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Transkript Schnittwinkel zweier Ebenen (1)

Hallo, wir haben einen Würfel, mit der Kantenlänge 4. Hier gezeichnet, da als Modell. In diesem Würfel befindet sich ein Dreieck, das Dreieck (M1/M2/E). Das sind die Koordinaten von M1 und M2, das sind die Seitenmitten zweier Würfelseiten. Der Punkt ist auch gegeben (0/0/4). Es ist also ein Würfel mit der Kantenlänge 4. Hier ist er noch mal so aufgebaut. Und wir haben weiterhin gegeben einen Normalenvektor, nämlich einen Normalenvektor der Ebene, die durch das Dreieck führt. Dieser Normalenvektor soll mal n1 heißen und er hat die Koordinaten (1/1/1). Zu bestimmen ist jetzt der Schnittwinkel der Ebene, in der das Dreieck liegt, das rote Dreieck, mit der Koordinatenebene xy, mit der xy-Ebene. Also hier ist eine Ebene, in der das Dreieck liegt mit dem Normalenvektor. Es gibt die Koordinatenebene xy, die da unten. Die beiden Ebenen haben einen Schnittwinkel und der ist jetzt zu berechnen. Wie machen wir das? Stellen wir uns mal ganz dumm, ja tun wir natürlich nicht, sondern man geht einfach nach Definition vor. Wir haben Cosinus von Phi, das soll der Schnittwinkel sein, ist gleich das Skalarprodukt der beiden Normalvektoren n1 und n2. n1 und n2 sollen jetzt die Normalenvektoren der beiden Ebenen sein, die geschnitten werden. Von diesem Skalarprodukt müssen wir den Betrag bilden. Oft wird das Skalarprodukt hier mit diesem Stern angedeutet, ich mache es meist mit einem Punkt, kann man sich darüber streiten, was das Beste ist. Dann brauchen wir hier im Nenner den Betrag des Vektors, so groß muss es ja nun auch nicht sein, den Betrag des Vektors n1 mal Betrag des Vektors n2. So das ist die Situation, so rechnet man den Cosinus aus. Und jetzt möchte ich das einsetzen, was hier in der Aufgabe gefragt ist. Für n1 setze ich diesen Normalenvektor ein und dann muss ich mir noch überlegen: Was ist n2? Das ist ein Normalenvektor der xy-Ebene und da kann ich mich kurzfassen. Der Normalenvektor muss ja quasi rechtwinklig aus dieser Ebene herauskommen. Das ist die y-Achse, die da so rechtwinklig zur x-Achse und zur y-Achse ist. Der Normalenvektor ist (0/0/1) zum Beispiel. Ich könnte auch (0/0/17) nehmen, aber warum, ich bin ja nicht doof, auch wenn das manchmal so aussieht. Ich nehme (0/0/1) als Normalenvektor. Eine Einheit auf der z-Achse nach oben, der Normalenvektor tut es. So dann muss ich jetzt einfach mal das Skalarprodukt bilden von n1, das ist also (1/1/1) mal (0/0/1) und davon den Betrag. Auch da kann ich mich kurzfassen. Da kann ich den Bruchstrich direkt hinschreiben. Ich muss rechnen 1 mal 0 + 1 mal 0 + 1 mal 1. Das ist 1. Der Betrag von 1 ist 1. Jetzt brauche ich den Betrag des Vektors n1. Diesen Betrag erhalte ich, indem ich die Koordinatenquadrate addiere und daraus die Wurzel ziehe. Also 12+12+12 und daraus die Wurzel mal, die Betragsstriche kann ich jetzt lassen, weil die Wurzel immer positiv ist, die Länge des Vektors n2. Das heißt die Länge des Vektors, oder Betrag des Vektors, n2 des Vektors also (0/0/1). Und auch da kann ich mich kurzfassen. Ich muss das nicht alles aufschreiben, so wie hier. Die Länge ist 1, das darf man ruhig wissen. Also kommt hier einfach mal 1 hin und damit ist das dann auch schon schnell erledigt. 12 ist 1. 1 + 1 + 1 ist 3. Die Wurzel aus 3 ist die Wurzel aus 3. Ja, auch dazu braucht man keinen Taschenrechner. Es würde dir überhaupt nichts bringen, wenn du das jetzt hier als Dezimalzahl ausrechnest. 1 durch Wurzel 3. Das kommt raus, wenn man hier so rechnet. Wenn man also den Cosinus des Schnittwinkels ausrechnet, der ist dann 1 durch Wurzel 3. Und wenn ich jetzt den Winkel Phi haben will, den werde ich nur ungefähr bestimmen können, dann muss ich natürlich rechnen: Arcus Cosinus von 1/3.Wo habe ich meinen Rechner? Ja, das weiß ich auch nicht auswendig. Das rechne ich auch nicht im Kopf nach. Dafür hat man Taschenrechner. Wichtig hierbei: Es kommt immer wieder vor, das dann 1 durch 1/3 hier eingegeben wird. Davon wird der Cosinus ausgerechnet und dann kommt natürlich Unfug raus. Es ist cos^-1, also die Umkehrfunktion. Den reziproken Wert bilden davon, und jetzt Inverse Cosinus, und komme auf ungefähr 54,736 Grad. Also cos^-1 von 1/3, von 1 geteilt durch Wurzel 3 meine ich. Ich kann mir einfach die Wurzel 3 ausrechnen. Nicht vergessen, da sind Grad angegeben. Du kannst das auch im Bogenmaß machen, mir ist das egal. Das ist auf jeden Fall eine richtige Lösung und hier muss ich auf jeden Fall noch mal darauf eingehen. Ich habe jetzt auf 3 Stellen nach dem Komma gerundet. Frage: Ist das sinnvoll? Also wenn nichts weiter dasteht, runde auf die 18. Stelle oder runde auf die 1. Stelle nach dem Komma. Oder so etwas in der Richtung. Dann ist, egal wie du das machst, es muss nur widererkennbar sein. Also wenn du jetzt, sage ich mal, auf die 2. Stelle vor dem Komma rundest, ist das sicher zu wenig, ist das zu ungenau. Es muss also klar ersichtlich sein, das du deinen richtigen Wert bekommen hast. Und es ist auch wichtig, ob du ihn hinterher noch mal brauchst, für weitere Aufgaben. Wenn ja, rechne ihn lieber genauer aus, als ungenau. Aber ich habe jetzt auf die 3. Stelle gerundet. Warum? Weiß ich nicht so genau, habe ich einfach mal so gemacht. Ich musste mich entscheiden. Gut, das ist die Lösung so weit. Schnittwinkel ist ausgerechnet. Viel Spaß damit. Bis bald. Tschüss.

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    Von Kate Accident, vor mehr als 3 Jahren