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Kettenregel – Vergiftetes Wachstum – Übungen

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Eine Funktion B(t) beschreibt ein vergiftetes Wachstum, wenn B(t) eine Differentialgleichung der Form B'(t)=(g-st)*B(t) erfüllt. Bei dieser Aufgabe ist eine Funktionenschar der Form B(t)=B(0)*e^(gt-0,5st²) gegeben. Die Funktionen dieser Funktionenschar hängen von B(0), g und s ab. g bezeichnet dabei die Geburtenrate und s bezeichnet die Sterberate vor der Vergiftung. B(0) ist der Anfangswert. Es ist zu zeigen, dass jeder Funktion dieser Funktionenschar eine Differentialgleichung der Form B'(t)=(g-st)*B(t) erfüllt. Bildet man die Ableitung beider Seiten der Gleichung B(t)=B(0)*e^(gt-0,5st²), erhält man eine Differentialgleichung der angegebenen Form. Damit ist gezeigt, dass jede Funktion dieser Funktionenschar ein vergiftetes Wachstum beschreibt. Im Film wird noch besprochen, wie du diese Informationen sinnvoll einordnen kannst.

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Aufgaben in dieser Übung
Beschreibe die Bedeutung der einzelnen Terme.
Bestimme die Ableitung der Funktion $B(t)=B(0)\cdot e^{g\cdot t-0,5s\cdot t^2}$.
Wende die Kettenregel an, um die Funktion $f(x)=e^{2x^2+1}$ abzuleiten.
Ermittle den Funktionsterm $B(t)$, welcher die Differentialgleichung $B'(t)=(13-12t)\cdot B(t)$ erfüllt.
Gib an, wie man nachweisen kann, dass $B(t)$ die Differentialgleichung $B'(t)=(g-s\cdot t)\cdot B(t)$ erfüllt.
Untersuche, für welches $t$ der höchste Wert erreicht wird.