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Definition und Herleitung der Quotientenregel

Die Quotientenregel gibt an, wie du eine Funktion ableiten kannst, die als Quotient zweier Funktionen dargestellt ist. Solche Funktionen haben die Form

Funktion als Quotient zweier Funktionen

(mit v(x) ≠ 0).

Die Funktionen u(x) und v(x) sollen dabei differenzierbar sein. Dann ist auch f(x) differenzierbar und die Ableitung f´(x) ist

Funktion als Quotient zweier Funktionen

Im Gegensatz zur Produktregel kommt es bei der Quotientenregel im Zähler auf die Reihenfolge der Terme an, da die Subtraktion nicht kommutativ ist! Als Eselsbrücke kannst du folgende einfache Merkregel benutzen: „NAZ minus ZAN“. Das bedeutet: „Nenner mal Ableitung des Zählers minus Zähler mal Ableitung des Nenners“.

Die Quotientenregel kannst du mithilfe des Differenzialquotienten herleiten. Sie ergibt sich aber auch aus der Produktregel. Den Quotienten

Funktion als Quotient zweier Funktionen

kannst du nämlich auflösen nach f(x) · v(x) = u(x). Anschließend leitest du beide Seiten ab und erhältst unter Verwendung der Produktregel: f´(x) · v(x) + f(x) · v´(x) = u´(x). Diese Gleichung kannst du nach f´(x) auflösen. Das liefert dir die Quotientenregel:

Quotientenregel Rechnung nach f’(x) auflösen

Anwendungsbeispiele Quotientenregel

Beispiel 1 Anwendung der Quotientenregel:

Die Ableitung der Funktion

Quotientenregel Ableitungsbeispiel 1

Dabei wurde (sin(x))´= cos(x) benutzt.

Beispiel 2 Anwendung der Quotientenregel (Tangensfunktion):

Auch zur Ableitung der Tangensfunktion kannst du die Quotientenregel verwenden und musst dir nicht eine zusätzliche Formel merken. Die Tangensfunktion ist definiert als

Quotientenregel Ableitungsbeispiel 2 Tangens

Die Ableitung dieses Quotienten ergibt

Quotientenregel Ableitungsbeispiel 3 Tangens

Den letzten Bruch kannst du noch weiter vereinfachen, sogar auf zweierlei Arten. Entweder du verwendest die Identität cos²(x) + sin²(x) = 1.

Oder du erhältst tan'(x) = 1 + tan²(x) durch Zerlegen des Bruchs gemäß

Quotientenregel Ableitungsbeispiel 4 Tangens

Beispiel 3 Anwendung der Quotientenregel (e-Funktion):

Die Ableitung der Funktion

Quotientenregel Ableitungsbeispiel 5 e-funktion

Beispiel 4 Anwendung der Quotientenregel (Wurzelfunktion):

Die Ableitung der Funktion

Quotientenregel Ableitungsbeispiel 6 Wurzelfunktion