Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Stochastische Unabhängigkeit

Hallo! Was ist die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse? Darum soll es in diesem Film gehen. Ich möchte eine Kleinigkeit vorausschicken: Es gibt die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse und es gibt auch die stochastische Unabhängigkeit zweier Zufallsversuche. Das machen wir hier aber nicht, das Zweite. Sondern wir machen das Erste. Das heißt, wir haben einen Zufallsversuch, wir haben zwei Ereignisse, die heißen A und B zum Beispiel. Und jetzt kann A unabhängig vom Ereignis B sein - und zwar genau dann, wenn der Wahrscheinlichkeitsanteil von A in B gleich der Wahrscheinlichkeit von A ist. Das können wir uns auch noch aufschreiben. Das bedeutet also der Wahrscheinlichkeitsanteil von A in B ist ja die bedingte Wahrscheinlichkeit es ist die  Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingungen B. Und wenn A unabhängig von B ist, dann ist das hier gleich der Wahrscheinlichkeit von A. Dann möchte ich noch eine kleine Umformung zeigen, die den Zusammenhang hier noch ein bißchen deutlicher macht. Man kann die Definition für die bedingte Wahrscheinlichkeit hier hinschreiben, und zwar haben wir ja die Wahrscheinlichkeit von A ∩ B geteilt durch die Wahrscheinlichkeit von B. Das ist nichts anderes als die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B. Das ist also jetzt hier auch gleich P(A). Und wenn man jetzt hier mit P(B) multipliziert, erhält man P (A ∩ B). P(A) × P(B). Die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge von A und B ist gleich dem Produkt aus den Wahrscheinlichkeiten von A und von B. So kann man das übrigens auch definieren, die stochastische Unabhängigkeit. Dann - darauf wollte ich nämlich hinaus - sieht man hier etwas deutlicher, dass wenn A unabhängig von B ist, dann ist auch B unabhängig von A. Und das können wir auch noch mal sehen, wenn wir das noch weiter umformen. Und zwar wenn man jetzt durch P(A) teilt. Dann erhält man P(A ∩ B) / P(A) ist dann nämlich dann gleich P(B) und das ist nichst anderes als die bedingte Wahrscheinlichkeit, nämlich die Wahrscheinlichkeit B unter der Bedingung A ist jetzt gleich der Wahrscheinlichkeit von B. Damit sieht man halt, dass diese beiden Aussagen äquivalent sind. Wenn A unabhängig ist von B, dann ist auch B unabhängig von A. Das habe ich hier auch noch mal in Schriftform. So sieht es aus. Zu dieser ganzen Situation gibt es auch noch eine Veranschaulichung, wer hätte das gedacht. Also stellen wir uns mal einen Zufallsversuch vor. Wir haben hier eine Grundmenge, dieses große Rechteck hier ist die Grundmenge. Und da ist die Wahrscheinlichkeit so verteilt und wir haben ein Ereignis B und das Ereignis B hat eine Wahrscheinlichkeit von zwei Dritteln, entsprechend des Flächenanteils hier von 2/3 an der Gesamtheit. 1/3 der Wahrscheinlichkeit entfällt auf nicht-B. Jetzt möchte ich noch ein Ereignis A und damit auch ein Ereignis nicht-A hier einzeichnen. Und das Ereignis A, das soll hier oben irgendwo sein. Und die Wahrscheinlichkeit von A soll 1/2 sein. Es ist übrigens egal, welche Zahlen man da nimmt, man kann das mit allen möglichen Wahrscheinlichkeiten machen. Ich nehme hier jetzt nur mal einfache Zahlen wie eben 2/3 und 1/2 damit man halbwegs vernünftige Zahlen im Kopf hat. Ja, ich glaube, das ist erkennbar, dass hier diese Fläche die Hälfte der Gesamtfläche ist und damit hat also das Ereignis A die Wahrscheinlichkeit 1/2. Wenn jetzt A und B unabhängig sein sollten oder genauer gesagt hier A unabhängig von B sein sollte, dann müsste gelten, dass die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B gleich der Wahrscheinlichkeit von A ist. Die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B ist der Wahrscheinlichkeitsanteil von A in B. Der ist hier aber größer als 1/2. Ja, das ist ja mehr als die Hälfte der Fläche von B. Na ja - und wenn das so aussieht, dann sind die eben nicht stochastisch unabhängig. Die Frage ist jetzt natürlich: Wie müsste ich denn diese Linie zeichnen, damit A unabhängig von B ist? Dann müsste der Wahrscheinlichkeitsanteil von A in B auch 1/2 sein. Und ich glaube, so kommt es ungefähr hin. Ja, das ist hier die Hälfte von B. Und jetzt kommt der eigentliche Punkt dieser Veranschaulichung. Damit A die Hälfte der Gesamtfläche bekommt, weil ja A die Wahrscheinlichkeit 1/2 hat, muss ich diese Linie jetzt gerade weiter ziehen. Ja, wenn ich jetzt hier oben weiter zeichnen müsste, dann wäre die Wahrscheinlichkeit von A ja nicht 1/2, wenn ich hier unten weiter zeichnen müsste, dann wäre sie auch nicht 1/2, sondern wäre dann größer. Also diese Linie muss ich gerade durchziehen, damit die Wahrscheinlichkeit von A gleich 1/2 ist. Das heißt im Klartext, wenn A unabhängig von B ist, dann kann man diese Linie hier gerade durchziehen. Umgekehrt gesagt: Wenn man diese Linie hier gerade durchziehen kann, dann sind A und B stochastisch unabhängig voneinander. Und ich grinse deshalb so wie ein Honigkuchenpferd, weil ich das oft erlebt habe, dass Schüler den Begriff der stochastischen Unabhängigkeit doch irgendwie kompliziert finden. Man kann ihn hier anschaulich zurückführen auf das gerade Durchziehen einer Linie. Ja, mehr ist es nicht. Und - finde ich - das ist Mathematik. Das macht richtig Spaß, wenn man große Begriffe doch einfach zeigen kann. Übrigens, was hier noch auffällt bei diesem Gemälde, das ein bisschen an Pete Mondrian vielleicht erinnert, er hat ja immer versucht, das perfekte Bild zu malen. Ich weiß ja nicht, ob er da an stochastische Unabhängigkeit gedacht hat. Über belehrende Kommentare diesbezüglich würde ich mich freuen. Also wenn man das jetzt dreht, dann ändert sich ja diese Gesamtstruktur nicht und man kann da also leicht sehen: Wenn A unabhängig ist von B, dann ist auch B unabhängig von A. Oder man kann auch überlegen, was ist dann mit nicht-B, was ist mit nicht-A. Das funktioniert da genauso. Man kann übrigens auch sehen, hier angewandte Bruchrechnung noch mal: A ∩ B hat ja hier bei uns eine Wahrscheinlichkeit von 1/3. Oder für dich auch so herum. Und was passiert denn, wenn man die Wahrscheinlichkeit von A, 1/2, mit der Wahrscheinlichkeit von B, 2/3, multipliziert? Da erinnerst du dich vielleicht noch an die Einführung der Bruchrechnung, als man Brüche mit Flächen dargestellt hat und Schokoladen geteilt hat und so was. Nichts anderes ist das hier auch. Also da kann man alles Mögliche sehen in dieser kleinen interessanten Zeichnung bis auf vielleicht die Lottozahlen der nächsten Woche. Aber das ist vielleicht jetzt auch hier nicht unbedingt nötig. Also ich find´s toll. Viel Spaß damit. Tschüss.      

Informationen zum Video