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Transkript Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle

In diesem Video geht es um die Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle des Definitionsbereichs und in einem Intervall. Anschaulich bedeutet Stetigkeit, dass ich die Funktion zeichnen kann, ohne dabei den Stift abzusetzen. Stetigkeit an einer Stelle bedeutet dabei, dass ich das in der Umgebung eines bestimmten x-Wertes machen kann. Das würde jetzt hier an der Stelle x0 nicht funktionieren, aber an der Stelle x1, da kann ich ohne abzusetzen durchzeichnen. Die formale Definition lautet so: Sei f(x) eine reelle Funktion und x0 aus dem Definitionsbereich, dann heißt f stetig in x0, wenn zu jedem ε>0 ein Zahl δ>0 existiert, sodass für alle x aus dem Definitionsbereich, die nicht weiter als δ(x0) entfernt sind gilt, dass der Funktionswert nicht weiter als ε vom Funktionswert von x0 entfernt ist. Gehen wir noch mal zurück zu unserem Beispiel und schauen uns an, was das eigentlich heißt. Wir betrachten x1 und dessen Funktionswert f(x1). Von dem Funktionswert tragen wir nach oben und nach unten den Abstand ε ein. In diesem Stück der Kurve sind also die Funktionswerte nicht weiter als ε von f(x1) entfernt. Und wir wollen jetzt wissen, welche x-Werte eben genau zu diesem Stück der Kurve gehören und wie weit die höchstens von dem x1 entfernt sind. Und diesen Abstand nennen wir dann δ. Wir suchen also eine Umgebung von x1, die uns garantiert, dass die Funktionswerte der Werte aus dieser Umgebung nicht weiter als ε vom Funktionswert von f(x1) entfernt sind. Das δ hängt also vom ε ab. Wenn wir nun an der Stelle x0 z.B. dieses ε wählen, finden wir kein δ das klein genug ist, die Funktionswerte der entsprechenden x-Werte nah genug aneinander zu bringen. Der Abstand entspricht immer dem Sprung, den die Funktion an der Stelle macht. Rechnen wir mal ein Beispiel. Wir nehmen die Funktion x2-3 und die Stelle x0=2, d.h. f(x0)=1. Wir suchen also jetzt für jedes ε>0 ein δ, sodass für alle x, die von Wert 2 nicht weiter als δ entfernt sind gilt, f(x) ist von 1 nicht weiter entfernt als ε. f(x)-1=x2-4, also müssen wir Betrag von x2-4<ε betrachten. Der Graph der Funktion sieht ungefähr so aus, und wir befinden uns jetzt immer in der Nähe vom x-Wert 2. Wenn x größer ist als 2, können wir den Betrag weglassen und können umstellen zu 2<x<\sqrt(4+ε). Ist x kleiner als 2 ist der Term im Betrag negativ und wir setzen ein - davor und setzen wieder <ε. Das ergibt diesmal \sqrt(4-ε)<x<2. Insgesamt haben wir also für unsere x-Werte diesen Spielraum zur Verfügung, um nicht aus dem ε-Abstand raus zu kommen. Unser δ wäre dann der kleinere der beiden Abstände dieser Zahlen von der 2. Nehmen wir z.B. ε=0,1, dann darf sich x zwischen \sqrt3,9 und \sqrt4,1 bewegen. Für δ könnte man dann z.B. den Wert 0,02 nehmen. Nächste Definition: Eine reelle Funktion f heißt "stetig im Intervall AB", wenn sie stetig an allen Stellen x0 aus dem Intervall ist. Im Intervall AB kann ich sie also zeichnen ohne abzusetzen, egal was außerhalb davon passiert. Was sind so die typischen Vertreter stetiger Funkionen? Die ganzrationalen Funktionen sind stetig. Exponentialfunktionen sind stetig, Wurzelfunkionen in ihrem Definitionsbereich, Sinusfunktionen, Cosinusfunktionen und sogar Summen und Produkte stetiger Funktionen, wobei man da auch jeweils wieder auf den Definitionsbereich achten muss. Wenn man das alles so sieht, dann könnte man ja denken, dass doch eigentlich jede Funktion wenigstens an irgendeiner Stelle ein Stückchen stetig sein muss. Aber es gibt tatsächlich auch Funktionen, die nirgendwo stetig sind. Diese z.B., die hat den Wert 0, falls x rational ist und 1, falls x irrational ist. Würde man versuchen, die zu zeichnen, hätte man bei y=0 unendlich viele ganz, ganz dicht liegende Punkte und bei y=1 auch. Man findet aber überall zwischen 2 rationalen Zahlen immer noch eine irrationale und zwischen 2 irrationalen immer noch eine rationale, sodass sich keine Lücke schließen lässt. Das war´s zur Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle.

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5 Kommentare
  1. Default

    Welche der Funktionen ist nicht auf ganz R (Menge der reellen Zahlen) stetig?
    f(x) = (x - 0,5)² - 3
    f(x) = 1/(x - 1)
    f(x) = x + π

    ist es bei f(x) = 1/(x-1) nicht einfach so, dass es nicht auf ganz R definiert ist? aber trotzdem stetig ist? oder wie muss man das verstehen?

    Von Camz, vor fast 4 Jahren
  2. Bewerbungsfoto

    Eigentlich kannst du ε so groß wählen, wie du willst. Du musst nur ein δ finden, das kleiner ist. Aber sinnvoller ist es natürlich, ein kleines ε zu wählen.

    Von Steve Taube, vor mehr als 6 Jahren
  3. Default

    ε darf nicht beliebig groß werden, oder ?

    Von Robin Ms, vor mehr als 6 Jahren
  4. Bewerbungsfoto

    Man hat sozusagen eine Bildungsvorschrift gefunden, die einem sagt, wie klein man das Delta wählen muss, damit f(x0±δ) zwischen f(x0)-ε und f(x0)+ε liegt. Genau das sagt die Definition der Stetigkeit. Du sagst mir ein ε und gibst damit sozusagen einen Bereich (einen Gürtel) um f(x0) vor (nämlich von f(x0)-ε bis f(x0)+ε), aus dem ich nicht herausgeraten darf. Ich bin nun gezwungen x-Werte zu finden, die in der Nähe von x0 liegen und deren Funktionswerte in deinem Gürtel liegen.
    Noch genauer: Ich muss sogar ein δ finden, das mir einen Bereich um x0 vorgibt, nämlich x0-δ bis x0+δ, aus dem ich mir dann einen x-Wert aussuchen kann, dessen Funktionswert f(x) dann in dem von dir bestimmten Gürtel liegt.
    Hier ist es so: Du sagst mir das ε. Dann schaue ich, welcher Wert näher an der 2 dran ist: Wurzel(4-ε) oder Wurzel(4+ε). Dann bestimme ich den Abstand des näheren Wertes zur 2. Und mein δ muss dann kleiner als diese Zahl sein.

    Von Steve Taube, vor fast 7 Jahren
  5. Default

    Puuh, das ging echt noch schneller als im Unterricht... Das Beispiel veranschaulicht an der bildlichen Darstellung würde vielleicht helfen. Ich habs jedenfalls auch nach 4 mal anschauen noch immer nicht verstanden. Delta muss einfach immer kleiner sein als E oder was? Und der Beweis dass das so sein soll, also das wird mir aus dem Video auch nicht klar....

    Cheerio.

    Von Nokomprendonada, vor fast 7 Jahren