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Transkript Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen – unendlich viele Lösungen

Hallo, lineare Gleichungssysteme, das sind solche Gleichungssysteme, die auf diese Form hier gebracht werden können. Solche Gleichungssysteme können Lösungen haben, zum Beispiel genau eine Lösung. Das hab ich im letzten Film gezeigt. Solche Gleichungssysteme können aber auch unendlich viele Lösungen haben. Und wie das geht, möchte ich jetzt mal zeigen. Und da ist mir also was ganz besonders Dummes eingefallen. Das ist eine Gleichung mit 2 Variablen. Die hat natürlich unendlich viele Lösungen. Was heißt unendlich? Meistens haben solche Gleichungen unendlich viele Lösungen. Und zwar dann, also man kann jetzt irgendwas für x einsetzen. Wenn ich jetzt für x zum Beispiel 2 einsetze, dann muss y=-1 sein, damit hier im Ganzen 1 raus kommt. Ich könnte auch für x 1/2 einsetzen, für y auch 1/2, dann würde hier auch 1 raus kommen. Also das ist eine normale Sache, dass eine lineare Gleichung mit 2 Variablen unendlich viele Lösungen hat. Und wenn ich das so jetzt als Gleichungssystem schreiben darf, was nun wirklich außerordentlich stumpf ist, steht die gleiche Gleichung noch mal da. Nun, das ist ein Gleichungssystem, es hat diese Form, und immer, wenn die obere Gleichung ein Lösungspaar hat, also 2 Zahlen, die die Gleichung löst, dann gilt das für die untere Gleichung auch. Ich kann auch das ein bisschen anders machen. Und zwar, indem ich eine Äquivalenzumformung mache. Ich könnte zum Beispiel, die ganze Gleichung mit 2 multiplizieren. Dann muss ich auf der linken Seite jeden Summanden mit 2 multiplizieren und dann bekomme ich eine neue Gleichung. Das bedeutet also, wenn die 2. Gleichung aus der 1. durch Äquivalenzumformung hervor geht, dann hat dieses Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Falls natürlich die 1. Gleichung unendlich viele Lösungen hat. Denn eine Äquivalenzumformung stellt ja sicher, dass die Lösungsmenge sich nicht ändert. Wenn also schon die 1. Gleichung unendlich viele Lösungen hat, dann hat die 2. Gleichung genau die gleiche Lösungsmenge. Also haben alle zusammen auch unendlich viele Lösungen. Was noch geht, ist folgende Situation. Wir haben eine Gleichung, die so aussieht: x+0×y=-1 wollte ich haben. Und ich mache mal eine Äquivalenzumformung damit. Ich multipliziere die 1. Gleichung mit 3, um die 2. zu erhalten. Und da mag sich mancher denken, die 1. Gleichung hat doch gar nicht unendlich viele Lösungen, denn die 1. Gleichung kann ich folgendermaßen schreiben: 0×y kann ich ja weglassen und dann steht da x=-1. Was nun? Es ist nicht ganz richtig, dass diese Gleichung hier dieselbe ist, wie die. Diese Gleichung hier ist eine Gleichung mit 2 Variablen. Das ist eine Gleichung mit einer Variablen. Ich kann diese Gleichung mit etwas Böswilligkeit auffassen, als eine Gleichung mit 2 Variablen. Dann hat sie aber auch unendlich viele Lösungen. Nämlich folgende, das sind alle Zahlenpaare, für die gilt, dass der 1. Teil hier -1, wenn ich für x -1 einsetze, ist die Gleichung ja richtig. Und der 2. Teil dieses Zahlenpaares ist egal, da kann ich irgendeine Zahl einsetzen, denn 0× irgendeine Zahl ergibt immer 0. Die Gleichung ist dann immer richtig, sofern nur für x -1 eingesetzt wird. So kommt man also zu Gleichungssystemen mit unendlich vielen Lösungen. Und im nächsten Film möchte ich dann zeigen, welche Gleichungssysteme es gibt, die keine einzige Lösung haben. Dann viel Spaß weiterhin, bis bald, tschüss.

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2 Kommentare
  1. Thomas

    @Thorleif Hoffmann: Die lineare Gleichung X+Y=1 hat unendlich viele Lösungen. Wenn X=1/2 und Y=1/2 ist, dann ist diese Gleichung erfüllt, denn es gilt: 1/2 + 1/2 = 1. Also ist dies eine der unendlich vielen Lösungen für diese lineare Gleichung.

    Von Thomas Scholz, vor 9 Monaten
  2. Default

    Wenn sie bei x 1/2 einsetzen und bei y 1/2 würde die Gleichung keinen sinn ergeben. oder?

    Von Thorleif Hoffmann, vor 9 Monaten