Zwischenzeugnis-Aktion: 30 Tage ohne Risiko testen!

Jetzt von der Qualität unserer Inhalte überzeugen, Aktion verlängert bis 27.02.2017.

Zwischenzeugnis-Aktion: 30 Tage ohne Risiko testen!

Zufrieden oder Geld zurück, eine Mail an kein-risiko@sofatutor.com genügt (30 Tage ab Kauf).

Zufallsexperimente

Ein Experiment wird als Zufallsexperiment bezeichnet, wenn

  • mindestens zwei Ergebnisse möglich sind,
  • es beliebig oft durchgeführt werden kann und
  • das Ergebnis nicht vorhersehbar ist.

Ein Ergebnis ist ein Ausgang eines Zufallsexperimentes.

Stelle dir das folgende Experiment vor: In einer Urne befinden sich vier Kugeln, zwei rote und zwei blaue.

1195_Urne.jpg

Du ziehst eine Kugel aus dieser Urne (ohne zu wissen welche). Die möglichen Ergebnisse dieses Zufallsexperimentes sind „es wird eine rote Kugel gezogen“, kurz $r$, oder „es wird eine blaue Kugel gezogen“, kurz $b$.

Du kannst die Wahrscheinlichkeiten der beiden Ergebnisse berechnen, indem du die Anzahl der roten (blauen) Kugeln durch die Anzahl aller Kugeln in der Urne dividierst. $P$ steht für die Wahrscheinlichkeit und $P(r)$ für die Wahrscheinlichkeit, dass eine rote Kugel gezogen wird. Also ergibt sich:

$P(r)=\frac{\text{Anzahl der roten Kugeln in der Urne}}{\text{Gesamtanzahl der Kugeln in der Urne}}=\frac24=\frac12$

Für die Wahrscheinlichkeit beim einmaligen Ziehen aus der Urne eine blaue Kugel zu ziehen, ergibt sich also:

$P(b)=\frac{\text{Anzahl der blauen Kugeln in der Urne}}{\text{Gesamtanzahl der Kugeln in der Urne}}=\frac24=\frac12$

Dies ist ein einstufiges Zufallsexperiment.

Du könntest auch mehrmals eine Kugel aus der Urne ziehen. Ein solches Zufallsexperiment wird als mehrstufiges Zufallsexperiment bezeichnet.

Baumdiagramm

Baumdiagramme dienen dazu, mehrstufige Zufallsexperimente graphisch darzustellen.

Hier siehst du das Baumdiagramm zu dem obigen Beispiel der Urne mit zwei roten und zwei blauen Kugeln. Dieses Mal ziehst du eine Kugel, legst sie wieder zurück in die Urne, und ziehst noch einmal. Dies ist ein zweistufiges Zufallsexperiment mit Zurücklegen.

1195_Baumdiagramm_m_Z_1.jpg

$~$

  • In dem Baumdiagramm führt in der ersten Stufe jeweils ein Ast zu rot und einer zu blau.
  • An den Ästen stehen die Wahrscheinlichkeiten, dafür, eine rote oder blaue Kugel zu ziehen.
  • In der zweiten Stufe führt von jedem Ergebnis der ersten Stufe wieder jeweils ein Ast zu rot und einer zu blau.
  • Auch an diesen Ästen stehen die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.

Da die gezogene Kugel wieder zurück in die Urne gelegt wird, bleiben die Wahrscheinlichkeiten gleich. Der gesamte Weg, zum Beispiel über rot zu rot, wird als Pfad bezeichnet.

Am Ende eines Pfades steht ein Ergebnis des zweistufigen Zufallsexperimentes „zweimaliges Ziehen aus einer Urne mit Zurücklegen“. Diese Ergebnisse sind $(r,r)$, $(r,b)$, $(b,r)$ und $(b,b)$.

Du kannst also mit Hilfe eines Baumdiagramms alle möglichen Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallsexperimentes darstellen.

Die Pfadregel

Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse nutzt du die Pfadregel. Diese wird auch als Produktregel oder Pfadmultiplikationsregel oder 1. Pfadregel bezeichnet.

Diese Regel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses sich ergibt, indem du die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu diesem Ergebnis führt, multiplizierst.

Dies siehst du ausführlich bei

$P(r,r)=\frac12\cdot \frac12=\frac14$

Ebenso können die Wahrscheinlichkeiten der übrigen Ergebnisse berechnet werden.

Du kannst ein Baumdiagramm auch bei Modellen ohne Zurücklegen verwenden.

Hier siehst du ein weiteres Baumdiagramm. Dieses Mal wird die Kugel nicht zurückgelegt. Du kannst erkennen, dass die Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Stufe andere sind als bei dem obigen Baum. Dies ist ein zweistufiges Zufallsexperiment ohne Zurücklegen.

1195_Baumdiagramm_o_Z_1.jpg

$~$

Das Baumdiagramm erstellst du ebenso wie bei dem Modell mit Zurücklegen. Ebenso wendest du auch hier die Pfadregel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse an.

Möchtest du also beispielsweise die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass beim ersten Zug eine blaue und beim zweiten Zug eine rote Kugel gezogen wird, also $P(b,r)$, gehst du wie folgt vor:

Beim ersten Zug sind 4 Kugeln in der Urne, zwei davon sind blau, also beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, beim ersten Zug eine blaue zu ziehen:

$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

Da nun eine blaue Kugel in der Urne fehlt, sind insgesamt nur noch 3 Kugeln in der Urne. Zwei davon sind rot. Die Wahrscheinlichkeit nun eine rote Kugel zu ziehen beträgt also:

$\frac{2}{3}$.

Um $P(b,r)$ zu berechnen, wendest du die Pfadregel an und multiplizierst diese Wahrscheinlichkeiten:

$P(b,r)=\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

Die Summenregel

Die Summenregel verwendest du zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses. Die Summenregel wird auch als 2. Pfadregel oder Pfadadditionsregel bezeichnet.

Was unterscheiden Ergebnisse und Ereignisse?

Die Menge aller Ergebnisse eines Zufallsexperimentes werden zu der Ergebnismenge $\Omega$ zusammengefasst. Jede Teilmenge dieser Ergebnismenge wird als Ereignis bezeichnet. Anderes ausgedrückt kannst du dir auch merken, dass ein Ereignis eine Menge bestehend aus Ergebnissen ist.

  • Die leere Menge ist auch ein Ereignis: $A=\emptyset$. Dieses Ereignis wird als unmögliches Ereignis bezeichnet. Es ist $P(A)=0$.
  • Die Ergebnismenge selbst ist eine Ereignis, das sichere Ereignis: $B=\Omega$. Die Wahrscheinlichkeit ist $P(B)=1$.
  • Eine Ereignis kann auch nur ein Ergebnis beinhalten. Dieses Ereignis kennst du als Elementarereignis. Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ist gleich der Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses, welches in dem Ereignis liegt.

Wie kann die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, in dem sich mehr als ein Ergebnis befindet, berechnet werden?

Beispiel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Schau dir nochmal das Baumdiagramm zu dem Beispiel „zweimaliges Ziehen aus einer Urne ohne Zurücklegen“ an.

1195_Baumdiagramm_o_Z_1.jpg

$~$

Es soll die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E$ „Es wird genau eine rote Kugel gezogen“ berechnet werden.

Welche Ergebnisse befinden sich in dem Ereignis? Einmal das Ergebnis, dass beim ersten Zug die rote Kugel gezogen wird, also (r,b) und auch das Ergebnis, dass beim zweiten Zug die rote Kugel gezogen wird, also (b,r). Das Ergebnis (r,r) liegt nicht im Ereignis, da nur genau eine rote Kugel gezogen werden soll.

Die Summenregel besagt, dass du die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnen kannst, indem du die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse, die sich in dem Ereignis befinden, addierst.

Damit ist

$P(E)=P(r,b)+P(b,r)=\frac13+\frac13=\frac23$

Vereinfachen von Baumdiagrammen

Ein Baumdiagramm hat auch Grenzen:

  • Wenn in jeder Stufe sehr viele Ergebnisse möglich sind, wird das Baumdiagramm sehr schnell sehr umfangreich. Zum Beispiel kann bei einem Würfelwurf jede Augenzahl von $1$ bis $6$, also sechs verschiedene Ergebnisse, eintreten. Wirfst du den Würfel dreimal, gelangst du zu $6^3=216$ möglichen Ergebnissen.
  • Wenn du ein Zufallsexperiment sehr oft durchführst, wird das Baumdiagramm ebenfalls sehr umfangreich. Schaue dir das Beispiel eines Münzwurfs mit zwei möglichen Ergebnissen an. Wenn du die Münze sechsmal wirfst, führt dies zu $2^6=64$ möglichen Ergebnissen.

Du kannst allerdings auch bei solchen Beispielen ein Baumdiagramm verwenden. Du kannst das Baumdiagramm vereinfachen.

Beispiel Würfelwurf

Paul wirft einen Würfel zweimal. Für ihn ist nur interessant, ob er eine $6$ wirft oder nicht.

Nun kannst du die Augenzahlen von $1$ bis $5$ zusammenfassen zu „nicht $6$“. Dies wird mit einem Strich über der $6$ geschrieben: $\bar 6$.

Hier siehst du das entsprechende Baumdiagramm.

1195_Baumdiagramm_m_Z_2.jpg

$~$

Paul möchte die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E$ „mindestens eine $6$“ berechnen.

$E=\{(6,6); (6,\bar 6); (\bar 6,6)\}$

Damit ist

$P(E)=P(6,6) + P(6,\bar 6) + P(\bar 6,6) = \frac1{36}+\frac{5}{36}+\frac{5}{36}=\frac{11}{36}$

Übrigens hier hättest du auch das Gegenereignis von $E$ betrachten können $\bar E$ „keine $6$“ mit $P(\bar E)=P(\bar 6,\bar 6)=\frac{25}{36}$. Da die Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses und dessen Gegenereignisses sich immer zu $1$ addieren gilt

$P(E)=1-P(\bar E)=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$

Videos in diesem Thema

Baumdiagramme

Baumdiagramme

Baumdiagramme erleichtern ungemein den Umgang mit komplizierten Zufallsversuchen. Wenn du einen Zufallsversuch als Baumdiagramm aufschreibst, kannst du alle…

Baumdiagramme – Erklärung (1)

Baumdiagramme – Erklärung (1)

Baumdiagramme strukturieren Ergebnismengen. Es geht dabei immer um einen Zufallsversuch, dessen Ergebnismenge strukturiert wird - zum Beispiel um den Zufallsversuch des…

Baumdiagramme – Erklärung (2)

Baumdiagramme – Erklärung (2)

Es ist oftmals gar nicht so einfach, aus einer gegebenen Sachsituation heraus zu erkennen, um welchen Zufallsversuch es geht und insbesondere auch um welche…

Baumdiagramme vereinfachen (1)

Baumdiagramme vereinfachen (1)

Unter gewissen Umständen ist es möglich aus komplizierten Baumdiagrammen ein sehr viel einfacheres Baumdiagramm zu machen. Wie das geht, zeige ich dir nun im Video.…

Baumdiagramme vereinfachen (2)

Baumdiagramme vereinfachen (2)

Unter gewissen Umständen ist es möglich aus komplizierten Baumdiagrammen ein sehr viel einfacheres Baumdiagramm zu machen. Wir haben im letzten Video bereits das…

Baumdiagramme – Beispiel zweifacher Münzwurf

Baumdiagramme – Beispiel zweifacher Münzwurf

Hier lernst du ein Baumdiagramm zu erstellen. Dazu betrachten wir einen sehr einfachen zweistufigen Zufallsversuch, das zweimalige Münzwerfen. Wir werfen also zweimal…

Baumdiagramme – Übung

Baumdiagramme – Übung

In diesem kleinen Übungsvideo hast du die Möglicheit, dein Wissen über Baumdiagramme zu festigen und anzuwenden. Zunächst gibt es eine kurze Wiederholung zu…

Baumdiagramme und Zufallsversuche

Baumdiagramme und Zufallsversuche

Herzlich Willkommen zu einem Einführungsvideo in die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ich möchte dir in diesem Video erklären, wie du zu einem Zufallsversuch ein…

Baumdiagramme und Pfadregel – Beispiele

Baumdiagramme und Pfadregel – Beispiele

In diesem Video kannst du dein Wissen über Baumdiagramme und die Pfadregel festigen. Anhand von Alltagsbeispielen kannst du üben, die Pfadregel richtig anzuwenden, um so…

Baumdiagramme und Pfadregel – Erklärung

Baumdiagramme und Pfadregel – Erklärung

In diesem Video zeige ich dir die Pfadregel des Baumdiagramms. Nach einer kurzen Wiederholung der Baumdiagramme wirst du anhand von Alltagsbeispielen die Pfadregel…

Baumdiagramme und Pfadregel – Erklärung mit Bruchstreifen (1)

Baumdiagramme und Pfadregel – Erklärung mit Bruchstreifen (1)

Ziel der Wahrscheinlichkeitsrechnung für komplexe Zufallsversuche die Wahrscheinlichkeit für die unterschiedlichsten Ereignisse zu berechnen. Dazu gehören auch…

Baumdiagramme und Pfadregel – Erklärung mit Bruchstreifen (2)

Baumdiagramme und Pfadregel – Erklärung mit Bruchstreifen (2)

Weiter geht es nun schon im zweiten Teil meines Videos zu mehrstufige Zufallsversuche. Wir betrachten das Beispiel mehrfaches Werfen einer Münze. Anhand dieses Beispiels…

Baumdiagramme und Pfadregel – Erklärung mit Knete

Baumdiagramme und Pfadregel – Erklärung mit Knete

Die Pfadmultiplikationsregel (oder auch Pfadregel,Produktregel) lautet: Die Warhscheinlichkeit eines Ergebnisses erhält man durch Multiplizieren der Wahrscheinlichkeiten…

Baumdiagramme und Pfadregel – Baumdiagramme vervollständigen

Baumdiagramme und Pfadregel – Baumdiagramme vervollständigen

Gegeben ist ein Baumdiagramm, das einen Zufallsversuch mit den Ereignissen A und B beschreiben soll. Es sind aber nicht alle Wahrscheinlichkeiten gegeben, so dass die…

Baumdiagramme und Summenregel – Beispiele

Baumdiagramme und Summenregel – Beispiele

In diesem Video sehen wir und nach einer kurzen Wiederholung drei Beispiele zur Anwendung der Summenregel bei Baumdiagrammen an. Dabei spielen Zufallsversuche mit und…

Baumdiagramme und Summenregel – Erklärung

Baumdiagramme und Summenregel – Erklärung

Hallo, In diesem Video erkläre ich dir die Summenregel bei Baumdiagrammen. Mit deinem Vorwissen über Baumdiagramme und über die Pfadregel zeige ich dir, wofür man die…

Pfadregel und Summenregel

Pfadregel und Summenregel

Hallo. In diesem Video erkläre ich dir, was ein Baumdiagramm ist, wofür man eines braucht und wie man damit rechnet. Ich zeige dir ein Baumdiagramm zu einem Experiment,…

Pfadregel und Summenregel – Erklärung

Pfadregel und Summenregel – Erklärung

Teilt man eine Ergebnismenge eines Zufallsversuchs zunächst in Ereignisse ein, so wird die Gesamtwahrscheinlichkeit des Zufallsversuchs - nämlich 1 - auf diese…

Pfadregel und Summenregel – Beispiel

Pfadregel und Summenregel – Beispiel

Mit der Pfadmultiplikationsregel (Produktregel, Pfadregel) und der Pfadadditionsregel (Summenregel) kannst du Wahrscheinlichkeiten in Baumdiagrammen ausrechnen. Nach der…

Pfadregel und Summenregel – Übung 1 (1)

Pfadregel und Summenregel – Übung 1 (1)

Ich möchte dir in diesem Video einmal vormachen, wie schnell du Aufgaben in der Wahrscheinlichkeitsrechnung mit Hilfe von Baumdiagrammen lösen kannst. Dazu habe ich mir…

Pfadregel und Summenregel – Übung 1 (2)

Pfadregel und Summenregel – Übung 1 (2)

Weiter geht es mit Teil 2, indem ich dir demonstrieren möchte, wie schnell du Aufgaben in der Wahrscheinlichkeitsrechnung mit Hilfe von Baumdiagrammen lösen kannst. Dazu…

Pfadregel und Summenregel – Übung 2 (1)

Pfadregel und Summenregel – Übung 2 (1)

Ich möchte dir noch einmal vormachen, wie schnell du Aufgaben in der Wahrscheinlichkeitsrechnung mit Hilfe von Baumdiagrammen lösen kannst. Dazu habe ich mir folgenden…

Pfadregel und Summenregel – Übung 2 (2)

Pfadregel und Summenregel – Übung 2 (2)

Weiter geht es mit Teil 2 der zweiten Übung, indem ich dir demonstrieren möchte, wie schnell Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe von Baumdiagrammen berechnen kannst. Dazu…

Pfadregel und Summenregel – Kugeln ziehen (1)

Pfadregel und Summenregel – Kugeln ziehen (1)

Wenn du Baumdiagramme behandelst, bekommst du bestimmt auch mal eine Aufgabe, in der Kugeln gezogen werden. Hier geht es nun um das zweifache Ziehen von Kugeln und die…

Pfadregel und Summenregel – Kugeln ziehen (2)

Pfadregel und Summenregel – Kugeln ziehen (2)

Wenn du Wahrscheinlichkeitsrechnung machst, bekommst du bestimmt irgendwann eine Kugel-zieh-Aufgabe. In dieser Aufgabe geht es um das zweifache Ziehen mit Zurücklegen.…

Pfadregel und Summenregel – Kleidung auswählen

Pfadregel und Summenregel – Kleidung auswählen

Kennst du die Situation: Du stehst vor deinem Kleiderschrank und weißt nicht, was du anziehen sollst? Diese Problematik kann mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung…

Arbeitsblätter zum Ausdrucken zum Thema Baumdiagramme und Pfadregel

Vorschaubild 18163

Baumdiagramme – Übung

Anzeigen Herunterladen
40a82a99f920713df3c4a94a0a3dbc5c 1

Baumdiagramme und Pfadregel – Erklärung

Anzeigen Herunterladen
Titelbild

Baumdiagramme und Summenregel – Erklärung

Anzeigen Herunterladen
Vorschaubild 18161

Pfadregel und Summenregel

Anzeigen Herunterladen