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Transkript Zerfallsgesetz (Übungsvideo)

Hallo, wir wollen uns heute mit der Lösung von Sachaufgaben zum Zerfallsgesetz beschäftigen. Du solltest dazu die Grundlagen über die Radioaktivität mitbringen, über Strategien zur Lösung von physikalischen Sachaufgaben Bescheid wissen und einige mathematische Grundkenntnisse verfügen.

Das Zerfallsgesetz

Zur Erinnerung wiederholen wir das Zerfallsgesetz einmal mit der Basis ½. Das lautet: N von t gleich N null mal einhalb hoch t geteilt durch T mit dem Index einhalb. Und mit der Basis e. N von t gleich N null mal e hoch Minus lambda mal t. Dabei bedeuten N(t) ist die Anzahl der nach Ablauf der Zeit t noch nicht zerfallenen Nuklide, N0 steht für die Anzahl der zu Beginn des Zeitabschnittes t vorhandenen instabilen Nuklide T1/2 ist die Halbwertszeit des Nuklids und lambda die Zerfallskonstante.

Die Zerfallskonstante Lambda

Hier sehen wir noch einmal eine Zerfallskurve. Auf der Ordinate ist die Anzahl N und auf der Abszisse die Zeit t dargestellt. Die Anzahl der unzerfallenen Nuklide nimmt exponentiell ab. Die Schnelligkeit des Zerfalls wird durch die Zerfallskonstante Lambda bestimmt. Es gilt der Zusammenhang: Zerfallskonstante lambda ist gleich natürlicher Logarithmus von 2 geteilt durch die Halbwertszeit T ein halb und mit ln von 2 ungefähr 0,693 erhält man 0,693 durch T ein halb.

Aufgabe 1 - Nuklide

Nun zur Aufgabe 1: Die Halbwertszeit von Radon 222 beträgt 3,8 Tage - wobei wir Tage mit d abkürzen. Wie viel Prozent einer bestimmten Nuklidanzahl von Radon 222 sind nach 5 Tagen noch vorhanden? Gegeben ist die Halbwertszeit mit 3,8 Tagen sowie die Zerfallszeit t von 5 Tagen.

Lösung

Gesucht ist die Anzahl der noch nicht zerfallenen Nuklide N nach diesen 5 Tagen. Nun zur Lösung: Wir wählen das Zerfallsgesetz mit der Basis ½, da die Halbwertszeit gegeben ist: N von t gleich N null mal ein halb hoch t geteilt durch die Halbwertszeit T mit dem Index ein halb. Nun werden die Größen eingesetzt. Es folgt N von t gleich N null mal ein halb hoch 5d geteilt durch 3,8 d. Mit dem Taschenrechner wird der Wert des Terms bestimmt. Wir erhalten etwa 0,4 mal N null. Damit sind nach 5 Tagen sind noch 40% der Nuklidanzahl vorhanden.

Aufgabe 2 - Zerfallskonstante

Nun zur zweiten Aufgabe: Die Halbwertszeit von Uran 234 beträgt 4,5∙109 Jahre , wobei Jahre mit a abgekürzt wird. Wie groß ist die Zerfallskonstante von Uran 234? Gegeben ist die Halbwertszeit mit 4,5 mal 10 hoch 9 Jahre. Gesucht ist lambda in Sekunde hoch minus 1.

Lösung

Nun zur Lösung: Wir benutzen die Gleichung für den Zusammenhang zwischen Halbwertszeit und Zerfallskonstante: lambda gleich ln zwei geteilt durch T mit dem Index ein halb ist gleich ln zwei geteilt durch 4,5 mal Zehn hoch 9 mal 365 für die Anzahl Tage, 24 für die Anzahl Stunden eines Tages und 3 600 s für die Anzahl Sekunden einer Stunde. Rechnen wir das mit dem Taschenrechner aus, so erhalten wir einen Wert von ungefähr 4,88 mal 10 hoch minus 18 Sekunde hoch -1. Das ist der Wert für die Zerfallskonstante von Uran 234.

Aufgabe 3 - Kernzerfall

Und hier ist die dritte Aufgabe: Die Zerfallskonstante des Chrom-Isotops Cr 51 beträgt 2,9∙10-7 s-1. Nach welcher Zeit t zerfallen 80% einer bestimmten Menge von Chrom 51- Kernen? Gegeben ist die Zerfallskonstante 2,9 mal 10 hoch minus 7 Sekunden hoch minus 1. Gesucht ist die Zeit in Tagen.

Nun zur Lösung: Nach der Zeit t beträgt der Anteil der noch nicht zerfallenen Kerne 20%, also muss gelten: N von t gleich N null mal 0,2 Beachtet man N von t gleich N null mal 0,2 sowie N(t) gleich N null mal e hoch minus lambda mal t so erhält man nach Einsetzen der gegebenen Größen:

Lösung

N null mal 0,2 gleich N null mal e hoch minus 2,9 mal 10 hoch minus 7 mal Sekunde hoch minus eins mal t. Die Gleichung durch N null dividiert und es folgt 0,2 gleich e hoch minus 2,9 mal 10 hoch minus 7 mal Sekunde hoch minus eins mal t. Nun wird auf beiden Seiten logarithmiert und es folgt ln 0,2 gleich ln e hoch minus 2,9 mal 10 hoch minus 7 mal Sekunde hoch minus eins mal t. Wegen ln e hoch x gleich x folgt ln 0,2 gleich minus 2,9 mal 10 hoch minus 7 mal Sekunde hoch minus eins mal t.

Wir teilen durch minus 2,9 mal 10 hoch minus 7 mal Sekunde hoch minus eins und vertauschen die Seiten der Gleichung. Damit folgt t gleich ln 0,2 geteilt durch minus 2,9 mal 10 hoch minus 7 mal Sekunde hoch minus eins. Mit dem Taschenrechner erhalten wir schließlich das Ergebnis von ungefähr 5 549 786 Sekunden und das sind etwa 64 Tage. Nach dieser Zeit sind noch 20 % der Chrom-51-Kerne vorhanden.

Zusammenfassung zum Zerfallsgesetz

Wir fassen zusammen: In drei Sachaufgaben wurden Zusammenhänge zum Zerfallsgesetz behandelt. Dabei wurde das Zerfallsgesetz mit der Basis 1/2 und e benutzt. Außerdem wurde aus einer gegebenen Halbwertszeit die Zerfallskonstante berechnet. Das war‘s für heute. Ich hoffe, dir hat es wieder etwas Spaß gemacht und du hast alles verstanden. Bis zum nächsten Mal.

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