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Transkript Lagebeziehungen zweier Ebenen – Schnitt zweier Ebenen (1)

Hallo, es geht um 2 Ebenen, die sich schneiden und wir möchten die Schnittgerade ausrechnen. Beide Ebenen sollen in Parameterform gegeben sein. Und das hab ich hier schon mal vorbereitet. Also ich hab jetzt E:x= usw. weggelassen. Das ist die eine Ebene in Parameterform und hier hab ich das mit dem E auch weggelassen, das ist die andere Ebene in Parameterform. Und die werden beide gleichgesetzt. Und auf diese weise kann man die Schnittgerade ausrechnen. Ich geh jetzt hier nicht darauf ein, was passiert, wenn die sich gar nicht schneiden. Das kann ja auch passieren. Was man dann macht, zeige ich in einem anderen Film. Hier haben wir einen Fall, in dem sich die beiden Ebenen schneiden. Wenn man das hier teilweise interpretiert, erhält man ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 4 Variablen. Ich habe das schon mal hier vorbereitet und habe aber die, diese beiden hier, hab ich schon mal auf die andere Seite gebracht. Aus k×3 wird dann -3k usw., muss ich nicht weiter erklären. Die Einsen hab ich hier stehen lassen. Und die Nullen, deshalb hab ich das so gewählt, kann ich sowieso einfach weglassen, muss ich da nicht mehr rechnen. Wenn da jetzt keine Nullen stehen funktioniert das natürlich genau so. Dann kann man die Zahlen hier auf diese Seite bringen, dann erhält man ein Gleichungssystem dieser Art. 3 Gleichungen, 4 Variablen ist normalerweise nicht eindeutig lösbar. Das heißt, es gibt unendlich viele Lösungen. Das ist auch richtig so, denn wenn sich 2 Ebenen schneiden, dann bilden die ja eine Schnittgerade. Das sind mehrere Punkte, das sind unendlich viele Punkte. Und deshalb gibt es hier auch unendlich viele Lösungen. Wie ist die Taktik jetzt dabei? Wir möchten am Ende, vielleicht in der 3. Zeile, eine Gleichung haben, in der nur noch k und m vorkommen. Also nur die beiden Parameter hier, dieser 2. Ebene in Parameterform. Man kann das genauso gut machen, dass man eine Gleichung erzeugen möchte, in der nur noch r und s vorkommt. Also die beiden anderen Parameter der anderen Parameterform. Ich habe mich hier für k und m entschieden, es ist letzten Endes egal. Was muss ich dazu machen? Ich kann jetzt die Gleichungen hier so umformen, dass zum Beispiel hier, in der ersten Spalte, in der 2. und 3. Zeile, eine 0 steht. Und danach kann ich noch mal so umformen, mit der 2. und 3. Gleichung, das hier auf der Stelle, 2. Stelle, 3. Zeile, eine 0 steht. Wenn das der Fall ist, dann steht in der 3. Zeile nur noch ein Term mit k und m. Und dann schauen wir mal weiter, dann sind wir fast fertig. So, das mache ich eben. Ich hab schon angekündigt, was ich vorhabe. Nämlich 3 mal die 1. Gleichung und dann die 2. abziehen. Und dann in der 3. Zeile 2 mal die 1. und dann die 3. abziehen. Und die 1. Zeile bleibt einfach stehen, wie sie ist. Manchmal lässt man das auch weg, wenn man es eilig hat. Aber wir haben ja Zeit, hoffe ich. Und dann schreib ich das aus. Also hier entsteht, ich schreib das so ab, weil ich das eben auch vorbereitet habe, 8s-5k-5m=2 und wir haben als 3. Gleichung, ja und da passiert es, dass freundlicherweise das s auch gleich mit wegfällt -8k+m=1. Das passiert normalerweise nicht. Da muss man, also wenn hier noch was steht, muss man sich noch mal die 2. und 3. Zeile vornehmen und eine ähnliche Umformung machen, damit hier auch eine 0 auftaucht. Hier hat es beim 1. Mal schon geklappt, wie schön. So, dass ist das Gleichungssystem, um das es jetzt geht. Und wir können hier aus der 3. Zeile folgern, dass m=1+8k ist. Was bringt uns das jetzt? Das bringt uns folgendes, wir können hier statt m 1+8k einsetzen. Das bringt uns das. Und das führt auf folgenden Term: (1,1,1)+k×, das schreib ich einfach ab, da hat sich nichts geändert, und dann setzen wir eben statt m 1+8k ein und schreiben den Richtungsvektor ab, also (1,-2,3), gleich, naja, das kann man hier noch ausrechnen, muss ich nicht weiter erklären. Es wird ja hier jeweils mit einer Zahl multipliziert, Skalare, Multiplikation, nicht das Skalarprodukt selbstverständlich. Und heraus kommt folgendes (2,-1,4)+k(11,-15,22). Und damit sind wir eigentlich schon fertig. Wir müssen uns nur noch überlegen, was soll das Ganze jetzt? Das hier ist eine Geradengleichung, ein Term, der eine Gerade definiert. Und das ist die Schnittgerade. Die Taktik dabei ist, dass man halt in einer Parameterform einen Parameter durch einen Term, in dem der andere Parameter vorkommt, ersetzt. Und wenn man das dann zusammenrechnet, bekommt man eine Geradengleichung heraus. Hätte mit r und s in der anderen Parameterform genau so funktioniert. Jetzt kann man das natürlich noch testen. Gibt viele Möglichkeiten, man kann jetzt noch r und s ausrechnen, wenn man möchte. Und dann schauen, ob man eine Gerade bekommt, die identisch mit der hier ist. Man kann auch einfach mit diesem Term hier Punkte ausrechnen und schauen, ob sie dann in der anderen Ebene liegen. Wenn man 2 Punkte hat, müsste das eigentlich schon reichen. Dann kann man schon sicher sein, dass man richtig gerechnet hat, weil ja eine Gerade durch 2 Punkte definiert wird. Wie auch immer. Hier möchte ich es dabei mal bewenden lassen. Aufgabe ist gelöst, testen mache ich nicht mehr. Viel Spaß damit, tschüss.

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1 Kommentar
  1. Default

    Ich verstehe nicht wie du bei der Schnittgrade auf den Stützvektor
    (2/-1/4) gekommen bist.
    Kann man nicht einfach den Stützvektor (1/1/1) benutzen?

    Von Mongo12, vor fast 4 Jahren