur mit dieser Zahl multiplizieren und erhält den Umfang eines Kreises. Das ist übrigens bei allen Kreisen gleich, egal wie groß die sind. Immer Durchmesser ×π = Kreisumfang. Auch wenn man die Fläche eines Kreises berechnen möchte, auch bei Kugeln und so, kann man immer, also muss man das immer mit π machen, anders geht das halt nicht. Und ich möchte das eben mal demonstrieren, und dazu habe ich mal was vorbereitet, und zwar diesen Pfeil hier auf dem Kreis. Ich kann den jetzt so hinsetzen, dass er hier am Anfang dieses Gliedermaßstabes zu liegen kommt. Manche sagen auch Zollstock dazu, ist egal. Und jetzt rolle ich den Kreis hier ab und gucke mal, wo der Pfeil dann wieder so auftrifft. Hier, und das ist ziemlich genau bei 52,5. Und du kannst das gerne nachrechnen. Wenn du 16,7 mit π multiplizierst, kommt ungefähr 52,46 oder so raus. Also 52,5. Hier im Rahmen unserer Messgenauigkeit ist das völlig in Ordnung. Damit kann man also Kreise berechnen, mit dieser Zahl π, aber die Frage ist jetzt natürlich: "Wie geht das weiter?" Also ich habe jetzt gesagt, da kommen noch mehr Nachkommastellen. Wie kann man die denn ausrechen? Ja, da gibt es mehrere Verfahren, wie man das denn machen kann. Ein Verfahren, wo man ganz schnell sehen kann, dass es wirklich was mit der Kreiszahl zu tun hat, dass man da den Kreisumfang ausrechnen kann, ist Folgendes. Also ich habe hier einen Halbkreis hingezeichnet, du kannst das auch mit einem ganzen Kreis machen natürlich. Hab nur aus Platzgründen hier einen Halbkreis. In diesen Halbkreis male ich hier solche Strecken rein. Und wenn das jetzt ein ganzer Kreis wäre, dann hätten wir ein Quadrat in diesem Kreis drin. Die Seitenlängen zusammengerechnet, also der Umfang des Quadrates, ist kleiner als der Umfang des Kreises, ja? Die Verbindung dieser beiden Punkte durch eine Strecke ist auf jeden Fall kürzer als die Verbindung dieser beiden Punkte durch einen Bogen. Und deshalb wissen wir, dass das Quadrat, was da jetzt so drin ist, einen kleineren Umfang hat als der Kreis. Aber wir können noch weitere Ecken dazukonstruieren. Hier zum Beispiel, auf der Hälfte, kommt noch eine Ecke dazu und hier auch noch und dann haben wir schon ein Achteck. Und ich glaube, das kann man gut erkennen, dass das Achteck dem tatsächlichen Preis ja buchstäblich näher kommt. Und die sind ja näher dran hier an dem tatsächlichen Kreis, und jetzt kann man das weitermachen, hier wieder die Hälfte, und konstruiert ein 16-Eck. Auch damit kommt man dem Kreis noch näher und noch näher, und dann kann man ein 32-Eck konstruieren und man kommt dem tatsächlichen Kreis immer näher und damit auch der Zahl π. Und das kann man beliebig weitermachen, dann kriegt man die Zahl π beliebig genau. Es gibt aber auch eine andere Formel, jetzt für unsere Taschenrechner-Freunde, nicht wahr, wo man das einfach dann eintippen kann: π= 4-(4/3)+(4/5)-(4/7)+(4/9)-(4/11) und so weiter, geht immer jetzt mit Minus und Plus weiter und der Nenner erhöht sich immer um 2 und im Zähler steht immer eine 4. Ich beweis jetzt diese Formel hier nicht, braucht man ein bisschen Arcustangens-Reihe und so, zeige ich jetzt nicht, aber somit kann man es auch relativ schnell berechnen. Die ist nicht ganz effizient, diese Formel, aber sie ist einfach schnell hinzuschreiben. Ja, jetzt ist aber immer noch nicht geklärt, was mit den weiteren Punkten ist. Also ich hab jetzt Verfahren angegeben, wie man das ausrechnen kann. Die enden aber nirgends, diese Verfahren. Eigentlich könnte man jetzt sagen: "Gut, interessiert mich nicht, ich brauche das ja nur auf eine bestimmte Stellenanzahl genau, wenn ich das ausrechnen will." Ist richtig. Also viel mehr als die Stellen... Man braucht eigentlich nur, ich glaub, wenn man den Erdumfang auf 1 mm genau berechnen will, braucht man auch nur ein paar Nachkommastellen, also nicht allzu viele. Das ist für alle Anwendungen schon okay, die man so im technischen Bereich oder sonst wo haben kann und wenn einem das reicht, ja dann kann man jetzt natürlich sagen: "Okay, dann kann ich den Welt-π-Tag feiern, der ist ja immer am 14.3. eines jeden Jahres." Ja, warum? Kommt aus USA, natürlich wieder. Die Amerikaner schreiben ja erst die 3 und dann die 14, also erst die Monatszahl und dann die Tageszahl, und ja, 3 14, nicht wahr, 3,14, deshalb hat man gesagt, also 14. März ist der Welt-π-Tag. Da geht es darum, die Aufmerksamkeit auf diese Zahl zu lenken, auf die Mathematik überhaupt. Es geht auch darum, viel Spaß zu haben, runde Pizza zu backen, kreisrunde Pizza, nicht wahr, runde Kuchen zu essen, überhaupt Kuchen essen ist ganz wichtig an dem Tag, das steht also mit im Vordergrund. Und das ist also nicht ganz bierernst gemeint und soll einfach so einen Zugang zur Mathematik von dieser Seite her auch mal ermöglichen. Ja, aber als mathematisch interessierter Mensch könnte man aber trotzdem sagen: "Wie geht es denn da weiter?" Ich meine, geht es da immer weiter oder hört das irgendwann auch mal auf? Und, ja, dazu ist zu sagen: Das hört nicht auf. Nicht nur, dass es nicht aufhört, es wiederholt sich auch nicht. Das bedeutet: Wenn man jetzt irgendeine Sequenz hier nimmt, das kann sein, dass die noch mal vorkommt, aber nicht in dem Sinne, dass da nur noch immer wieder diese Sequenz hintereinander vorkommt. Das kann man beweisen, dass das nicht der Fall ist. Ich zeige kurz, wie das geht. Wir haben Brüche. Brüche können zum Beispiel so aussehen: (78/100)=0,78. Kennst du, kein Problem. Wir haben auch Brüche, die sind quasi periodisch, sagt man, und das ist zum Beispiel (92/99)=0,929292 und so weiter und geht immer mit 92 weiter. Das kann man einfach nachweisen, indem man einfach schriftliche Division macht hier. Kannst du ausprobieren, da findest du das Richtige und siehst, dass da immer ein Rest rauskommt, der da immer diese Zahlen produziert. Nun, man kann jetzt beweisen, dass also jeder Bruch entweder als endliche Dezimalzahl so wie hier oder als periodisch unendliche Dezimalzahl darstellbar ist. Ebenso ist jede unendlich periodische zusammen mit allen endlichen Dezimalzahlen, das sind immer Brüche. Das sind alle Brüche, die man so erhält. Jetzt kann man aber beweisen, dass π kein Bruch ist. Den Beweis zeige ich hier auch nicht, da braucht man ein bisschen Integralrechnung und so. Ich weiß nicht, ob das jetzt für hier alle was ist, mache ich jetzt hier nicht. Der ist nicht besonders lang, passt auf eine Seite, aber da muss man ein bisschen mehr wissen, würde den Film hier sprengen. Man weiß, dass π kein Bruch ist - übrigens weiß man das von ganz ganz vielen Zahlen, dass sie keine Brüche sind, dass sie also unendlich viele nichtperiodische Nachkommastellen haben. Also es gibt viel viel mehr von diesen Zahlen als von den anderen übrigens und von denen, die endlich sind oder die sich periodisch wiederholen, und π ist halt eine davon. So, und jetzt kommt es noch dicker. Nicht nur, dass das immer weiter geht, man weiß auch tatsächlich nicht so genau, wie das weitergeht beziehungsweise man möchte gerne wissen, ob da eine andere Regelmäßigkeit drin ist und wenn da keine drin ist, möchte man wenigstens wissen, dass da keine drin ist. Also so zum Beispiel im Sinne von: "Kommt die 7 öfter vor?" Also kommt die 7, die Ziffer 7 öfter vor als die 8? Jetzt so mal auf lange Sicht gesehen. Das möchte man klären. Das wäre in anderen Zusammenhängen auch wieder sehr wichtig, das zu wissen, ob das nun der Fall ist oder nicht oder beziehungsweise ob man das überhaupt sagen kann über diese Zahl oder nicht und, was wollte ich sagen? Das weiß man im Moment nicht. Da wird dran geforscht, also jetzt im Jahre 2010, wird daran geforscht und kein Mathematiker auf der Welt weiß das im Moment. Also man scheint wohl nahe dran zu sein, aber gelungen ist das noch nicht, das zu beweisen oder zu widerlegen. Ja, dann kann man mal sehen, da muss man sich als ausgewachsener Mathematiker von, ich komme um den Begriff nicht herum, muss man sich von so einer bieseligen Zahl fertig machen lassen. Ja, das ist Mathematik und das macht es auch so spannend an der Mathematik. Man hat irgendwie so einen kleinen Zusammenhang und denkt sich: "Na, ist ja ganz niedlich, ist ja alles okay." und dann guckt man mal genauer hin, was ist denn eigentlich damit, und plötzlich explodiert dieses Problem in der Komplexität, in der Schwierigkeit wie diese Zahl π. Wir haben angefangen, naja, Durchmesser Umfang, kann ja nicht so schwierig sein, und enden mit der Betrachtung einer unendlich langen Zahl, die sich nicht periodisch wiederholt und von der man nicht einmal weiß, ob da jetzt eine Regelmäßigkeit drin ist oder nicht. Ja, das zum Stand der Forschung. Ich sage das auch deshalb, weil mir viele Leute schon mal sagen: "Naja, Mathematik, da ist schon alles erforscht. 1+1=2, ist schon länger so, wird sich auch nicht ändern, was soll man da großartig machen?" Ja, zum Beispiel daran wird im Moment geforscht und das weiß man noch nicht. Es wäre ganz interessant, das zu wissen und übrigens, wenn das durch ist. Nur angenommen, man weiß jetzt, man wüsste, dass π in den Nachkommastellen keine weitere Regelmäßigkeit hat, dann würde man das bei anderen Zahlen natürlich auch untersuchen, weil es ja ganz viele von diesen Zahlen gibt. Also da ist noch viel zu tun. In diesem Sinne, viel Spaß damit, tschüss.

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8 Kommentare
  1. Default

    Ok, ich habe es verstanden. Danke!

    Von Murat, vor etwa einem Jahr
  2. Felix

    @Murat M33: Die Kreiszahl Pi wird benötigt um den Flächeninhalt bzw. den Umfang eines Kreises zu berechnen:
    Für den Umfang u gilt u=2*pi*r.
    Für den Flächeninhalt A gilt A=pi*r^2.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
    Bei weiteren Fragen hilft dir auch gerne der Hausaufgaben-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin Buettner, vor etwa einem Jahr
  3. Default

    Ups! Ich meine Pi!!!

    Von Murat, vor etwa einem Jahr
  4. Default

    Wo wird die Kreiszahl µ eigentlich wichtig?

    Von Murat, vor etwa einem Jahr
  5. Default

    Ein sehr gute Darstellung. So gut, dass Ihre Mathevideos aus Spaß schon vor der Schule angeguckt werden. Hoffentlich gibt es viele viele Videos dieser Art.

    Von Flaschenpost, vor fast 2 Jahren
  1. Default

    Wenn man einen Kreis mit Radius 1 hat, dann wäre die Seitenlänge des inneren Quadrats (wie im Video beschrieben) (aufgrund Pythagoras) Wurzel2. Wenn man die Seitenlänge eines X-ecks berechnen will, könnte man auch Pythagoras verwenden. Ich verstehe, denn Wurzel 2 ist eine irrationale Zahl. Danke!

    Von Cardenas 100, vor etwa 2 Jahren
  2. Giuliano test

    @Cardenas 100:
    Man möchte den Umfang des Kreises mit dem Radius 1 [beliebige Einheit beispielsweise 1 cm] angeben. Dieser enstpricht 2 Pi (Der Umfang des Halbkreises entspricht dann Pi). Wenn du ein Quadrat, genau wie im Video beschrieben, in den Kreis zeichnest, kannst du den Umfang des Quadrats berechnen. Dieser ist aber deutlich kleiner, als der Umfang des Kreies. Wenn du nun nun weiter ein Achteck einzeichnest, so kannst du den Umfang des Kreises schon etwas genauer angeben. Du kannst dies beliebig oft durchführen und der Umfang des n-Ecks (n steht für eine Zahl 2^x, wobei x eine beliebige natürliche Zahl größer als 2 ist), wird sich dann immer genauer dem exakten Umfang des Kreises annähern. Je größer n ist, desto genauer wird dein Ergebnis. So erhält man die Nachkommastellen von Pi.
    Du kannst das gerne beispielhaft für einen Kreis mit dem Radius 1 [Einheit ist egal] durchrechnen.
    Wenn du weitere Probleme damit hast, kannst du dich auch gerne an Fach-Chat (Mo-Fr von 17-19 Uhr) oder an support@sofatutor.com wenden.
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor etwa 2 Jahren
  3. Default

    Ich verstehe nicht den Zusammenhang zwischen diese unendlich viele Ecken mit Pi. Ok, man hat unendlich viele Ecken, und? Wie kommt man auf 3.1415..usw ?

    Von Cardenas 100, vor etwa 2 Jahren
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