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Transkript Abstand Gerade-Ebene – Aufgabe (1)

Hallo, wir haben einen Würfel mit eingehängtem Dreieck, hier sind die Daten dazu, da ist das Modell dazu und in dieser Aufgabe geht es um Folgendes: Wir haben eine gerade die durch die Punkte F und H verläuft, also so, da verläuft die Gerade und wir möchten jetzt wissen, hat die Gerade mit der Ebene einen Schnittpunkt oder nicht. Falls sie einen Schnittpunkt haben, werden wir ihn bestimmen. Falls kein Schnittpunkt da ist, sollen wir den Abstand der Geraden zur Ebene, zur Dreiecksebene berechnen. Ich meine, am Anfang ist auch die Dreiecksebene kein Problem. Wie machen wir das? Wir brauchen erst mal die, z.B. die Koordinaten der Dreiecksebene, die ist schon bekannt. Die heißt: x1, x2, x3. x1+x2+x3 meine ich natürlich, gleich 4. Und wir müssen noch feststellen, welche Koordinaten der Punkt F und der Punkt H haben. F hat die Koordinaten 4 0 4 und der Punkt - na das muss man ein bisschen anders schreiben, ich entscheide mich für die Zeilenschreibweise, ansonsten müsst ihr schreiben, das ist der Ortsvektor, also 0F ist. Aber ich möchte das jetzt so herum schreiben. 4 0 4 das ist also F und H hat die Koordinaten - H ist hier - der hat 0 4 4 als Koordinaten. Nun müssen wir daraus zunächst mal eine Geradengleichung machen, das soll ja die Gerade sein, da soll sie verlaufen, sie soll durch die beiden Punkte verlaufen. Dann können wir uns die Sache einfach machen. Wir nehmen 1 Punkt als Stützvektor, hier z.B. 0 4 0 und wir nehmen als Parameter das Lambda und rechnen dann z.B. was habe ich mir da überlegt, den Punkt F minus den Punkt H, dann kommt dabei heraus 4 -4 und 0. Wir können F-H rechnen oder H-F. Das ist jeweils die entgegensetzte Richtung, beide Vektoren sind als Richtungsvektoren unserer Geraden hier auf jeden Fall gut genug. Wenn wir jetzt wissen wollen, ob E und G einen Schnittpunkt haben, dann müssten wir einfach Koordinatenweise die Punkte der Geraden in die Koordinatenform der Ebene einsetzen. Das habe ich auch noch mal allgemein vorbereitet. Das sieht normalerweise so aus. Hier ist also die Geradengleichung, hier ist die Koordinatenform der Ebenengleichung und so wird es dann eingesetzt. Es entsteht eine Gleichung, in der nur noch Lambda unbekannt ist, dann löst man nach Lambda auf, setzt Lamda hier wieder ein und erhält den Schnittpunkt. Bei uns ist das alles ein bisschen einfacher, weil ja a, b und c bei uns gleich 1 sind, hier steht das, ich habe die alle weggelassen, deshalb ist das, was vor den Variablen steht immer gleich 1 und deshalb kann man das hier auch eben schnell erledigen. Die erste Koordinate von G hat die Form 4+λ×4, das setze ich jetzt hier ein für x1. 4+λ×4, 2. Koordinate -4λ und die 3. Koordinate, also die ich jetzt hier einsetze, das ist die 2. Koordinate -4λ habe ich hier für x2 eingesetzt. Für x3 setze ich jetzt ein 4, ja 4 einfach. Und das soll jetzt laut dieser Ebenengleichung hier gleich 4 sein und da können wir schnell nachrechnen: 4+4=8, 4×λ-4λ=0, 8≠4 von daher ergibt sich hier ein Widerspruch und die Folge daraus ist, dass die Ebene und die Gerade parallel sind, sie haben keinen Schnittpunkt, wenn sie einen Schnittpunkt hätten, hätten wir ihn jetzt gefunden, also müssen wir noch den Abstand der Geraden zur Ebene bestimmen, das mache ich im 2. Teil, bis dahin, tschüss.

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