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Transkript Logistisches Wachstum – Zusammenfassung

Mathematik macht Spaß! Thema heute, das logistische Wachstum. Falls ihr von exponentiellen Wachstumsprozessen bisher nur wenig gehört habt, solltet ihr euch das Video zum begrenzten Wachstum anschauen, außerdem wäre es gut, wenn ihr den Unterschied zwischen begrenztem und unbegrenztem also dem natürlichen Wachstum kennt. Die Links hierfür findet ihr unter dem Video. Das Ziel dieses Videos ist es das logistische Wachstum zu verstehen und mit der zugehörigen Funktion umgehen zu können. Damit euch der Einstieg in diese Thematik leichter fällt, möchte ich das logistische Wachstum an einem Beispiel erklären. Klopf klopf, das ist das Mathemännchen. Das Mathemännchen lebt in einem begrenzten Lebensraum, dem grünen Feld. Die Anzahl der Mathemännchen, also dem aktuellen Bestand N(t) wollen wir in einem Diagramm festhalten. Zeitpunkt 0. Am Anfang der Population befindet sich nur ein Mathemännchen auf dem Feld. Das Reservoir um ihn herum bietet viel Platz zum Leben. Da ihm aber langweilig ist und er einen Mathepartner sucht, beschließt er sich zu teilen. Also sind es zum Zeitpunkt 1 schon 2 Mathemännchen. Die Mathemännchen sind sich untereinander immer gleich und deshalb merken sie schnell, dass es auch zusammen langweilig ist. Darum teilen sie sich immer wieder und die Population wächst, aber sie wächst nicht irgendwie, sondern anfangs exponentiell unbegrenzt, in etwa so. N(t)=2t, demnach bekommen wir zum Zeitpunk 2 schon 4 und für t=3 8 Mathemännchen, aber diese Art des unbegrenzten Wachstums wird nicht fortgesetzt, denn der Lebensraum der Mathemännchen ist begrenzt, das bekommen wir schon zum Zeitpunk 4 zu spüren. Der Bestand müsste jetzt auf 16 ansteigen, aber wie ihr seht haben sich nicht alle Männchen geteilt. Es sind nur 14, es war einfach nicht genug Platz vorhanden für den Teilungsvorgang von zwei der Mathemännchen. Geht dieser Prozess nun weiter, seht ihr, dass es immer weniger Mathemännchen gibt, die sich teilen. Irgendwann teilt sich keines mehr und die Bestandsgrenze ist erreicht. Diese Schranke nennt sich Grenzbestand G und müsste euch schon vom begrenzten Wachstum bekannt sein. Schauen wir uns den Graphen noch ein Mal genauer an. Wir sehen, dass das vorerst unbegrenzte Wachstum plötzlich in ein begrenztes Wachstum übergegangen ist. Dieser charakteristische Verlauf beschreibt das logistische Wachstum. Dabei ist die Wachstumsgeschwindigkeit proportional zum aktuellen Bestand. Also, je mehr Mathemännchen, desto mehr können sich natürlich teilen und proportional zur Differenz aus Wachstumsgrenze und Bestand, also dem verbleibenden Lebensraum. Man nennt diese Differenz auch Reservoirgröße. Mit den beiden Proportionalitäten kann die folgende logistische Wachstumsgleichung formuliert werden. Mit dieser Gleichung können wir jedoch kaum etwas anfangen, da wir ja gar nicht wissen, wie groß der Bestand zu einem bestimmten Zeitpunkt ist. Deshalb ist die Wachstumsfunktion für uns noch viel wichtiger, denn sie beschreibt den Bestand, also zum Beispiel die Anzahl unserer Mathemännchen zu einem gewählten Zeitpunkt. Die Funktion lautet: N(t)=(N0×G)/(N0+(G-N0)×e-Gkt). Wie ihr sicher erkennen könnt, besteht sie aus dem Anfangsbestand zurzeit t=0 also N0 und dem Grenzbestand G. Außerdem findet ihr im Exponenten der e-Funktion die Zeitkonstante k, die oft durch Umstellen ermittelt werden muss. Die Variable t gibt die verstrichene Zeit an. Jetzt wollen wir diese Funktion mal mit Leben erfüllen. Dafür nehmen wir das Beispiel mit den Mathemännchen und versuchen alle Unbekannten zu bestimmen. Am Diagramm lassen sich zwei Werte unserer Funktion einfach ablesen. Der Anfangsbestand zur Zeit t=0 N0=1. Die Wachstumsobergrenze unserer Funktion haben wir mit der roten Linie gekennzeichnet und sie hat den Wert 30, G ist also 30. Verbleibt also nur noch die Konstante k. Puhh, gar nicht so einfach oder? Wie würdest du das denn machen? Halte das Video kurz an und überlege dir eine Schrittfolge. Okay, es gibt zwei verschiedene Schrittfolgen, mal sehen, ob deine dabei ist. Die Erste könnte ungefähr so aussehen, ma setzt einen bekannten Wert in die Funktion ein, also zum Beispiel N(3)=8 und stellt dann nach der Konstanten k um. In Schrittfolge 2 macht man das einfach genau so, nur anders herum. Erst umstellen und dann einsetzen. Obwohl diese Folge nach dem Umstellen eine erschreckende Gleichung liefert, wollen wir es trotzdem mal wagen. Um nach k umstellen zu können, wird die e-Funktion mit dem Exponenten logarithmiert, allerdings muss sie dafür alleine auf einer Seite stehen. Für diesen Zweck dividieren wir durch N0×G und bilden das Reziproke der gesamten Gleichung. Wenn wir jetzt N0 subtrahieren und durch G-N0 dividieren ist die e-Funktion alleine auf einer Seite. Logarithmiert und durch -G×t geteilt, haben wir es endlich geschafft. Erkennt ihr die Schönheit dieser Gleichung? Ja, dieses ist praktisch eine Universalgleichung für k, denn wir haben noch keine Unbekannten eingesetzt. Das Einsetzen und Ausrechnen müsste ja jetzt nicht mehr schwerfallen. k ergibt in unserem Beispiel 0,026. Mit der erhaltenen Gleichung können wir jetzt die Anzahl der Mathemännchen zu jedem beliebigen Zeitpunkt bestimmen.Überprüft doch mal das Mathemännchen Diagramm, indem ihr einen Zeitpunkt auswählt, in die Funktion einsetzt und den aktuellen Bestand ermittelt. Das ist nicht das Einzige, was ihr mit solchen Funktionen machen könnt, denn das logistische Wachstum findet in sehr vielen Prozessen Anwendung. Zum Beispiel beim Wachstum eures Körpers oder eurer Zimmerpflanze oder das Wachstum einer Bakterienpopulation. Das Prinzip bei diesen Vorgängen ist immer gleich. Am Anfang ist das Wachstum noch etwas träge, kommt aber immer mehr in Fahrt, bis es einen gewissen Wendepunkt erreicht hat, ab dem es beginnt langsam zu werden und schließlich mit Erreichen der Obergrenze komplett beendet ist. Der Wendepunkt der logistischen Funktion liegt bei G/2 und ist der Punkt mit der größten Wachstumsgeschwindigkeit. Fassen wir das Gelernte noch einmal zusammen. Die logistische Wachstumsfunktion lautet: N(t)=(N0×G)/(N0+(G-N0)×e-Gkt). In allgemeiner Form wird die eulersche Zahl einfach mit einer Zahl größer 1 ausgetauscht, auch hier erhaltet ihr den charakteristischen s-förmigen Verlauf, welcher den Übergang von anfangs unbegrenztem Wachstum in das begrenzte Wachstum darstellt. Grenzbestand G und Anfangsbestand N0 solltet ihr zum Erstellen der Gleichung immer erkennen. Der Wendepunkt ist bei G/2 zu finden, bei ihm ist die Wachstumsgeschwindigkeit maximal. Übrigens stammt der Name "logistisches Wachstum" von einem belgischen Mathematiker, es ist nicht ganz bekannt, was er sich dabei gedacht hat. Das war es für heute. Ich wünsche weiterhin viel Spaß mit Mathematik.

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