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Transkript Lagebeziehungen zweier Ebenen – Parallelität

Hallo, wir haben 2 Ebenen gegeben, eine in Koordinatenform und eine in Parameterform. Und wir wollen wissen, wie ist die Lage dieser beiden Ebenen zueinander. Ich erkläre kurz das Verfahren und danach erkläre ich es ausführlich. Wir können die Parameterform zeilenweise hier in die Koordinatenform einsetzen und dann erhalten wir eine Gleichung mit 2 Variablen, nämlich r und s. Sollte es möglich sein, dass wir diese Gleichung z. B. nach s auflösen können, dann können wir hier in der Parameterform das s durch einen Term mit r ersetzen. Und wenn wir das dann zusammenfassen, erhalten wir eine Geradengleichung. Diese Geradengleichung stellt dann die Schnittgerade der beiden Ebenen dar. Sollte sich ein Widerspruch ergeben, wenn wir also hier die Parameterform in die Koordinatenform einsetzen, dann sind die beiden Ebenen parallel und verschieden. Wenn man eine immer richtige Gleichung erhält, dann sind die beiden Ebenen identisch. So, das war die Kurzform, jetzt kommt die ausführliche Form: Wenn wir für r und s Zahlen einsetzen, erhalten wir immer Punkte einer bestimmten Ebene, wenn wir diesen Term dann also noch ausrechnen. Wir wollen nun wissen, ob es Punkte gibt, deren Koordinaten folgende Eigenschaft haben: x1 - 2 × x2 - 3 × x3 = 10 .  Wenn es solche Punkte gibt, und zwar kommen nur Punkte infrage, die so erzeugt worden sind, dann liegen diese Punkte in beiden Ebenen. Und um das zu klären, nehmen wir eine Gleichung. In der Gleichung steht vorne, also hier, die erste Koordinate, die entsteht, wenn wir einen Punkt dieser Ebene ausrechnen. Die erste Koordinate ist dann die 1 + r × 6 + s × -1, was man natürlich auch so schreiben kann. Dann nehmen wir eine so erzeugte Koordinate, durch diese Parameterform erzeugte Koordinate, hinzu, multiplizieren sie mit 2 und ziehen sie ab, dritte Koordinate genauso, multiplizieren sie mit 3 und ziehen sie auch ab. Und wenn dann 10 herauskommt, dann ist ein so erzeugter Punkt auch ein Punkt der anderen Ebene, die hier in Koordinatenform dargestellt wird. Ansonsten, wenn dich die Begründung nicht interessiert, kannst du natürlich auch einfach das abschreiben, was hier steht. Ja? Einfach das hier hier einsetzen und die Gleichung lösen, geht natürlich auch. In dem Fall, kommt heraus, dass sich die beiden Variablen hier also aufheben, sie sind eben irgendwie nicht mehr da, sie ergeben nicht zu Null, und zahlenmäßig sieht das dann so aus: Auf der linken Seite steht -8 und auf der rechten Seite steht +10.  -8 = 10  Das ist ein Widerspruch, und der Widerspruch sieht nun so aus, egal was wir für s und was wir für r einsetzen, wir erhalten eine immer falsche Gleichung. Das bedeutet dann, dass diese beiden Ebenen parallel und verschieden sind. Ja, und vielleicht kennst du dies aus anderen Zusammenhängen, egal was man macht, es ist immer falsch. Ja, und das kommt in Beziehungen auch schon mal vor und wenn man das jetzt mal weiter übertragen möchte, könnte es ja sein, dass die beiden Partner, bei denen das so ist, keinen Punkt gemeinsam haben. Zwei Ebenen, die parallel sind, haben auch keinen Punkt gemeinsam. Na ja, aber was das dann heißt, erzähle ich jetzt nicht weiter.

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2 Kommentare
  1. Flyer wabnik

    @Seher: Das ist eine Gleichung wie z.B. diese hier:
    3x+x=4x
    Egal, welche Zahl man für x einsetzt: Die Gleichung ist immer richtig.

    Von Martin Wabnik, vor fast 3 Jahren
  2. Default

    Hallo,

    ich habe da mal kurz eine Frage zu dieser Aussagen:
    "Wenn man eine immer richtige Gleichung erhält, dann sind die beiden Ebenen identisch."
    Was verstehen Sie unter einer richtigen Gleichung?

    Gruß Yeliz :)

    Von Seher, vor fast 3 Jahren