Definition Bernoulli-Versuch

Bei Bernoulli-Versuchen ergibt sich die interessante Fragestellung: Wie oft muss ich den Versuch durchführen, um mit einer gegeben Mindestwahrscheinlichkeit einen Treffer zu erzielen?

Bevor diese Frage beantwortet wird, zunächst noch einmal die Definition eines Bernoulli-Versuchs: Ein n-stufiger Bernoulli-Versuch ist ein n-stufiger Zufallsversuch, bei dem man sich nur dafür interessiert, ob ein bestimmtes Ergebnis eintritt (Erfolg, Treffer) oder nicht eintritt (Misserfolg, Niete). Dabei ändert sich die Wahrscheinlichkeit p für das Eintreten eines Erfolgs (die sogenannte Erfolgswahrscheinlichkeit) während der Versuchsreihe nicht. Die Misserfolgswahrscheinlichkeit q = 1– p des Bernoulli-Versuchs ändert sich dann natürlich auch nicht.

Ein n-stufiger Bernoulli-Versuch kann 0, 1, 2, ..., n Erfolge haben. Die Zufallsgröße X: Anzahl der Erfolge zählt, wie oft der Erfolg eintritt. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau k Erfolge bei einem n-stufigen Bernoulli-Experiment eintreten, beträgt

Formel Bernoulli-Experiment

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X heißt Binomialverteilung.

Das Würfeln mit einem Hexaeder kann man zu einem Bernoulli-Experiment machen, indem man beispielsweise die Augenzahl 6 zum Erfolg erklärt. Die Erfolgswahrscheinlichkeit beträgt dann p = 1/6 und die Misserfolgswahrscheinlichkeit q = 1 – p = 5/6.

Mindestwahrscheinlichkeit und Komplementärregel

Wie oft muss nun ein n-stufiger Bernoulli-Versuch durchgeführt werden, damit mit einer gegebenen Mindestwahrscheinlichkeit M mindestens ein Erfolg eintritt?

Diese Frage lässt sich mithilfe der Komplementärregel beantworten. Man betrachtet zunächst das Gegenereignis (nur Misserfolge) mit der Wahrscheinlichkeit

Formel Misserfolgswahrscheinlichkeit Bernoulli-Experiment

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Erfolg beträgt dann

Formel Bernoulli-Experiment

Sie soll mindestens M betragen, also muss folgende Gleichung erfüllt sein:

Formel Bernoulli-Experiment

Diese Gleichung löst man durch Logarithmieren oder durch Probieren.

Beispiel zur Mindestwahrscheinlichkeit und Komplementärregel:

Wie oft muss gewürfelt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens M = 90% mindestens einmal die Augenzahl 6 auftritt?

Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist p = 1/6, die Misserfolgswahrscheinlichkeit q = 5/6. Die Wahrscheinlichkeit des Komplementärereignisses beträgt

Formel Bernoulli-Experiment

Gesucht ist die n, sodass gilt:

Formel Bernoulli-Experiment

Durch Logarithmieren der Ungleichung (die Basis des Logarithmus beliebig) ergibt sich

Formel Bernoulli-Experiment

(log (5/6) ist eine negative Zahl, deshalb kehrt sich das Ungleichheitszeichen im letzten Schritt um).

Es muss also mindestens 13-mal gewürfelt werden, damit mit 90%-iger Wahrscheinlichkeit eine 6 geworfen wird.

Erfolgswahrscheinlichkeit und Sigma-Regeln

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens k Erfolge bei einem n-stufigen Bernoulli-Versuch mit Erfolgswahrscheinlichkeit p kann durch die Sigma-Regeln abgeschätzt werden.

Sind der Erwartungswert und die Standardabweichung einer Binomialverteilung

Formel Bernoulli-Experiment

dann treten Ergebnisse

  • oberhalb von μ – 1,28 σ mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % ein,
  • oberhalb von μ – 1,64 σ mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % ein,
  • oberhalb von μ – 2,33 σ mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 % ein.

Wenn die Sicherheitswahrscheinlichkeiten von 90 %, 95% bzw. 99% und eine Mindestanzahl k von Erfolgen vorgegeben sind, kann man den notwendigen Stichprobenumfang n hieraus berechnen.

Beispiel zur Erfolgswahrscheinlichkeit und Sigma-Regeln:

Für eine repräsentative Umfrage werden 600 ausgefüllte Fragebogen benötigt, erfahrungsgemäß kommen im Schnitt aber nur 70% der verschickten Fragebogen zurück. Wie viele Fragebogen muss man nun verschicken, um mit 95% Mindestwahrscheinlichkeit 600 ausgefüllte Fragebogen zu erhalten?

Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist hier p = 0,7, der Erwartungswert μ = n · 0,7 und die Standardabweichung

Formel Bernoulli-Experiment

Die erforderte Bedingung ist erfüllt, wenn

Formel Bernoulli-Experiment

Diese Gleichung kann man algebraisch oder mit dem GTR lösen. Man erhält die Ungleichung n ≥ 876,525. Es müssen also mindestens 877 Fragebogen verschickt werden.

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