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Transkript Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Beispiel 3 (5)

Hallo! So, jetzt kommt der letzte Teil dieser Funktionsuntersuchung, dieser Kurvendiskussion. Das ist unsere freundliche Funktion hier, und wir haben die Wendepunkte schon erledigt und kommen zum Monotonieverhalten. Was muss man da machen, beim Monotonieverhalten? Man muss sich die Nullstellen der 1. Ableitung angucken. Die Nullstellen der 1. Ableitung sind -⅓ und -3, ich darf das kurz mal hier in einem angedeuteten Koordinatensystem hinschreiben. Wir haben hier ca. -⅓ und da ungefähr -3. Wir wissen jetzt, dass die 1. Ableitung hier eine Parabel ist, weil sie ja 2. Grad hat, wir wissen, dass die Parabel nach oben geöffnet ist und deshalb wissen wir auch, dass die Parabel ungefähr so verläuft. Hier ist es nur interessant, wo ist die Funktion größer und wo ist sie kleiner als 0. Wenn man das nicht so erkennen kann, wie der Verlauf ist, kann man auch hier zum Beispiel 2 Nullstellen nehmen und einen Funktionswert der 1. Ableitung zwischen diesen beiden Nullstellen ausrechnen. Wenn der negativ ist, ist die 1. Ableitung im gesamten Bereich zwischen diesen beiden Nullstellen negativ. Das macht man bei anderen Nullstellen natürlich auch, oder hier links der am weitesten links liegenden Nullstelle. Oder rechts der am weitesten rechts liegenden Nullstelle kann man auch jeweils einen x-Wert in die 1. Ableitung einsetzen und den entsprechenden y-Wert dazu ausrechnen. Wenn der größer als 0 ist, ist die 1. Ableitung im gesamten Bereich rechts der am weitesten rechts liegenden Nullstelle größer als 0. Damit ist also klar, dass von -∞ bis -3 diese Funktion steigt, da in diesem Bereich die 1. Ableitung positiv ist - wenn die 1. Ableitung positiv ist, steigt die Ausgangsfunktion. Im Bereich zwischen -3 und -⅓ ist die 1. Ableitung negativ, deshalb fällt diese Funktion. Und für x-Werte größer als -⅓ ist die 1. Ableitung positiv - die Ausgangsfunktion steigt in diesem Bereich. Damit ist das Monotonieverhalten auch geklärt. Wie du das aufschreiben sollst, weiß ich nicht, da möchte jeder Lehrer was Unterschiedliches haben, deshalb schreibe ich das erst mal gar nicht auf, und hoffe, dass das so in Ordnung ist. So, jetzt müssen wir noch den Graphen zeichnen und da habe ich mal etwas vorbereitet - nämlich die Dinge, die wir schon wissen. Wir wissen, dass der Graph überall definiert ist, das hab ich jetzt hier nicht weiter aufgeschrieben. Es ist keine Symmetrie vorhanden, das haben wir auch schon uns angesehen, habe ich hier auch nicht aufgeschrieben. Verhalten im Unendlichen ist hier angedeutet, für x gegen -∞ geht der Graph gegen -∞ und für x gegen +∞ geht der Graph auch gegen +∞. Dann bei Punkt Nummer 4 haben wir gesehen, der Schnittpunkt mit der y-Achse ist bei bei -9 und die Schnittpunkte mit der x-Achse sind bei -3 und 1. Ableitungen tun jetzt erst mal nix zur Sache, aber bei den Extrempunkten zeigen sie was sie können: wir haben einen Tiefpunkt und einen Hochpunkt. Hier habe ich die Koordinaten, das natürlich gerundet, hingeschrieben, damit ich dass jetzt hier besser verwenden kann. Und wir haben in 7 einen Wendepunkt gefunden. Und die müsste ich jetzt alle berücksichtigen, wenn ich den Graphen zeichne. Ja, dann habe ich das hier schon einmal ein bisschen vorbereitet. Hier ist -3, das wird dann noch eine Rolle spielen. Hier ist 1. Wir haben einmal das Monotonieverhalten, das heißt, der Graph wird irgendwie hier hingehen, in die Richtung irgendwo, und da in die Richtung gehen. Das wissen wir schon mal. Dann wissen wir, dass der Schnittpunkt mit der y-Achse bei -9 ist, das ist hier. Also hier geht der Graph durch die y-Achse. Dann sind Nullstellen bei -3 und 1, also hier und da. Dann haben wir einen Tiefpunkt bei -⅓, das ist hier ungefähr. Und -9,5, das ist also hier ungefähr, da ist ein Tiefpunkt. Ein Hochpunkt ist bei (-3/0), das heißt dann müsste das hier so ungefähr verlaufen und da so ungefähr. Einen Wendepunkt haben wir bei -1,7 ca. ein gerundetere Wert. -1,7 ist dann hier, schätze ich ungefähr, das heißt, wir haben hier einen Wendepunkt bei -4,7. Also da ist ungefähr -4,7. Ich hoffe, du kannst das jetzt sehen, da ist ungefähr -4,7. Dann ist hier ungefähr der Wendepunkt. Ja, das kommt so hin - hier geht es nach unten, den lasse ich einfach mal da stehen, hier müsste es da durchgehen und dann so rum. Ich versuch das mal in einem halbwegs vernünftigen Bogen hier hinzukriegen, ist natürlich schwierig auf diese Entfernung. Und da geht es nach oben, ziemlich steil sogar. So ungefähr müsste also der Funktionsgraph aussehen. Das stimmt auch mit dem Monotonieverhalten überein, denn wir haben gesagt links von -3 steigt der Graph, zwischen -3 und -⅓ fällt der Graph, das ist hier. Ab -⅓ aufwärts steigt der Graph wieder. Damit ist alles gesagt. Ich hab das hier auch wieder von Hand vorgemacht, ich weiß auch, dass es Computerprogramme gibt, mit denen man das exakter machen kann. Aber hier geht es mir darum, diese Funktion zu verstehen, ein Gefühl dafür zu entwickeln. Und das macht man am Besten, wenn man es selber macht. Wenn man viele Funktionen untersuchen möchte, viel ändern möchte, dann ist natürlich ein Computerprogramm unschlagbar. Aber hier einmal das mit der Hand zu machen, um die Funktion gut zu verstehen, ist auch sehr nett. Damit ist die Funktionsuntersuchung hier erledigt, die Kurvendiskussion ... viel Spaß damit, tschüss!

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