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Transkript Lagebeziehungen zweier Ebenen – Parallelität prüfen (2)

Hallo! Wenn du Ebenen gegeben hast, könnte es interessant sein zu wissen, ob diese Ebenen parallel sind. Wenn du nur wissen möchtest, ob sie parallel sind oder nicht, und nicht vielleicht die Schnittgerade ausrechnen möchtest, falls sie nicht parallel sind usw., dann empfiehlt es sich, Normalenvektoren der Ebenen zu vergleichen. Wenn du eine Ebene in Parameterform hast, dann hast du noch keinen Normalenvektor und musst erst einen bilden. Du kannst das machen mit Gleichungen, mit einem Gleichungssystem. Das Verfahren zeige ich hier nicht, habe ich in den Filmen gezeigt, in denen es darum ging, aus einer Ebene in Parameterform eine Darstellung in Normalenformen zu machen, denn dabei geht es ja darum, einen Normalenvektor hierzu zu finden. Ich möchte hier zeigen, wie das schnell geht, und zwar mit dem Kreuzprodukt. Mit dem Kreuzprodukt kann man schnell einen Normalenvektor einer Ebene finden. Und zwar bilde ich hier das Kreuzprodukt mit der Merkregel, man kann es natürlich auch einfach nach Definition machen. Die Merkregel lautet so, dass man also hier den einen Richtungsvektor, hier, zweimal quasi untereinanderschreibt und den anderen Richtungsvektor auch, der steht hier zweimal untereinander, und dann rechnet man: Die beiden multipliziert, minus die beiden multipliziert, das ist der 1. Eintrag, dann Produkt der beiden minus Produkt dieser beiden, hier 2. Eintrag, das mal das minus das mal das, ist dann der 3. Eintrag. Hier habe ich noch alle Koordinaten des Vektors durch 5 geteilt, manchmal ist das ganz praktisch, wenn man das mit anderen Vektoren vergleichen möchte, dass man da nicht so große Zahlen stehen hat. Übrigens, warum geht das, warum darf ich das einfach durch 5 teilen? Es kommt ein anderer Vektor raus, deshalb habe ich auch nur das Entsprechungszeichen hingeschrieben und nicht das Gleichheitszeichen, aber wenn man alle Einträge hier durch 5 teilt, dann bekommt man einen Vektor, der die gleiche Richtung hat. Und nur die Richtung ist ja interessant, wenn man wissen will, ob zwei Ebenen parallel sind. So, wenn man jetzt einen solchen Normalenvektor hat, einer Ebene in Parameterform, dann kann es passieren, dass man die 2. Ebene auch noch in Parameterform gegeben hat. Da sage ich jetzt aber nichts zu, das ist natürlich das gleiche Verfahren, man macht da auch einen Normalenvektor dazu, habe ich in einem anderen Film gezeigt, kommt jetzt nicht noch mal. Mal angenommen, wir haben jetzt also hier eine Parameterform und eine andere Form, zum Beispiel eine Koordinatenform, und haben jetzt einen Normalenvektor dieser Ebene in Parameterform schon gebildet, dann brauchen wir nur noch die beiden Normalenvektoren hier zu vergleichen. Denn die Koeffizienten der Ebene in Koordinatenform, oder der Koordinatenformdarstellung der Ebene, diese Koeffizienten bilden einen Normalenvektor, einen Vektor, der senkrecht zur Ebene ist. In dem Fall ist das der Vektor -2, 1, -3. Wenn nichts vor dem x2 steht, dann steht da ja eine 1, weil 1×x2=x2. Und wenn wir uns das jetzt so überlegen, also -2, 1, -3 ist ein Normalenvektor dieser Ebene und vergleichen das mal mit dem hier, dann sehen wir, naja, wir müssen einfach nur hier mit -1 multiplizieren und erhalten diesen Normalenvektor. Und dann wissen wir, dass diese beiden Ebenen - bzw. die Ebene, die jetzt hier drunterliegt, dass die parallel sind. Es reicht ja, also sie müssen nicht so die gleiche Richtung haben, sie können auch entgegengesetzte Richtungen haben, auch dann sind die Ebenen parallel, wenn die Normalenvektoren also entgegengesetzte Richtungen haben. Das bedeutet, die Normalenvektoren müssen einfach linear abhängig voneinander sein, dann sind die Ebenen parallel. Jetzt kann es passieren, dass man eine Normalenform gegeben hat und noch eine andere Form. Dann braucht man eben nur noch zu wissen, dass hier der Normalenvektor steht. Auch wenn man jetzt diesen Vektor und diese Differenz hier vertauscht, oft wird das ja auch so herum dargestellt, dann kannst du auch den Normalenvektor finden. Ja, in dem Fall ist der Normalenvektor 4, -2, 6. Und auch da kann man, glaube ich, leicht erkennen, dass der ein Vielfaches dieses Normalenvektors ist. Nämlich, wenn man diesen Vektor hier mit -2 multipliziert, erhält man den hier. Wenn man den Vektor mit 2 multipliziert, erhält man den. Das heißt, wir haben jetzt hier lauter Ebenen, die parallel sind. Und das kann man einfach dadurch erkennen, dass Normalenvektoren der Ebenen linear abhängig sind, das heißt, Vielfache voneinander sind. Vielleicht müßig zu erwähnen: Wenn man eine Ebene in Normalenform hat und eine in Koordinatenform, dann kann man ja die beiden Normalenvektoren direkt ablesen und dann sieht man das eigentlich schon, ob die parallel sind oder nicht. Viel Spaß damit. Tschüss!

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2 Kommentare
  1. Thomas

    @Gallon: Die Vorzeichen spielen beim Vergleich zweier Vektoren eine wichtige Rolle. Es genügt nicht, nur die Koeffizienten zu betrachten.
    Die Regel ist: Zwei Vektoren sind parallel, wenn sie kollinear sind. Was bedeutet, dass es einen Faktor k gibt, mit dem man den ersten Vektor in den zweiten umwandeln kann. Beim Beispiel aus dem Video ist dieser Faktor k = -1. Multiplizierst du alle Koordinaten des einen Normalenvektors mit -1, so erhältst du den zweiten Normalenvektor und weißt, dass die beiden Vektoren parallel sind.

    Zum Beispiel sind die beiden Vektoren (1 2 3) und (-1 -2 3)
    [(x y z)] nicht parallel, da es hier keinen solchen Faktor k gibt.

    Hingegen sind die Vektoren (1 2 3) und (-2 -4 -6) parallel, da es hier einen solchen Faktor gibt. Der Faktor hier ist k=-2

    Ich hoffe ich konnte dir helfen.

    Von Thomas Scholz, vor 12 Tagen
  2. Default

    Wenn ich das Kreuzprodukt gebildet habe und den Vektor dann mit den Koeffizienten der Koordinatenform vergleiche: spielen da die Vorzeichen eine Rolle oder nur die Koeffizienten?
    Vielen Dank!

    Von Gallon, vor 13 Tagen