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Transkript Lagebeziehungen zweier Ebenen – Schnitt zweier Ebenen (2)

Hallo! Wir haben 2 Ebenen in Parameterform und wir möchten wissen, ob diese beiden Ebenen sich schneiden, ob sie parallel oder ob sie identisch sind. Ich habe das schon gezeigt bei 2 Ebenen in Parameterform, die sich schneiden. Wenn man die beiden gleichsetzt, erhält man ein Gleichungssystem und aus diesem Gleichungssystem erhält man eine Schnittgerade.  Jetzt zeige ich den Fall, in dem 2 Ebenen parallel sind. Die beiden sind parallel ist jetzt für dich noch nicht sichtbar, aber ich weiß es schon. Und auch die kann man gleichsetzen und dann passiert was anderes, als dass man eine Schnittgerade herausbekommt und was da genau passiert, das zeige ich jetzt mal. Also wenn du danach gefragt wirst, ob die beiden Ebenen, die du gegeben hast, sich schneiden, ob sie identisch sind oder ob sie parallel sind, das heißt, also kein Schnittpunkt haben dann kannst du dir als erstes Mal die Ebenen scharf angucken. Und zwar kannst du mal gucken, ob die beiden Stützvektoren gleich sind, wenn sie gleich sind, haben sie einen Schnittpunkt, das heißt, sie könnten sich schneiden oder identisch sein. Hier ist das nicht der Fall. Die beiden Stützvektoren sind unterschiedlich. Der untere Stützvektor hier (0,0,0)^-> ist, tut nichts weiter zur Sache. Das vereinfacht die Rechnung von der Methode her überhaupt nicht. Ich muss dann nur weniger Umformungen machen, deshalb habe ich den so gewählt. Funktioniert aber mit allen anderen Stützvektoren ganz genauso.  Dann kann man sich angucken, ob die Richtungsvektoren, die man hier vorgegeben hat, ob die so Vielfache voneinander sind oder ob man das irgendwas erkennen kann. Sind sie jetzt auch nicht. Ich kann da jetzt nicht unbedingt was erkennen und dann kann man sich noch überlegen, wo die Ebenen herkommen, wie die definiert sind und ob man aus der Vorgeschichte der Ebenen vielleicht schon schließen kann, ob sie parallel-identisch oder sich schneidend sind. Das ist hier alles nicht der Fall. Wissen nichts über die Ebenen, die sind einfach so gegeben. Was machen wir dann? Wir setzen die beiden Ebenen gleich und lösen das Gleichungssystem auf und gucken mal, was passiert. Und das Gleichsetzen funktioniert so. Zeige ich noch mal eben. Brauche ich ein bisschen Platz hier. So geht das. Also ich nehme einfach diesen Term hier und setze ihn da dran und da ist das Gleichheitszeichen  dazwischen und dann können wir diese Gleichung, die entstanden jetzt ist, zeilenweise lesen und dann erhalten wir 3 Gleichungen. Und ich die 1. Zeile lese ich mal vor, die entsteht. Das ist 1+r×(-1)+s×(3)=0+k×4+m×(-1). Ja und so weiter, das geht jetzt also mit den 3 Zeilen. Man erhält dann 3 Gleichungen und die formt man dann weiter um. Zunächst mal guckt man, dass man alle Variablen auf eine Seite bekommt und das habe ich hier schon mal vorbereitet.  Also die Variablen auf eine Seite, die Zahlen auf die andere Seite und das kommt dann dabei raus. Jetzt ist die Taktik nach wie vor, dass wir dieses Gleichungssystem so umformen, dass wir eine Zeile bekommen, in der nur noch 2 Parameter vorkommen, und zwar Parameter einer Ebene. Das könnte hier also sein r und s. Ja, so kann man das Gleichungssystem verändern, dass dann in einer Zeile nur noch r und s vorkommen und k und m nicht mehr, das bedeutet, dass dann die Koeffizienten 0 sind oder man kann auch so umformen, dass in einer Zeile nur noch k und m vorkommen und r und s nicht mehr. Man kann das auch anders machen, aber dann es geht viel umständlicher. Ich habe mich hier dafür entschieden so umzuformen, dass in der letzten Zeile nur noch k und m vorkommt. Ich hätte auch ausnutzen können, dass hier das s schon nicht mehr existiert, beziehungsweise der Koeffizient von s=0 ist. So viel Ersparnis ist es jetzt auch nicht. Ich mache das jetzt, wie ich es mir vorgestellt habe, und löse nach k und m auf, wie man so sagt. Das bedeutet, wir können ja sowieso eine Zeile eines linearen Gleichungssystems mit einer Zahl ungleich 0 multiplizieren, ohne, dass sich die Lösungsmenge ändert. Wir können auch Zeilen zueinander addieren, ohne dass sich die Lösungsmenge ändert und das macht man sich hier beim Umformen dieses Gleichungssystems zunutze. Ich möchte die 1. Zeile verfünffachen und die 2. Zeile davon abziehen und das ist dann meine neue 2. Zeile. Außerdem möchte ich die 1. Zeile minus die Dritte rechnen und das ist dann die neue 3. Zeile, die dann entsteht. Und auch das habe ich dann schon mal heimlich vorbereitet. Da ist es.  Das habe ich deshalb so gemacht, damit hier und hier das r nicht mehr steht, in der 2. und 3. Zeile, denn das führt jetzt dazu, dass man diese beiden letzten Zeilen so umformen kann, dass das s hier nicht mehr steht und dann hat man ja eine Gleichung, in der nur noch k und m vorkommt. Was passiert jetzt, wenn man das so machen möchte? Also ich sehe hier, was das s angeht, ich muss also die 2. Zeile nehmen und das Dreifache der 3. Zeile davon abziehen, damit hier eine 0 auftritt. Damit der Koeffizient von s 0 ist und das passiert dann auch. Ich schreibe jetzt einfach mal die 0 da hin. Wenn man jetzt rechnet -15k und das Dreifache von -5k abzieht, dann erhält man auch eine 0. 9m -das Dreifache von 3m ist auch 0 und -5-das Dreifache von -2, musste man ja auch auf der Zeile rechnen. Das ist 1. Und das ist der typische Fall, der dabei herauskommt, wenn man versucht dieses Gleichungssystem aufzulösen und die Ebenen sich nicht schneiden. Man erhält einen Widerspruch: 0?1. Dieses Gleichungssystem ist nicht lösbar und daraus kann man eben folgern, dass die beiden Ebenen parallel sind. Ich habe am Anfang gesagt, es ist gut sich das vorher anzugucken, sich die beiden Ebenen angucken, sich zu überlegen, wo die kommen. Denn dieses Verfahren ist doch relativ fehleranfällig, man muss viele kleine Umformungen machen. Hinterher erhält man einen Widerspruch und möchte daraus folgern, dass die beiden Ebenen parallel sind. Das setzt aber voraus, dass man hier wirklich alles richtig gerechnet hat. Der Widerspruch kann ja auch deshalb auftreten, weil man sich irgendwo verrechnet hat. Habe ich auch in der Vorbereitung dieses Films mehrmals getan. Also mir passiert das auch, aber jetzt ist es richtig. Alles richtig gerechnet, trotzdem Widerspruch erhalten, also sind die Ebenen parallel. Viel Spaß damit, tschüss!

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