Prozentrechnung

Aus der Prozentrechnung kennst du bereits die folgenden Begriffe

  • Grundwert $G$
  • Prozentwert $W$ und
  • Prozentsatz $p$

sowie die Formel

$\frac{W}{G}=\frac{p}{100}$

Diese Formel kannst du umstellen, je nachdem, welche Größe du berechnen möchtest.

Zinsrechnung

In der Zinsrechnung geht es darum, bei Geld, welches du zum Beispiel auf ein Sparbuch legst, die Zinsen zu berechnen, oder bei Geld, welches du dir von der Bank leihst, die Zinsen zu berechnen.

Du rechnest ebenso wie bei der Prozentrechnung. Da das Rechnen mit Geld aber aus einem finanzwirtschaftlichen Bereich kommt, werden hier andere (wirtschaftliche) Begriffe verwendet.

  • Der Grundwert aus der Prozentrechnung ist das Kapital $K$ oder das Guthaben oder ein Kredit.
  • Der Prozentwert wird in der Zinsrechnung als Zinsen bezeichnet.
  • Der Prozentsatz entspricht dem Zinssatz $p$. Der Zinssatz wird meist „pro Jahr“ angegeben. Dies erkennst du an „$p~\%$ p.a.“. „p.a.“ steht für „per annum“, also „pro Jahr“.

Beispiele zur Zinsrechnung

Damit du nun auch mit deinem Geld vernünftige Zinsen bekommen kannst, schauen wir uns nun noch ein Paar Beispiele an.

Berechnung von Zinsen

Lisa legt ein Kapital (oder Guthaben) $K=700~€$ an. Der Zinssatz beträgt $p=3$ p.a.. Dann kannst du die Zinsen mit der Formel zur Zinsrechnung

$Z=\frac{K\cdot p}{100}$

berechnen, also

$Z=\frac{700\cdot 3}{100}=21$

Lisa erhält also nach einem Jahr $Z=21~€$ Zinsen.

Du kannst mit diesen Zinsen auch berechnen, wie viel Zinsen Lisa

  • pro Monat erhält: Hierfür dividierst du die Zinsen durch $12$.

$\quad~~Z=\frac{K\cdot p}{100}\cdot \frac1{12}=\frac{21}{12}=1,75~[€]$

  • pro Tag erhält: Hierfür dividierst du die Zinsen durch $360$. (Eine Bank nimmt als Anzahl der Tage pro Jahr $360$)

$\quad~~Z=\frac{K\cdot p}{100}\cdot \frac1{360}=\frac{21}{360}=0,06~[€]$

  • Lisa erhält also monatlich $1,75~€$ und täglich $0,06~€$ Zinsen.

Zins und Zinseszins

Lisa hat für $K=700~€$ bei einem Zinssatz von $p=3$ Zinsen in Höhe von $Z=21~€$ erhalten. Diese Zinsen kommen zu dem Kapital dazu. Das bedeutet, dass Lisa nach einem Jahr bereits $700~€+21~€=721~€$ hat. Auch dieses Kapital kann sie wieder zu $p=3$, oder auch zu einem anderen Zinssatz anlegen. So erhält sie die Zinsen

$Z=\frac{721\cdot 3}{100}=21,63~[€]$

Diese Zinsen werden also mit dem Ausgangskapital und den darauf erhaltenen Zinsen berechnet. Dies nennt man Zinseszins.

Das Kapital nach zwei Jahren beträgt dann $721~€+21,63~€=742,63~€$.

Berechnung des Kapitals

Paul überlegt sich, wie viel Geld ($K=?$) er zu dem Zinssatz $p=5$ anlegen muss, damit er $Z=100~€$ erhält.

Hier kannst du die folgende Formel verwenden

$K=\frac{Z\cdot 100}{p}$

und die bekannten Größen für $Z$ sowie $p$ einsetzen:

$K=\frac{100\cdot 100}{5}=2000$

Paul müsste also $K=2000~€$ anlegen, um bei einem Zinssatz von $p=5$ $Z=100~€$ Zinsen zu erhalten.

Berechnung des Zinssatzes

Luke hat $K=1200~€$, die er so anlegen will, dass er $Z=42~€$ Zinsen erhält. Dieses Mal ist nach dem Zinssatz $p$ gefragt.

Du verwendest die Formel

$p=\frac{Z\cdot 100}{K}$

Auch hier setzt du die bekannten Größen ein und erhältst

$p=\frac{42\cdot 100}{1200}=3,5$

Luke müsste sein Kapital zu $3,5~\%$ anlegen, um die gewünschten Zinsen zu erhalten.

Kredit und Tilgung

Du kannst nicht nur Kapital anlegen und dafür Zinsen von der Bank bekommen. Umgekehrt kannst du dir auch Geld von der Bank leihen. Zum Beispiel, wenn du dir ein neues Fahrrad kaufen willst und dafür $250~€$ benötigst.

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Du nimmst also einen Kredit bei der Bank auf. Die Bank gibt dir das Geld allerdings nicht einfach so. Sie möchte das Geld von dir zurück bekommen und verlangt auch Zinsen, zum Beispiel $p=7,5$. Auch diese Zinsen werden pro Jahr berechnet.

Du überlegst dir, dass du pro Monat eine Rate von $90~€$ zurück bezahlen könntest. Wie lange musst du dann an die Bank Geld zurück zahlen?

Du kannst dies Monat für Monat rechnen:

  • Die monatlichen Zinsen betragen

$\quad~~p_m=\frac{p}{12}=0,625$

  • Das bedeutet, dass in dem ersten Monat die folgenden Zinsen anfallen:

$\quad~~Z=\frac{250\cdot 0,625}{100}=1,56~[€]$

  • Diese $1,56~€$ deiner Rate fallen für die Zinsen an. Der Rest dient zur Tilgung des Kredites. Merke dir: Rate - Zinsen = Tilgung.
  • Nach einem Monat hast du also noch $250~€+1,56~€-90~€=161,56~€$ Schulden bei der Bank. Auch diese werden wieder verzinst

$\quad~~Z=\frac{161,56\cdot 0,625}{100}=1,01~[€]$

  • Nach zwei Monaten betragen deine Schulden noch $161,56~€+1,01~€-90~€=72,57~€$. Diese werden wieder verzinst.

$\quad~~Z=\frac{72,57\cdot 0,625}{100}=0,45~[€]$

  • Damit beträgt deine letzte Rate $72,57~€+0,45~€=73,02~€$.

Du hast also bei zwei Monatsraten in Höhe von $90~€$ und einer Abschlussrate in Höhe von $73,02~€$ deinen Kredit nach drei Monaten abbezahlt.

Videos in diesem Thema

Arbeitsblätter zum Ausdrucken zum Thema Zinsrechnung

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Zinsenrechnung – Grundlagen

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Zinsrechnung – Grundaufgaben

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Zinsrechnung – Konto (1)

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Zinsrechnung – Konto (2)

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Kredit und Tilgung

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Kredit und Tilgung – Übung

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