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Transkript Lagebeziehungen zweier Ebenen – Parallelität prüfen (1)

Hallo. Ich habe hier 2 Ebenen in Parameterform und wir wollen wissen, ob diese beiden Ebenen parallel sind. Also, ich weiß es schon. Sie sind nicht nur parallel, sie sind sogar identisch. Das heißt, es ist eigentlich eine Ebene, die da steht, die in 2 verschiedenen Parameterformen dargestellt ist. Aber normalerweise weiß man das ja nicht vorher und fragt sich dann, sind die beiden Ebenen, die hier dargestellt werden parallel oder sind sie es nicht. Normalerweise, wenn man wissen will, wie die beiden Ebenen zueinander liegen, setzt man sie gleich, löst das Gleichungssystem auf und erhält entweder eine Schnittgerade, einen Widerspruch oder lauter Nullen. Jetzt mal verkürzt gesagt. Dementsprechend schneiden die Ebenen sich oder sind parallel oder sind identisch. Wenn man aber das nicht wissen will, sondern nur wissen will, ob die Ebenen parallel sind. Dann empfiehlt sich nicht das Gleichsetzen, sondern man bildet Normalenvektoren der Ebenen und sieht nach, ob diese Normalenvektoren linear abhängig sind. Bei 2 Vektoren heißt das, der eine muss Vielfaches des Anderen sein. Man kann relativ einfach, und ohne viel Aufwand Normalenvektoren finden, wenn man das Kreuzprodukt verwendet. Das geht auch anders, mit Gleichungssystemen und so, zeige ich jetzt aber nicht, hab ich gezeigt bei der Umwandlung von einer Ebene, von einer Parameterform in eine Normalenform, da kommt es ja darauf an, dass man einen normalen Vektor findet. Hier möchte ich das jetzt zeigen mit dem Kreuzprodukt, dass man anwenden kann, um Normalenvektoren zu finden und ja, welche Folie, welche Tafel hab ich hier gegriffen, das ist die von dieser zweiten Ebene hier, da haben wir einmal den Richtungsvektor 4, 5, -1 und den Richtungsvektor -1, 4, 2. Wenn man die beide so untereinanderschreibt, kann man das Kreuzprodukt leicht mit dieser Merkregel bilden, wo dann welche Kreuze entstehen, man kann natürlich auch einfach die Definition verwenden, das ist auch kein Problem. Ich möchte das jetzt hier mit der Merkregel machen und dann fängt man hier mit dem Kreuz an und rechnet 5×2 - -1×4. Das ist 14. Nächstes Kreuz, -1×-1-4×2. Das ist -7. Drittes Kreuz 4×4-5×-1. Das ist 21. Und man kann jede Zahl, also jede Koordinate des Vektors nun noch durch 7 teilen und erhält den Vektor 2 -1 3. Manche sagen auch man würde den Vektor kürzen, ich mag das nicht, weil man nur Brüche kürzen kann. Aber hier kommt es nicht auf die Länge des Vektors an, sondern es kommt nur auf die Richtung an. Und diese beiden Vektoren haben ja die gleiche Richtung. Wenn man das so macht, kann man vielleicht den Vektor, der jetzt hier entstanden ist, mit dem nächsten Vektor, also dem Normalenvektor zu dieser Ebene hier besser vergleichen. Das habe ich auch mal vorbereitet. Das sieht dann so aus. Auch hier haben wir wieder das Kreuzprodukt. Mit dem Kreuzprodukt können wir einen Normalenvektor finden. Wir fangen hier an mit dem Kreuz -5×-2- -1×0, das ist 10. -1×3- -1×2, das ist -5. Und -1×0 - -5×3, das ist 15. Diesen Vektor, die Koordinaten dieses Vektors können wir nun alle durch 5 teilen und erhalten 2, -1, 3. das ist ein Vektor, der die gleiche Richtung hat wie dieser hier. Deshalb, ich hab hier kein Gleichheitszeichen stehen, sondern das Entsprechungszeichen, sie sind ja nicht gleich, haben aber die gleiche Richtung. Wenn wir das jetzt Mal mit dem anderen Normalenvektor vergleichen, sehen wir, beide Normalvektoren haben die gleiche Richtung und damit können wir also sicher sein, dass diese beiden Ebenen die hier gegeben sind, also mindestens parallel sind, wenn nicht gar identisch. Wie gesagt, die beiden sind identisch. Was müsste man machen, um das jetzt noch nachzuweisen? Wenn man schon weiß, dass sie parallel sind, dann reicht es zu zeigen, dass ein Punkt der Ebene auch Punkt der anderen Ebene ist. Wenn sie so parallel sind und einen Abstand haben, dann haben sie keinen einzigen Punkt gemeinsam. Wenn sie aber schon quasi so die gleiche Richtung haben und ein Punkt hier in dieser Ebene ist, dann sind sie also zusammen, dann sind sie identisch. Ja, das war es dazu. Viel Spaß. Tschüss

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